Série d'exercices : Ordre dans R, Intervalles et Calculs approchés - 2nd

Classe: 
Seconde

Quelques questions

1) -0.25 appartient-il à [14; 3] ?
 
2) 3 appartient-il à ]3; 10[ ?
 
3) 0 appartient-il à ]5; 2] ?
 
4) 105 appartient-il à [2.7; +[ ?
 
5) 2 appartient-il à ]; 1.4] ?

Exercice 1

Comparer les nombres x et y (sans utiliser de machine, mais les propriétés des inégalités) dans chacun des cas suivants :
 
a) x=35  et  y=211

b) x=3+22  et  y=2+13
 
c) x=8+5  et  y=7+6

d) x=23+7  et  y=11+23
 
e) x=5+23  et  y=4+25

f) x=5+7  et  y=12+235
 
g) x=7+43  et  y=52+7

h) x=7(2+3)  et  y=22
 
i) x=53  et  y=8215

j) x=23+3  et  y=62+1
 
k) x=165  et  y=352+46+2

Exercice 2

Dans chacun des cas suivants, on demande :
 
  de calculer x2,
 
  de déterminer le signe de x,
 
  d'en déduire x.
 
a) x=3+535

b) 7267+26
 
c) x=4+23423

d) 11+621162
 
e) 7437+43

Exercice 3

Pratique des inégalités 

Les différentes questions sont indépendantes.
 
Compléter les expressions suivantes où les lettres x, y désignent des nombres réels.
 
1) Si x1, alors 2x;  si x1, alors 2x
 
2) Si x4, alors x2;  si x4, alors x2
 
3) Si x2, alors x+1;  si x2, alors x1
 
4) Si 1x2, alors 3x;  si 2x1, alors x1
 
5) Si 1x0, alors x+1;  si 2x1, alors x1
 
6) Si x1, alors 2x+1;  si x1, alors x2+3
 
7) Si 1x et 2y, alors x+y;  si 1x et 1y, alors xy
 
8) Si x1, alors 1x;  si x2, alors 3x
 
9) Si x2, alors 2x;  si x1, alors 3x
 
10) Si x1 et y2, alors 1x+y;  si x1 et y2, alors 2x+y
 
11) Si x4 et y2, alors xy;  si x2 et y3, alors xy
 
12) Si x>1, alors x2>x. Justifier.
 
13) Si a et b sont deux réels tels que 1a1 et 1b1, on a 1ab1 Justifier.
 
14) Étant donné un réel a, montrer que : 1a1 si, et seulement si, a21

Exercice 4

Soit aR.
 
1) On suppose que 0<a<1. Comparer a et a2; a et a; a et 1a.
 
Ranger dans l'ordre croissant : 1; a; a; a2 et 1a.
 
2) On suppose a>1. Ranger dans l'ordre croissant : 1; a; a; a2 et 1a.

Exercice 5

Dans chacun des cas suivants, des encadrements de a et b sont donnés.
 
On demande d'encadrer a+b, ab, ab et 1a1b
 
1) 17.3a17.4 et 21.9b22
 
2) 3.4a3.3 et 37.5b37.6
 
3) 0.6a0.5 et 39.4b39.3
 
4) 6105a5105 et 3103b4103

Exercice 6

Soit a et b deux nombres réels tels que :
 
1.73a1.75 et 1.46b1.5
 
1) Donner un encadrement pour chacun des nombres : 2a+5;b2;b22a+5 ;ab;ab;a2+2b
2) Soient a et b deux nombres réels tels que :
 
4a4.1 et 0.5b0.3
 
Donner un encadrement de ab.

Exercice 7

Soient x>0 et y>0
 
1) Démontrer que 1x2+y212xy.
 
2) a) En déduire que x, yR+, x+yx2+y212(1x+1y)
 
b) En utilisant des inégalités semblables, démontrer que 
 
pour tous réels x>0, y>0 et z>0, on a : x+yx2+y2+y+zy2+z2+z+xz2+x21x+1y+1z

Exercice 8

1) Développer (a+b)3.
 
2) On suppose a et b positifs .Démontrer, en utilisant 1) que : (a+b2)3a3+b32

Exercice 9

Soient a et b des réels tels que a>b>1. 
 
Comparer A=ab et B=a1b1

Exercice 10

Soient a, b, c trois nombres réels.
 
1) Montrer que : (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
 
2) Calculer (ab)2+(bc)2+(ca)2 et en déduire que : a2+b2+c2abbcca0
Quels sont les triplets (a, b, c) pour lesquels l'inégalité précédente devient une égalité ?
 
3) Montrer que : |a+b+c|3a2+b2+c2
 
Dans quel y a-t-il égalité ?
 
4) a, b, c sont maintenant 3 réels positifs. Montrer que : 13(a+b+c)a+b+c3
 
Dans quel y a-t-il égalité ?

Exercice 11

1) Soient trois réels a, b, c de l'intervalle ]0;; 1].
 
a) Démontrer que : (ab11)(bc1)(ca1)0.
 
b) En déduire que a+b+c+1abc1a+1b+1c+abc
 
2) Soient x, y, z, t tels que : 0<xyzt.
 
Démontrer que : xy+yz+zt+txyx+zy+tz+xt
de deux façons différentes :
 
a) En utilisant les résultats de la question 1)
 
b) En démontrant que : (zx)(ty)(ytxz)0

Exercice 12 (*)

Démontrer que pour tout entier naturel non nul n : 1n+1+1n+2++12n1+12n12

Exercice 13 (*)

Démontrer que si 2x+4y=1, alors x2+y2120

Exercice 14 (*)

Montrer que si x et y sont deux réels positifs alors x+y1+x2+y222
 
(N.B . Exercice très difficile qu'il vaut mieux aborder après le chapitre 3 portant sur le
second degré).

Exercice 15

Montrer que si x et y sont deux réels tels que : 1x1 et 1y1 alors : 14+x+y+xy13

Exercice 16 

On considère 4 réels a, b, c et d tels que : a<b<c<d.
 
Comparer les réels X=(a+b)(c+d);Y=(a+c)(b+d); et Z=(a+d)(b+c)

Exercice 17 (*)

1) Montrer que : a2+b22ab, a, bR.
 
2) En déduire que pour a, b, c, réels strictement positifs (a2+b2)c+(b2+c2)a+(c2+a2)b6abc
3) Déduire également du 1) que : 1a+1b+1c9a+b+c

Exercice 18

1) Montrer que pour tout x réel : x2+12x.
 
2) En déduire quels que soient les réels strictement positifs a, b, c et d, on a : (a2+1)(b2+1)(c2+1)(d2+1)abcd16

Exercice 19 (*)

Soient a, b et c des réels quelconques.
 
1) En développant (ab)2+(bc)2+(ca)2, montrer que : a2+b2+c2ab+bc+ca
Dans quel cas a-t-on l'égalité ?
 
2) On suppose a2+b2+c2=1. 
 
Démontrer que : 12ab+bc+ca1
 
INDICATION : On pourra développer (a+b+c)2

Exercice 20 

Soit n un entier naturel non nul.
 
1) Prouver que : 2n1×2n+1<2n
 
2) En déduire que : 2n12n<2n12n+1
 
3) Démontrer que : 12×34×56××2n12n<12n+1

Exercice 21 (*)

Soient x et y deux nombres réels strictement positifs tels que xy.
 
On pose : 
 
a=x+y2 (moyenne arithmétique de x et y)
 
g=xy (moyenne géométrique ou proportionnelle de x et y)
 
h=2xyx+y (moyenne harmonique de x et y); 
 
remarquer que : 1h=1x+1y2
 
q=x2+y22 (moyenne géométrique de x et y) ; 
 
remarquer que : q2=x2+y22
 
Le but de l'exercice est de comparer ces différentes moyennes.
 
1) Démontrer que xh et qy
 
2) Démontrer que ga
 
3) Démontrer que g2=ah. En déduire que hg
 
4) Démontrer que aq
 
5) Ranger par ordre croissant les nombres x; y; a; g; h et q
 
6) Utiliser les résultats ci-dessus pour prouver que ,quels que soient les réels strictement positifs x; y et z on a :
 
a) 8xyz(x+y)(y+z)(z+x)
 
b) xyz(x+y+z)x2y2+y2z2+z2x2x4+y4+z4

Exercice 22

Soit a>0 et b>0. On pose E=12a+10b3a+2b.
 
Démontrer que 4<E<5

Exercice 23

Soit x>0 et y>0. On pose Z=9x4y3x2y.
 
Démontrer que 2<Z<3

Exercice 24

On considère quatre réels strictement positifs a, b, c et d tels que ab<cd
 
1) Démontrer que bcad>0.
 
2) Démontrer que ab<a+cb+d<ca
 
3) En s'inspirant de ce qui précède, trouver une fraction comprise entre 23 et 34

Exercice 25

Résoudre les équations et inéquations suivantes :
 
a) |x32|=52

b) |5x3|=|34x|

c) |52x|=x+3
 
d) |2x3|=3x1

e) |x+52|72 f) |75x|3
 
g) |9x7|<4

h) |2x+1|1 i) |4x2|3
 
j) |3x+1|>4

k) |5x3|2

l) 1|2x7|8
 
m) |2x+8|+|x+1|=3x+5

n) |4x18||7x+9|=4

Exercice 26

Écrire, à l'aide de valeur absolue, puis en terme de distance les inégalités 1x6;5<x<3;x<2  ou  x>5

Exercice 27

Recopier et compléter le tableau suivant : DistanceInégalitésIntervalleValeurReprésentationabsolue2x4d(x, 1)2]; 2][10; +[|x+5|<2

Exercice 28

Déterminer EF et EF dans chacun des cas suivants :
 
a) E={xR/ |x3|<2} ;

F={xR/ |x2|2}

b) E={xR/ |x|<5} ;

F={xR/ |x|3}

Exercice 29

Pour chacun des cas suivants, déterminer un encadrement le plus précis possible du réel x :
 
1) 2.18 est une valeur approchée de x avec l'incertitude 5×102.
 
2) 11.27 est une valeur approchée par défaut de x avec l'incertitude 3×102.
 
3) 125.112 est une valeur approchée par excès de x avec l'incertitude 7×103.

Exercice 30

Pour chacun des encadrements du réel x suivants déterminer :
 
a) une valeur approchée a avec deux décimales de x et une précision associée ;
 
b) une valeur approchée par défaut b avec deux décimales de x et une précision associée
 
c) une valeur approchée par excès c avec trois décimales de x et une précision associée.
 
1) 27.2142<x<27.2156;
 
2) 0.8131<x<0.8152;
 
3) 216.8937<x<216.8911;

Exercice 31

73.47 est une valeur approchée de x avec une incertitude de 8×102 et 73.43 est une valeur approchée de y avec une incertitude de 5×102. Peut-on comparer les réels x et y ?

Exercice 32

Soit a un nombre réel vérifiant : |a1|12. Montrer que 43 est une valeur approchée du nombre 1a à la précision 23.

Exercice 33

Soit x un nombre réel quelconque.
 
1) Prouver que : |(12x)3(16x)|=x2|128x|
 
2) On suppose que 12x12.
 
a) Prouver que |128x|16
 
b) En déduire que : |(12x)3(16x)|16x2
 
c) Donner une valeur approchée du nombre (0.9998)3 à la précision 16108.

Exercice 34

Soit a un nombre réel tel que |a|<12. On pose A=11+a(1a2).
 
1) a) Montrer que A=1+a(1+a2)+a221+a
 
b) Montrer que 1+a1+a2 et en déduire que Aa2.
 
c) Montrer que 11+a1a2
 
2) En déduire une valeur approchée du nombre 11.01 à la précision 104.

Exercice 35

I) J=[0.1258; 0.1264]. Exprimer l'appartenance du réel x à l'intervalle J par une condition faisant intervenir la valeur absolue puis en langage d'approximation.
 
II) Traduire l'approximation donnée par un encadrement de x.
 
5.624 approche x à 103 près.
 
62.94 approche x par excès à 5103 près.
 
7.286 approche x par défaut à 103 près.

Exercice 36 Le problème des 3 villes

Trois villes A, B et C sont situées le long d'une route rectiligne : A et B sont distantes de 900m; B est entre A et C; B et C sont distantes de 1200m.
 
Une personne compte faire quotidiennement 2 allers et retours entre sa maison et A, un entre sa maison et B, trois entre sa maison et C.
 
Où doit-elle construire sa maison pour que son trajet journalier soit minimal ?

Exercice 37 (*)

Résoudre les équations :
 
a) E(x)=2; b) E(x)=x; c) E(x)=2x5; d) 3x2=E(2x); e) E(x2)=x2

Exercice 38

1) a) Démontrer que : xR, 0xE(x)<1
 
b) Démontrer que : xR, 12xE(x+12)<12
 
2) Résoudre dans R l'équation E(1x2)=2

Exercice 39 (*)

1) Soit a un nombre réel, d son approximation décimale d'ordre n par défaut et d son approximation décimale d'ordre n+1 par défaut. Montrer que dd.
 
2) Déterminer les approximations décimales d'ordre 0, 1, 2, 3 et 4 du nombre réel 2.71828.

Exercice 40

Donner un exemple d'intervalle fermé dont les bornes sont :
 
a) des entiers
 
b) des fractions

Exercice 41

1) Écrire les inégalités suivantes sous forme d'intervalles :
 
a) les réels x tels que x<0 ;
 
b) les réels x tels que 1x1
 
2) Écrire les intervalles suivants sous forme d'inégalités :
 
a) ]2; 6[  b) ]; 5[ 

Exercice 42

1) Exprimer à l'aide d'intervalles l'ensemble des réels x satisfaisant à la condition donnée.
 
a) x1 ou x<1
 
b) x<2 et x1
 
c) x<1 et x3
 
d) |2x2|0.4
 
e) E1={xR; |x1|2 et |2xx|2}
 
2) Traduire à l'aide de la notation valeur absolue les intervalles suivants
 
x[2; 6], 2x1]3; 0[

Exercice 43

On pose A=];2], B=[0; 7[ et C=]1; 3]
 
Déterminer AB;   AC;   ABC
 
Déterminer les ensembles D et E suivants : D=AC et E=DB

Exercice 44

Dites dans chaque cas, à quel intervalle appartient x et représentez cet ensemble sur une droite graduée.
 
a) 1x2  b) x<32

c) x10
 
d) 0<x3 e) x1 f) x est un réel strictement positif

Exercice 45

Traduisez par des inégalités l'appartenance d'un réel x à chacun des intervalles.
 
a) [2; 3]     b) ]1; 0]

c) ]; 4[
 
d) ]2; +[    e) ]; 0[ 
 
f) ]3; 112[

Exercice 46

On considère les intervalles I=]3; +[ , J=[1; 2] et K=[2; 4].
 
1) Représenter chacun de ces intervalles sur un axes gradué.
 
2) Simplifier, lorsque c'est possible, les écritures des ensembles IJ;   IK;   JK;   IJ;   IK et JK.
 
3) Pour chacun d'entre eux, préciser leur nature (c'est-à-dire s'il s'agit d'un intervalle fermé ou..., borné ou...)

Exercice 47

Soient x et y deux réels tels que |x|<1 et |y|<1
 
1) Démontrer que |xy|<1. En déduire que 1+xy>0.
 
2) Développer (1x)(1y) et (1+x)(1+y)
 
3) Démontrer que |x+y1+xy|<1

Exercice 48

Sachant que 1.414<2<1.413 et 1.732<3<1.733; donner un encadrement de 2+3, 6, 3223

Exercice 49

1) Donner le meilleur encadrement possible de 5+23, 25332 sachant que 1.732<3<1.733 et 2.236<5<2.237
 
2) Comparer 53 et 23+5. Encadrer séparément ces deux nombres.
 
Quelle observation faites-vous ?

Exercice 50

1) Sachant que 2<x<9 et 3<y<6; donner un encadrement de x+y, xy, xy, x2 et de y2
 
2) Sachant que 3x5 et 4y1; donner un encadrement de xy, xy, xy et de  y2

Exercice 51

Sachant que 2x+3[4; 1] et 2x+1[1; 3]
 
a) Donner un encadrement de x et de y
 
b) En déduire un encadrement de 1x et de 52x+3

Exercice 52

Trouver deux entiers a et b tels que 
 
a.102<15<(a+1)102
 
b.102<53<(b+1)102

Exercice 53

Soit A un réel tel que 1.585A1.59
 
a) Donner une valeur approchée de A ainsi que la précision.
 
b) Donner une approximation par défaut et par excès de A.

Exercice 54

1) Écrire sans le symbole | | les nombres suivants :
 
a) |12| b)  |a| pour a négatif c) |353|
 
2) Calculer 
 
a) a=|23|+|139|

b) x|x+1| pour x=5
 
3) Résoudre les équations suivantes
 
a) |2x|=7 b) |x|=5

c) |x+4|=0

Exercice 55

Résoudre les inéquations suivantes
 
a) |x3|2 b) |12x|>3

c) 1|3+2x|1
 
d) |4x21|3 e) |32x|4

f) |4x1|3
 
g) |2x1|+|2x3|<1

Exercice 56

1) Résoudre successivement |2x9|<5 , |2x9|=5 , |2x9|>5
 
2) En déduire le tableau de signe de l'expression |2x9|5
 
3) Résoudre alors l'inéquation |2x9|5213x0
 

Correction des exercices

Commentaires

Vraiment superbe

Ajouter un commentaire