Équations et inéquations du 1er degré à deux inconnues 3e

Classe: 
Troisième

I. Équations

Il s'agit des équations du type ax+by+c=0ax+by+c=0a, ba, b et cc sont des nombres réels xx et yy les inconnues à déterminer. La résolution de ce type d'équation revient tout simplement à exprimer l'une des inconnues en fonction de l'autre (plus précisément yy en fonction de xx) à partir de l'équation donnée et représenter l'ensemble des solutions sous forme de couples (x, y)(x, y) liés par la relation antérieure.

La représentation graphique de l'ensemble des solutions est une droite dont l'expression réduite est la relation liant yy à x.x.

Exemple :

Résolvons et donnons la représentation graphique de l'équation 3xy5=0.3xy5=0.

On aura : y=3x5y=3x5

Alors, S={(x; y) tels que y=3x5}S={(x; y) tels que y=3x5} 
 
La représentation graphique de l'ensemble des solutions est la droite (Δ): y=3x5(Δ): y=3x5
 
ABx12y21

 
 

 

II. Inéquations

Il s'agit des inéquations du type ax+by+c0a, b et c sont des réels donnés, x et y les inconnues à déterminer.

La résolution de ce type d'inéquation s'appuie sur une interprétation graphique qui consiste tout d'abord à donner la représentation graphique de la droite (Δ): ax+by+c=0 puis, de déterminer le demi-plan solution obtenu à partir de la droite (Δ).

Exemple 1 :

Résolvons l'inéquation 2x3y+60

Soit (Δ): 2x3y+6=0.
 
ABx03y20

 
 

 
On prend O(00) comme point de vérification.

Pour 2x3y+60, on aura 2(0)3(0)+60.

Alors, 00+60, donc 60 ; ce qui est impossible.

Ainsi, P1 n'est pas solution de l'inéquation d'où, la partie non hachurée, P2 est la solution graphique de l'inéquation 2x3y+60.

Exemple 2 : 

Résolvons l'inéquation 3x2y0

Soit (Δ): 3x2y=0.
 
OAx02y03

 
 

 
On prend M(30) comme point de vérification.

Pour 3x2y0, on aura 3(3)2(0)0.

Alors, 900, donc 90 ; ce qui est toujours vraie.

Ainsi, P1 est solution de l'inéquation d'où, la partie non hachurée, P1 est la solution graphique de l'inéquation 3x2y0.
 

III. Système d'équations et d'inéquations

III.1 Système d'équations du 1er degré à deux inconnues

Il s'agit des systèmes du type {ax+by=cax+by=coù  a, b, c, a, b  et c R
 
x et y les inconnues à déterminer.
 
La résolution de ce type de système d'équations nous permet de solutionner les équations du problème, de trouver les points d'intersection de deux droites et de déterminer une application affine ou une équation de droite.
 
La résolution de ce type de système s'appuie sur trois méthodes de résolution ponctuées d'une méthode graphique.

III.1.1 Méthode de substitution

La méthode de substitution consiste à exprimer l'une des inconnues en fonction de l'autre dans l'une des deux équations et de la remplacer dans l'autre afin d'obtenir une équation du 1er degré à une inconnue.

Exemple :

Tante Adja dit à sa fille : "avec 6250FCFA j'achetais 10kg de pomme de terre et 20kg d'oignon mais après la dévaluation du FCFA je dois payer 7950FCFA pour avoir les mêmes quantités". 

Trouver le prix d'un kg de pomme de terre et celui d'oignon avant la dévaluation sachant que ces prix ont été multipliés respectivement par 1.2 et 1.3 après la dévaluation.
 
Soit x le prix d'un kg de pomme de terre et y celui d'oignon avant la dévaluation.
 
On aura : 10x+20y=6250

Alors, x+2y=625(1)

de plus on a 10(1.2x)+20(1.3y)=7950 

alors 12x+26y=7950, donc 6x+13y=3975(2)

Ainsi, {x+2y=6256x+13y=3975
 
par suite {x=6252y6(6252y)+13y=3975
 
par conséquent {x=6252y375012y+13y=3975
 
d'où, {x=6252(225)=625450=175y=39753750=225
 
Le prix d'un kg de pomme de terre avant la dévaluation était de 175FCFA et celui de l'oignon 225FCFA.

III.1.2 Méthode de comparaison

Cette méthode consiste à exprimer l'une des inconnues en fonction de l'autre dans les deux équations puis de comparer les deux égalités obtenues.

Exemple :

Soit la droite (D): 2x+3y8=0 et (Δ): 3x+4y5=0 et A leur point d'intersection.

Trouvons les coordonnées du point A.

On a A=(D)(Δ)

Alors, {2x+3y8=0(1)3x+4y5=0(2)
 
donc {y=2x+83y=3x+54
 
Ainsi, 2x+83=3x+54

par suite 8x+32=9x+15

par conséquent 17x=17 c'est à dire x=1.

En remplaçant x=1 dans y=2x+83 on obtient y=2(1)+83=2

d'où, A(12)

III.1.3 Méthode d'addition

La méthode d'addition consiste à trouver éventuellement des coefficients (à l'aide du calcul de PPMC des réels placés devant x ou y) par lesquels il faudra les multiplier par les équations afin que la somme membre à membre des deux équations aboutisse à une équation du 1er degré à une seule inconnue.

Exemple :

Résolvons le système d'équations {2x+3y8=0(1)3x+4y5=0(2)
 
En multipliant donc (1) par 3 et (2) par 2 on aura {6x+9y24=06x+8y10=0

Alors, 0+17y34=0 donc, y=3417=2

En remplaçant y=2 dans l'équation (1), on obtient : 2x+3(2)8=0.

Ainsi, 2x2=0

par suite x=1; d'où S={(1; 2)}

Remarque : cas des systèmes à trois équations

Exemple :

Résolvons le système d'équations suivant et donnons sa solution graphique.
{xy1=0(1)2xy+2=0(2)x+3y+9=0(3)
 
La résolution de ce type de système d'équations revient tout simplement à résoudre un système composé par deux de ces trois équations puis de procéder à une vérification au niveau de la troisième équation non choisie.
 
On a : {xy1=0(1)2xy+2=0(2)
 
En multipliant donc (1) par -1 et (2) par 1 on aura {x+y+1=02xy+2=0

donc, par addition on obtient x+0+3=0. Ce qui donne x=3. 

En remplaçant x=3 dans l'équation (1) on obtient (3)y1=0 ; c'est à dire y=4.

On vérifie si le couple (3; 4) est solution de l'équation (3).

On a (3)+3(4)+9=0 c'est à dire 312+9=0 ce qui est toujours vraie. Donc le couple (3; 4) vérifie bien l'équation (3).

D'où S={(3; 4)}
 
La résolution graphique d'un système d'équations revient tout simplement à traduire toute équation du système comme étant une équation de droite à représenter dans un repère dont leur point d'intersection est la solution graphique du système donné.
 
On a : {xy1=0(1)2xy+2=0(2)x+3y+9=0(3)
 
Soient (Δ1): xy1=0, (Δ2): 2xy+2=0 et (Δ3): x+3y+9=0 
 
ABx01y10CEx01y20FGx03y32

 
 

 
Le point M(34) est la solution graphique du système.

III.2 Système d'inéquations

Exemple :

Résolvons le système d'inéquations suivant {2x3y0(1)x+2y40(2)y+20(3)
 
Soient (Δ1): 2x3y=0, (Δ2): x+2y4=0 et (Δ3): y+2=0 
 
OBx03y02CEx04y20FGx02y22

 
 
 

 
On prend M(23) comme point de vérification.
 
Pour 2x3y0, on aura 2(2)3(3)0.

Alors, 490, donc 50 ; ce qui est impossible.
 
Pour x+2y40, on aura 2+2(3)40.

Alors, 2+640, donc 40 ; ce qui est impossible.
 
Pour y+20, on aura 3+20.

Alors, 50 ; ce qui est toujours vraie.
 
Ainsi, la partie triangulaire du graphique est solution du système.
 
Auteur: 
Abdoulaye Ba

Commentaires

Un grand merci pour le travail abattu

Merci et toutes mes félicitations pour le travail abbatu

Merci beaucoup pour votre aide

Modou et son pere ont total 50ans.dans 5ans lage du père sera le triple de celui de modou

Si x est l'age de Modou et y l'age du père, on a x+y=50

Dans 5 ans Modou aura x+5 et le pere y+5 et on aura y+5=3(x+5) 
On a 2 systèmes d'équation à résoudre
x+y=50 (1)
y+5=3(x+5) (2)
(2) donne y+5 =3x+15
y=3x+10
On remplace y par sa valeur sur (1) et on
x+3x+10=50
4x=40
x=10
On remplace x par sa valeur sur (1) on a 
10+y=50
y=40
Donc Modou a 10 ans et son père a 40 ans

Si l'inequation est inferieur strictement ?

En suivant les cours et en faisant les exos

Un très bon document, un grand merci à vous

yo les reuf

yo les reuf

Ajouter un commentaire