Bac Math 1er groupe S1 S3 2006
Exercice 1 : (4 points)
1) On considère l'équation différentielle :
y′+y=e−xcosx2+sinx(E)
f étant une fonction numérique dérivable sur ∇, on pose : g(x)=exf(x)
a) Montrer que f est solution de (E) si et seulement si g′(x)=cosx2+sinx
b) Déterminer la solution générale de (E), en déduire la solution de (E) qui s'annule en 0.
2) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct, on considère la courbe (Γ) d'équations paramétrique :
{x(t)=ln(2+sint)y(t)=ln(2+cost);t∈∇
a) Comparer M(t) et M(t+2π) ainsi que M(t) et M(−t+π2)
b) En déduire que la symétrie orthogonale d'axe la première bissectrice conserve (Γ) et montrer que pour construire (Γ), il suffit d'étudier x et y dans [π4; π4+π]
c) Dresser le tableau de variations des fonctions x et y dans [π4; 5π4] et tracer la courbe (Γ)
Exercice 2 : (4 points)
Une urne contient 6 boules indiscernables au toucher : 4 boules vertes et 2 boules jaunes.
1) On tire au hasard simultanément 2 boules de l'urne et on note X la variable aléatoire qui à chaque tirage de 2 boules, associe le nombre de boules vertes tirées.
Déterminer la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique.
2) On tire au hasard deux fois de suite 2 boules simultanément, les boules tirées n'étant pas remises dans l'urne.
On note A, B, C et D les événements suivants :
A : Aucune boule verte n'est tirée au cours du premier tirage de 2 boules.
B : Une boule verte et une boule jaune sont tirées au cours du premier tirage de 2 boules.
C : Deux boules vertes sont tirées au cours du premier tirage de 2 boules.
D : Une boule verte et une boule jaune sont tirées au cours du deuxième tirage de 2 boules.
a) Calculer p(D/A), p(D/B), p(D/C)
b) En déduire la probabilité des événements D∍A, D∍B et D∍C.
Calculer p(D) [On remarquera que D=D∍(A(B(C)].
Exercice 3 : (4 points)
Dans le plan euclidien orienté, on considère un rectangle direct ABCD de centre O tel que AB=3a et BC=a√3 ; où a est un réel strictement positif donné.
1) Déterminer la nature du triangle BCO.
2) Soit E le point du segment [BD] tel que BE=34BD
Donner une construction géométrique
du centre Ω de la similitude directe s telle que s(B)=O et s(E)=C
3) On suppose dans la suite que a=1 et on pose :
→u=1AB⋅→AB et →v=1AD⋅→AD ; on munit ensuite le plan du repère orthonormal direct (A; →u; →v),
a) déterminer les affixes de B et de O.
b) En déduire l'écriture complexe de l'application s.
4) Déterminer l'affixe de Ω et celle du point A′=s(A)
5) On considère la suite de points Mn d'affixes zn définie par M0=A et pour tout n∈N, Mn+1=s(Mn)
a) démontrer que la suite (αn)n∈N définie par : αn=zn+1−zn
est une suite géométrique dont on précisera le premier terme α0 et la raison.
b) Exprimer en fonction de n la longueur de la ligne polygonale M0M1M2⋯M3n et déterminer la limite de cette longueur quand n tend vers +∞
Problème : (12 points)
Dans ce problème on calcule dans la partie A la valeur d'une intégrale et on étudie dans la partie B une
suite numérique (In) et quelques unes de ses différentes propriétés.
Partie A :
Calcul de I=∫ln√20√e2t−1dt
Soit g et G les fonctions définies sur [0; +∞[ par :
g(x)=√e2x−1etG(x)=∫x0g(t)dt
1) Pour tout x∈∇, on pose : H(x)=∫x011+t2dt
a) Montrer que la fonction H est dérivable sur ∇ et déterminer sa dérivée.
b) Calculer (H∘tan)′(x) pour tout x∈]−π2, π2[
En déduire que (H∘tan)(x)=x pour tout x∈]−π2, π2[
Calculer alors H(1)
2) Pour tout x∈[0, +∞[, on pose : F(x)=g(x)−H∘g(x),
a) Vérifier que F et G sont dérivables sur ]0, +∞[ et que pour tout x∈]0, +∞[, F′(x)=G′(x)
b) En déduire que G(x)=F(x). Calculer alors I. [On remarquera que I=G(ln√2)].
Partie B :
Soit f la fonction définie sur [0, +∞[ par : f(x)=e2x−1
Pour tout n∈N∗, on pose :
In=∫ln√20[f(x)]n2dxpuisI0=ln√2
1) a) Vérifier que la fonction f est dérivable sur ∇+ et que pour tout x∈∇+ :
f′(x)=2[1+f(x)](1)
b) Montrer en utilisant la relation (1) que pour tout n∈N∗, on a :
In+In+2=1n+2(2)
Vérifier que la relation (2) reste encore valable pour n=0
c) En remarquant que la suite (In)n∈N est positive, montrer que
lim
2) Pour tout n\in\mathbb{N}, on pose : U_{n}=I_{n+4}-I_{n}
a) En remplaçant n par n+2, dans la relation (2), montrer que pour tout n\in\mathbb{N}, U_{n}=\dfrac{1}{n+4}-\dfrac{1}{n+2}
En déduire l'expression de U_{4n+1} en fonction de n
b) Calculer \sum_{n=0}^{p}U_{4n+1} en fonction de I_{4p+5} et de I_{1}
c) Calculer la limite lorsque p tend vers +\infty de la somme
1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}+\cdots+\dfrac{-1}{4p+3}+\dfrac{1}{4p+5}=\sum_{n=0}^{2p+2}\dfrac{(-1)^{n}}{2n+1}
Commentaires
ABDEL ABDOU MAJANI (non vérifié)
mar, 08/23/2022 - 20:10
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C'est très cool
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