Révision - 4e
Classe:
Quatrième
I. Décimaux relatifs
I.1 Définition
$A$ et $n$ étant deux entiers relatifs. On appelle décimal relatif tout nombre de la forme $A.10^{n}.$
Un décimal relatif est donc le produit d'un entier relatif par une puissance de 10.
Exemples : $-3,745=-3745.10^{-3}$
Si $a\in\mathbb{N}$ et $n\in\mathbb{Z}$ alors on a : $x=a.10^{n}$ avec $x\in\mathbb{D}\;\Rightarrow\;64700=647.10^{2}$
I.2 Remarques
Tout entier naturel est un décimal arithmétique ou décimal relatif positif avec $\mathbb{N}\subset\mathbb{D}.$
Tout entier relatif est décimal relatif avec $\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}$.
D'une manière générale tout nombre entier est un nombre décimal.
L'entier naturel 0 est appelé le décimal nul.
II. Opérations
II.1 Addition
La somme de deux ou plusieurs décimaux relatifs quelconques est un décimal relatif.
Exemple :
$a.10^{n}+b.10^{p}$
Si $n=p$ alors $$a.10^{n}+b.10^{p}=a.10^{n}+a.10^{n}=(a+b)10^{n}$$
Exemples :
$-3.42+6.75=342.10^{-2}+675.10^{-2}=(-342+675).10^{-2}=333.10^{-2}$
Si $n\neq p$ ; supposons $n>p$ alors il existe $q\in\mathbb{N}$ tel que $n=p+q$ donc : $$a.10^{n}+b.10^{p}=a.10^{p+q}+a.10^{p}=a.10^{p}\times a.10^{q}+a.10^{p}=(a.10^{q}+b).10^{p}$$
Exemples :
$-0.824+6.32=-824.10^{-3}+632.10^{-2}$
$-0.824+6.32=-824.10^{-3}+632.10^{-3+1}$
$-0.824+6.32=(-824+632.10^{1}).10^{-3}$
$-0.824+6.32=(-824+632).10^{-3}$
$-0.824+6.32=5496.10^{-3}$
II.2 Soustraction
La différence de deux nombres décimaux relatifs est un nombre décimal relatif.
Soustraire un nombre relatif revient a ajouter son opposé.
Exemples :
$(-3.5)-(-6.5)=-3.5+6.5=6.5-3.5=32-(+6)=2-6=-4$
II.3 Multiplication
Le produit de deux décimaux relatifs quelconque est un décimal relatif.
$$a.10^{n}\times b.10^{p}=(a\times b).10^{n+p}$$
Exemples :
$(+0.003)\times(-0.04)=3.10^{-3}\times(-4.10^{-2})=(3\times 4).10^{-3-2}=-12.10^{-5}$
II.4 Division
Le quotient de deux décimaux relatif quelconque est un décimal relatif.
Diviser par un nombre décimal relatif revient a multiplier par son inverse : $$\dfrac{a.10^{n}}{b.10^{p}}=\dfrac{a}{b}.10^{n-p}$$
II.5 Fraction
On appelle fraction tout nombre de la forme $\dfrac{a}{b}$ avec $a\in\mathbb{N}$ et $b\in\mathbb{N}^{*}\;\ (b\neq0)$
Exemples :
$\dfrac{2}{5}\;;\ \dfrac{1}{2}\;;\ \dfrac{3}{14}\;;\ \dfrac{7}{11}$
II.6 Somme algébrique
On appelle somme algébrique une suite d'addition et de soustraction.
On peut supprimer les parenthèses précédées d'un signe + tout en conservant les signes qui sont a l'intérieur des parenthèses
Exemples :
$+(-3.5+2.5-5)=-3.5+2.565$
On peut supprimer les parenthèses précédées d'un signe $-$ mais dans ce cas on change les signes qui sont a l'intérieur des parenthèses en leur signe opposé (contraires).
Exemples :
$-(6.5-3.7+34-7.45)=-6.5+3.7-34+7.45$
III. Comparaison
III.1 Comparaison d'une fraction à l'unité
$$\text{Si }\dfrac{a}{b}>1\;\Rightarrow\;\dfrac{a}{b}>\dfrac{1}{1}\;\Rightarrow\; a\times 1>b\times 1\;\Rightarrow\;a>b$$
$$\text{Si }\dfrac{a}{b}<1\;\Rightarrow\;\dfrac{a}{b}<\dfrac{1}{1}\;\Rightarrow\; a\times 1<b\times 1\;\Rightarrow\;a<b$$
$$\text{Si }\dfrac{a}{b}=1\;\Rightarrow\;\dfrac{a}{b}=\dfrac{1}{1}\;\Rightarrow\; a\times 1=b\times 1\;\Rightarrow\; a=b$$
III.2 Comparaison de fractions
III.2.1 Deux fractions de même dénominateur
Comparer $\dfrac{a}{b}$ et $\dfrac{c}{b}$ revient a comparer $a$ et $c$.
III.2.2 Deux fractions de dénominateurs différents
Pour comparer deux fractions de dénominateurs différents;on les réduit au même dénominateur et on compare les numérateurs.
NB :
Le dénominateur commun de deux ou plusieurs fractions n'est rien d'autre que le $PPCM$ de tous les dénominateurs.
On simplifie une fraction avec le $PGCD$ du numérateur et du dénominateur.
Commentaires
Ndeye arame gueye (non vérifié)
mar, 06/14/2022 - 23:00
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Apprendre
Anonyme (non vérifié)
jeu, 06/16/2022 - 20:47
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