Bac Math 1er groupe S1 S3 2006

Exercice 1 : (4 points)

1) On considère l'équation différentielle :
y+y=excosx2+sinx(E) 
f étant une fonction numérique dérivable sur , on pose : g(x)=exf(x)
 
a) Montrer que f est solution de (E) si et seulement si g(x)=cosx2+sinx
 
b) Déterminer la solution générale de (E), en déduire la solution de (E) qui s'annule en 0.
 
2) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct, on considère la courbe (Γ) d'équations paramétrique :
{x(t)=ln(2+sint)y(t)=ln(2+cost);t
 
a) Comparer M(t) et M(t+2π) ainsi que M(t) et M(t+π2)
 
b) En déduire que la symétrie orthogonale d'axe la première bissectrice conserve (Γ) et montrer que pour construire (Γ), il suffit d'étudier x et y dans [π4; π4+π]
 
c) Dresser le tableau de variations des fonctions x et y dans [π4; 5π4] et tracer la courbe (Γ)
 

Exercice 2 : (4 points)

Une urne contient 6 boules indiscernables au toucher : 4 boules vertes et 2 boules jaunes.
 
1) On tire au hasard simultanément 2 boules de l'urne et on note X la variable aléatoire qui à chaque tirage de 2 boules, associe le nombre de boules vertes tirées.
 
Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique.
 
2) On tire au hasard deux fois de suite 2 boules simultanément, les boules tirées n'étant pas remises dans l'urne.
 
On note A, B, C et D les événements suivants :
 
A : Aucune boule verte n'est tirée au cours du premier tirage de 2 boules.
 
B :  Une boule verte et une boule jaune sont tirées au cours du premier tirage de 2 boules.
 
C :  Deux boules vertes sont tirées au cours du premier tirage de 2 boules.
 
D :  Une boule verte et une boule jaune sont tirées au cours du deuxième tirage de 2 boules.
 
a) Calculer p(D/A), p(D/B), p(D/C)
 
b) En déduire la probabilité des événements DA, DB et DC.
 
Calculer p(D) [On remarquera que D=D(A(B(C)].
 

Exercice 3 : (4 points)

Dans le plan euclidien orienté, on considère un rectangle direct ABCD de centre O tel que AB=3a et BC=a3 ; où a est un réel strictement positif donné.
 
1) Déterminer la nature du triangle BCO.
 
2) Soit E le point du segment [BD] tel que BE=34BD
 
Donner une construction géométrique
 
du centre Ω de la similitude directe s telle que s(B)=O et s(E)=C 
 
3) On suppose dans la suite que a=1 et on pose :
 
u=1ABAB  et  v=1ADAD ; on munit ensuite le plan du repère orthonormal direct (A; u; v),
 
a) déterminer les affixes de B et de O.
 
b) En déduire l'écriture complexe de l'application s.
 
4) Déterminer l'affixe de Ω et celle du point A=s(A)
 
5) On considère la suite de points Mn d'affixes zn définie par M0=A et pour tout nN, Mn+1=s(Mn)
 
a) démontrer que la suite (αn)nN définie par : αn=zn+1zn
 
est une suite géométrique dont on précisera le premier terme α0 et la raison.
 
b) Exprimer en fonction de n la longueur de la ligne polygonale M0M1M2M3n et déterminer la limite de cette longueur quand n tend vers +
 

Problème :   (12 points)

Dans ce problème on calcule dans la partie A la valeur d'une intégrale et on étudie dans la partie B une
suite numérique (In) et quelques unes de ses différentes propriétés.
 
Partie A : 
 
Calcul de I=ln20e2t1dt
 
Soit g et G les fonctions définies sur [0; +[ par :
 
g(x)=e2x1etG(x)=x0g(t)dt
 
1) Pour tout x, on pose : H(x)=x011+t2dt
 
a) Montrer que la fonction H est dérivable sur et déterminer sa dérivée.
 
b) Calculer (Htan)(x) pour tout x]π2, π2[
 
En déduire que (Htan)(x)=x pour tout x]π2, π2[
 
Calculer alors H(1) 
 
2) Pour tout x[0, +[, on pose : F(x)=g(x)Hg(x),
 
a) Vérifier que F et G sont dérivables sur ]0, +[ et que pour tout x]0, +[, F(x)=G(x) 
 
b) En déduire que G(x)=F(x). Calculer alors I. [On remarquera que I=G(ln2)].
 
Partie B : 
 
Soit f la fonction définie sur [0, +[ par : f(x)=e2x1
 
Pour tout nN, on pose :
In=ln20[f(x)]n2dxpuisI0=ln2
 
1) a) Vérifier que la fonction f est dérivable sur +  et que pour tout x+
f(x)=2[1+f(x)](1)
 
b) Montrer en utilisant la relation (1) que pour tout nN, on a :
In+In+2=1n+2(2)
 
Vérifier que la relation (2) reste encore valable pour n=0
 
c) En remarquant que la suite (In)nN est positive, montrer que
limn+In=0
 
2) Pour tout nN, on pose : Un=In+4In
 
a) En remplaçant n par n+2, dans la relation (2), montrer que pour tout nN, Un=1n+41n+2
 
En déduire l'expression de U4n+1 en fonction de n
 
b) Calculer pn=0U4n+1 en fonction de I4p+5 et de I1
 
c) Calculer la limite lorsque p tend vers + de la somme
113+15++14p+3+14p+5=2p+2n=0(1)n2n+1
 
 

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C'est très cool

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