Série d'exercices : Ordre dans R, Intervalles et Calculs approchés - 2nd
Classe:
Seconde
Quelques questions
1) -0.25 appartient-il à $[-\frac{1}{4};\ 3]$ ?
2) 3 appartient-il à $]3;\ 10[$ ?
3) 0 appartient-il à $]-5;\ 2]$ ?
4) $10^{5}$ appartient-il à $[-2.7;\ +\infty[$ ?
5) $\sqrt{2}$ appartient-il à $]-\infty;\ 1.4]$ ?
Exercice 1
Comparer les nombres $x$ et $y$ (sans utiliser de machine, mais les propriétés des inégalités) dans chacun des cas suivants :
a) $x=3\sqrt{5}\ $ et $\ y=2\sqrt{11}$
$\quad$
b) $x=3+2\sqrt{2}\ $ et $\ y=2+\sqrt{13}$
$\quad$
b) $x=3+2\sqrt{2}\ $ et $\ y=2+\sqrt{13}$
c) $x=\sqrt{8}+\sqrt{5}\ $ et $\ y=\sqrt{7}+\sqrt{6}$
$\quad$
d) $x=2\sqrt{3}+\sqrt{7}\ $ et $\ y=\sqrt{11}+2\sqrt{3}$
$\quad$
d) $x=2\sqrt{3}+\sqrt{7}\ $ et $\ y=\sqrt{11}+2\sqrt{3}$
e) $x=5+2\sqrt{3}\ $ et $\ y=4+2\sqrt{5}$
$\quad$
f) $x=\sqrt{5}+\sqrt{7}\ $ et $\ y=\sqrt{12+2\sqrt{35}}$
$\quad$
f) $x=\sqrt{5}+\sqrt{7}\ $ et $\ y=\sqrt{12+2\sqrt{35}}$
g) $x=7+4\sqrt{3}\ $ et $\ y=5\sqrt{2}+7$
$\quad$
h) $x=7(\sqrt{2}+\sqrt{3})\ $ et $\ y=22$
$\quad$
h) $x=7(\sqrt{2}+\sqrt{3})\ $ et $\ y=22$
i) $x=\sqrt{5}-\sqrt{3}\ $ et $\ y=\sqrt{8-2\sqrt{15}}$
$\quad$
j) $x=\dfrac{\sqrt{2}}{3}+\sqrt{3}\ $ et $\ y=\dfrac{\sqrt{6}}{2}+1$
$\quad$
j) $x=\dfrac{\sqrt{2}}{3}+\sqrt{3}\ $ et $\ y=\dfrac{\sqrt{6}}{2}+1$
k) $x=\dfrac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}\ $ et $\ y=\dfrac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}+\dfrac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$
Exercice 2
Dans chacun des cas suivants, on demande :
$-\ $ de calculer $x^{2}$,
$-\ $ de déterminer le signe de $x$,
$-\ $ d'en déduire $x.$
a) $x=\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{3-\sqrt{5}}$
$\quad$
b) $\sqrt{7-2\sqrt{6}}-\sqrt{7+2\sqrt{6}}$
$\quad$
b) $\sqrt{7-2\sqrt{6}}-\sqrt{7+2\sqrt{6}}$
c) $x=\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}$
$\quad$
d) $\sqrt{11+6\sqrt{2}}-\sqrt{11-6\sqrt{2}}$
$\quad$
d) $\sqrt{11+6\sqrt{2}}-\sqrt{11-6\sqrt{2}}$
e) $\sqrt{7-4\sqrt{3}}-\sqrt{7+4\sqrt{3}}$
Exercice 3
Pratique des inégalités
Les différentes questions sont indépendantes.
Compléter les expressions suivantes où les lettres $x\;,\ y\ldots$ désignent des nombres réels.
1) Si $x\leq 1\;$, alors $2x\ldots\;;\ $ si $x\geq -1\;,$ alors $2x\ldots$
2) Si $x\leq 4\;$, alors $-\dfrac{x}{2}\ldots\;;\ $ si $x\geq -4\;,$ alors $-\dfrac{x}{2}\ldots$
3) Si $x\leq \sqrt{2}\;$, alors $x+1\ldots\;;\ $ si $x\geq -\sqrt{2}\;,$ alors $x-1\ldots$
4) Si $-1\leq x\leq 2\;$, alors $\ldots 3x\ldots\;;\ $ si $\sqrt{2}\leq x\geq 1\;,$ alors $\ldots x-1\ldots$
5) Si $-1\leq x\leq 0\;$, alors $\ldots x+1\ldots\;;\ $ si $-\sqrt{2}\leq x\geq 1\;,$ alors $\ldots x-1\ldots$
6) Si $x\leq 1\;$, alors $-2x+1\ldots\;;\ $ si $x\geq -1\;,$ alors $-\dfrac{x}{2}+3\ldots$
7) Si $-1\leq x$ et $2\leq y\;$, alors $x+y\ldots\;;\ $ si $1\geq x$ et $-1\leq y\;,$ alors $x-y\ldots$
8) Si $x\geq 1\;$, alors $\dfrac{1}{x}\ldots\;;\ $ si $x\leq -2\;,$ alors $\dfrac{3}{x}\ldots$
9) Si $x\geq\sqrt{2}\;$, alors $-\dfrac{\sqrt{2}}{x}\ldots\;;\ $ si $x\leq -1\;,$ alors $-\dfrac{\sqrt{3}}{x}\ldots$
10) Si $x\geq 1$ et $y\geq 2\;$, alors $\ldots\dfrac{1}{x+y}\;;\ $ si $x\leq -1$ et $y\leq -\sqrt{2}\;,$ alors $\dfrac{-2}{x+y}\ldots$
11) Si $x\geq 4$ et $y\geq\sqrt{2}\;$, alors $xy\ldots\;;\ $ si $x\leq -2$ et $y\leq -3\;,$ alors $xy\ldots$
12) Si $x>1\;$, alors $x^{2}>x.$ Justifier.
13) Si $a$ et $b$ sont deux réels tels que $-1\leq a\leq 1$ et $-1\leq b\leq 1\;,$ on a $$-1\leq ab\leq 1$$ Justifier.
14) Étant donné un réel $a$, montrer que : $-1\leq a\leq 1$ si, et seulement si, $$a^{2}\leq 1$$
Exercice 4
Soit $a\in\mathbb{R}.$
1) On suppose que $0<a<1.$ Comparer $a$ et $a^{2}\;;\ a$ et $\sqrt{a}\;;\ a$ et $\dfrac{1}{a}.$
Ranger dans l'ordre croissant : $1\;;\ a\;;\ \sqrt{a}\;;\ a^{2}$ et $\dfrac{1}{a}.$
2) On suppose $a>1.$ Ranger dans l'ordre croissant : $1\;;\ a\;;\ \sqrt{a}\;;\ a^{2}$ et $\dfrac{1}{a}.$
Exercice 5
Dans chacun des cas suivants, des encadrements de a et b sont donnés.
On demande d'encadrer $a+b\;,\ a-b\;,\ ab$ et $\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$
1) $17.3\leq a\leq 17.4\quad $ et $\quad 21.9\leq b\leq 22$
2) $-3.4\leq a\leq -3.3\quad $ et $\quad 37.5\leq b\leq 37.6$
3) $-0.6\leq a\leq -0.5\quad $ et $\quad -39.4\leq b\leq -39.3$
4) $-6\;10^{-5}\leq a\leq -5\;10^{-5}\quad $ et $\quad 3\;10^{-3}\leq b\leq 4\;10^{-3}$
Exercice 6
Soit $a$ et $b$ deux nombres réels tels que :
$1.73\leq a\leq 1.75\quad $ et $\quad 1.46\leq b\leq 1.5$
1) Donner un encadrement pour chacun des nombres : $$-2a+5\;;\quad b^{2}\;;\quad b^{2}-2a+5\ ;$$$$a-b\;;\quad \dfrac{a}{b}\;;\quad a^{2}+2\sqrt{b}$$
2) Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que :
$4\leq a\leq 4.1\quad $ et $\quad -0.5\leq b\leq 0.3$
Donner un encadrement de $ab.$
Exercice 7
Soient $x>0$ et $y>0$
1) Démontrer que $\dfrac{1}{x^{2}+y^{2}}\leq\dfrac{1}{2xy}.$
2) a) En déduire que $\forall\;x\;,\ y\in\mathbb{R}^{*}_{+}\;,\ \dfrac{x+y}{x^{2}+y^{2}}\leq\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)$
b) En utilisant des inégalités semblables, démontrer que
pour tous réels $x>0\;,\ y>0$ et $z>0$, on a : $$\dfrac{x+y}{x^{2}+y^{2}}+\dfrac{y+z}{y^{2}+z^{2}}+\dfrac{z+x}{z^{2}+x^{2}}\leq\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$$
Exercice 8
1) Développer $(a+b)^{3}.$
2) On suppose $a$ et $b$ positifs .Démontrer, en utilisant 1) que : $$\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^{3}\leq\dfrac{a^{3}+b^{3}}{2}$$
Exercice 9
Soient $a$ et $b$ des réels tels que $a>b>1.$
Comparer $A=\sqrt{a}-\sqrt{b}\quad$ et $\quad B=\sqrt{a-1}-\sqrt{b-1}$
Exercice 10
Soient $a\;,\ b\;,\ c$ trois nombres réels.
1) Montrer que : $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$
2) Calculer $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}$ et en déduire que : $$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca\geq 0$$
Quels sont les triplets $(a\;,\ b\;,\ c)$ pour lesquels l'inégalité précédente devient une égalité ?
3) Montrer que : $\dfrac{|a+b+c|}{\sqrt{3}}\leq\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
Dans quel y a-t-il égalité ?
4) $a\;,\ b\;,\ c$ sont maintenant 3 réels positifs. Montrer que : $$\dfrac{1}{3}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\leq\sqrt{\dfrac{a+b+c}{3}}$$
Dans quel y a-t-il égalité ?
Exercice 11
1) Soient trois réels $a\;,\ b\;,\ c$ de l'intervalle $]0_;;\ 1].$
a) Démontrer que : $(ab-11)(bc-1)(ca-1)\leq 0.$
b) En déduire que $a+b+c+\dfrac{1}{abc}\geq\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+abc$
2) Soient $x\;,\ y\;,\ z\;,\ t$ tels que : $0<x\leq y\leq z\leq t.$
Démontrer que : $$\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{t}+\dfrac{t}{x}\geq\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{t}{z}+\dfrac{x}{t}$$
de deux façons différentes :
a) En utilisant les résultats de la question 1)
b) En démontrant que : $(z-x)(t-y)(yt-xz)\geq 0$
Exercice 12 (*)
Démontrer que pour tout entier naturel non nul $n$ : $$\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\ldots+\dfrac{1}{2n-1}+\dfrac{1}{2n}\geq\dfrac{1}{2}$$
Exercice 13 (*)
Démontrer que si $2x+4y=1\;,$ alors $x^{2}+y^{2}\geq\dfrac{1}{20}$
Exercice 14 (*)
Montrer que si $x$ et $y$ sont deux réels positifs alors $\dfrac{x+y}{1+x^{2}+y^{2}}\leq\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
(N.B . Exercice très difficile qu'il vaut mieux aborder après le chapitre 3 portant sur le
second degré).
Exercice 15
Montrer que si $x$ et $y$ sont deux réels tels que : $-1\leq x\leq 1\quad $ et $\quad -1\leq y\leq 1$ alors : $$\dfrac{1}{4+x+y+xy}\leq\dfrac{1}{3}$$
Exercice 16
On considère 4 réels $a\;,\ b\;,\ c$ et $d$ tels que : $a<b<c<d.$
Comparer les réels $X=(a+b)(c+d)\;;\qquad Y=(a+c)(b+d)\;;\qquad$ et $\quad Z=(a+d)(b+c)$
Exercice 17 (*)
1) Montrer que : $a^{2}+b^{2}\geq 2ab\;,\ \forall\;a\;,\ b\in\mathbb{R}.$
2) En déduire que pour $a\;,\ b\;,\ c$, réels strictement positifs $$(a^{2}+b^{2})c+(b^{2}+c^{2})a+(c^{2}+a^{2})b\geq 6abc$$
3) Déduire également du 1) que : $$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\geq\dfrac{9}{a+b+c}$$
Exercice 18
1) Montrer que pour tout $x$ réel : $x^{2}+1\geq 2x.$
2) En déduire quels que soient les réels strictement positifs $a\;,\ b\;,\ c$ et $d$, on a : $$\dfrac{(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)(d^{2}+1)}{abcd}\geq 16$$
Exercice 19 (*)
Soient $a\;,\ b$ et $c$ des réels quelconques.
1) En développant $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}$, montrer que : $$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$$
Dans quel cas a-t-on l'égalité ?
2) On suppose $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1.$
Démontrer que : $-\dfrac{1}{2}\leq ab+bc+ca\leq 1$
INDICATION : On pourra développer $(a+b+c)^{2}$
Exercice 20
Soit $n$ un entier naturel non nul.
1) Prouver que : $\sqrt{2n-1}\times\sqrt{2n+1}<2n$
2) En déduire que : $\dfrac{2n-1}{2n}<\dfrac{\sqrt{2n-1}}{\sqrt{2n+1}}$
3) Démontrer que : $\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{4}\times\dfrac{5}{6}\times\ldots\times\dfrac{2n-1}{2n}<\dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}$
Exercice 21 (*)
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels strictement positifs tels que $x\leq y.$
On pose :
$a=\dfrac{x+y}{2}$ (moyenne arithmétique de $x$ et $y)$
$g=\sqrt{xy}$ (moyenne géométrique ou proportionnelle de $x$ et $y)$
$h=\dfrac{2xy}{x+y}$ (moyenne harmonique de $x$ et $y$);
remarquer que : $\dfrac{1}{h}=\dfrac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}}{2}$
$q=\sqrt{\dfrac{x^{2}+y^{2}}{2}}$ (moyenne géométrique de $x$ et $y$) ;
remarquer que : $q^{2}=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{2}$
Le but de l'exercice est de comparer ces différentes moyennes.
1) Démontrer que $x\leq h$ et $q\leq y$
2) Démontrer que $g\leq a$
3) Démontrer que $g^{2}=ah.$ En déduire que $h\leq g$
4) Démontrer que $a\leq q$
5) Ranger par ordre croissant les nombres $x\;;\ y\;;\ a\;;\ g\;;\ h$ et $q$
6) Utiliser les résultats ci-dessus pour prouver que ,quels que soient les réels strictement positifs $x\;;\ y$ et $z$ on a :
a) $8xyz\leq(x+y)(y+z)(z+x)$
$\text{b)}\ xyz(x+y+z)\leq x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}\leq x^{4}+y^{4}+z^{4}$
Exercice 22
Soit $a>0$ et $b>0$. On pose $E=\dfrac{12a+10b}{3a+2b}.$
Démontrer que $4<E<5$
Exercice 23
Soit $x>0$ et $y>0$. On pose $Z=\dfrac{9x-4y}{3x-2y}.$
Démontrer que $2<Z<3$
Exercice 24
On considère quatre réels strictement positifs $a\;,\ b\;,\ c$ et $d$ tels que $\dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{d}$
1) Démontrer que $bc-ad>0.$
2) Démontrer que $\dfrac{a}{b}<\dfrac{a+c}{b+d}<\dfrac{c}{a}$
3) En s'inspirant de ce qui précède, trouver une fraction comprise entre $\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{3}{4}$
Exercice 25
Résoudre les équations et inéquations suivantes :
a) $\left|x-\dfrac{3}{2}\right|=\dfrac{5}{2}$
$\quad$
b) $|5x-3|=|3-4x|$
$\quad$
c) $|5-2x|=x+3$
$\quad$
b) $|5x-3|=|3-4x|$
$\quad$
c) $|5-2x|=x+3$
d) $|2x-3|=-3x-1$
$\quad$
e) $\left|x+\dfrac{5}{2}\right|\leq\dfrac{7}{2}\qquad$ f) $|7-5x|\leq 3$
$\quad$
e) $\left|x+\dfrac{5}{2}\right|\leq\dfrac{7}{2}\qquad$ f) $|7-5x|\leq 3$
g) $|9x-7|<4$
$\quad$
h) $|2x+1|\geq 1\qquad$ i) $|-4x-2|\geq 3$
$\quad$
h) $|2x+1|\geq 1\qquad$ i) $|-4x-2|\geq 3$
j) $|3x+1|>-4$
$\quad$
k) $|5x-3|\leq -2$
$\quad$
l) $1\leq|2x-7|\leq 8$
$\quad$
k) $|5x-3|\leq -2$
$\quad$
l) $1\leq|2x-7|\leq 8$
$\text{m)}\ |-2x+8|+|x+1|=3x+5$
$\quad$
n) $|4x-18|-|-7x+9|=-4$
$\quad$
n) $|4x-18|-|-7x+9|=-4$
Exercice 26
Écrire, à l'aide de valeur absolue, puis en terme de distance les inégalités $$1\leq x\leq 6\;;\quad -5<x<-3\;;\quad x<2\ \text{ ou }\ x>5$$
Exercice 27
Recopier et compléter le tableau suivant : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline\text{Distance}&\text{Inégalités}&\text{Intervalle}&\text{Valeur}&\text{Représentation}\\ & & &\text{absolue}& \\ \hline&-2\leq x\leq 4& & & \\ \hline d(x\;,\ 1)\leq 2& & & & \\ \hline& &]-\infty\;;\ 2]\cup[10\;;\ +\infty[& & \\ \hline& & &|x+5|<2& \\ \hline \end{array}$$
Exercice 28
Déterminer $E\cap F$ et $E\cup F$ dans chacun des cas suivants :
$\text{a)}\ E=\{x\in\mathbb{R}/\;\ |x-3|<2\}\ ;$
$\quad$
$F=\{x\in\mathbb{R}/\;\ |x-2|\leq 2\}$
$\quad$
$F=\{x\in\mathbb{R}/\;\ |x-2|\leq 2\}$
$\text{b)}\ E=\{x\in\mathbb{R}/\;\ |x|<5\}\ ;$
$\quad$
$F=\{x\in\mathbb{R}/\;\ |x|\geq 3\}$
Exercice 29
Pour chacun des cas suivants, déterminer un encadrement le plus précis possible du réel x :
1) 2.18 est une valeur approchée de $x$ avec l'incertitude $5\times 10^{-2}.$
2) 11.27 est une valeur approchée par défaut de $x$ avec l'incertitude $3\times 10^{-2}.$
3) 125.112 est une valeur approchée par excès de $x$ avec l'incertitude $7\times 10^{-3}.$
Exercice 30
Pour chacun des encadrements du réel x suivants déterminer :
a) une valeur approchée $a$ avec deux décimales de $x$ et une précision associée ;
b) une valeur approchée par défaut $b$ avec deux décimales de $x$ et une précision associée
c) une valeur approchée par excès $c$ avec trois décimales de $x$ et une précision associée.
1) $27.2142<x<27.2156$;
2) $0.8131<x<0.8152$;
3) $-216.8937<x<-216.8911$;
Exercice 31
73.47 est une valeur approchée de $x$ avec une incertitude de $8\times 10^{-2}$ et 73.43 est une valeur approchée de $y$ avec une incertitude de $5\times 10^{-2}.$ Peut-on comparer les réels $x$ et $y$ ?
Exercice 32
Soit $a$ un nombre réel vérifiant : $|a-1|\leq\dfrac{1}{2}.$ Montrer que $\dfrac{4}{3}$ est une valeur approchée du nombre $\dfrac{1}{a}$ à la précision $\dfrac{2}{3}.$
Exercice 33
Soit $x$ un nombre réel quelconque.
1) Prouver que : $|(1-2x)^{3}-(1-6x)|= x^{2}|12-8x|$
2) On suppose que $-\dfrac{1}{2}\leq x\leq\dfrac{1}{2}$.
a) Prouver que $|12-8x|\leq 16$
b) En déduire que : $|(1-2x)^{3}-(1-6x)|\leq 16x^{2}$
c) Donner une valeur approchée du nombre $(0.9998)^{3}$ à la précision $16\;10^{-8}.$
Exercice 34
Soit $a$ un nombre réel tel que $|a|<\dfrac{1}{2}.$ On pose $A=\dfrac{1}{\sqrt{1+a}}-\left(1-\dfrac{a}{2}\right).$
1) a) Montrer que $A=\dfrac{\sqrt{1+a}-\left(1+\dfrac{a}{2}\right)+\dfrac{a^{2}}{2}}{1+a}$
b) Montrer que $\sqrt{1+a}\leq 1+\dfrac{a}{2}$ et en déduire que $A\leq a^{2}.$
c) Montrer que $\dfrac{1}{\sqrt{1+a}}\geq 1-\dfrac{a}{2}$
2) En déduire une valeur approchée du nombre $\dfrac{1}{\sqrt{1.01}}$ à la précision $10^{-4}.$
Exercice 35
I) $J=[0.1258\;;\ 0.1264].$ Exprimer l'appartenance du réel $x$ à l'intervalle $J$ par une condition faisant intervenir la valeur absolue puis en langage d'approximation.
II) Traduire l'approximation donnée par un encadrement de $x.$
$\bullet$ 5.624 approche $x$ à $10^{-3}$ près.
$\bullet$ 62.94 approche $x$ par excès à $5\;10^{-3}$ près.
$\bullet$ 7.286 approche $x$ par défaut à $10^{-3}$ près.
Exercice 36 Le problème des 3 villes
Trois villes $A\;,\ B$ et $C$ sont situées le long d'une route rectiligne : $A$ et $B$ sont distantes de $900\;m \;;\ B$ est entre $A$ et $C\;;\ B$ et $C$ sont distantes de $1200\;m.$
Une personne compte faire quotidiennement 2 allers et retours entre sa maison et $A$, un entre sa maison et $B$, trois entre sa maison et $C.$
Où doit-elle construire sa maison pour que son trajet journalier soit minimal ?
Exercice 37 (*)
Résoudre les équations :
a) $E(x)=2\;;\quad$ b) $E(x)=x\;;\quad$ c) $E(x)=2x-5\;;\quad$ d) $3x-2=E(2x)\;;\quad$ e) $E(x^{2})=x^{2}$
Exercice 38
1) a) Démontrer que : $\forall\;x\in\mathbb{R}\;,\ 0\leq x-E(x)<1$
b) Démontrer que : $\forall\;x\in\mathbb{R}\;,\ -\dfrac{1}{2}\leq x-E\left(x+\dfrac{1}{2}\right)<\dfrac{1}{2}$
2) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $E\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)=2$
Exercice 39 (*)
1) Soit $a$ un nombre réel, $d$ son approximation décimale d'ordre $n$ par défaut et $d'$ son approximation décimale d'ordre $n+1$ par défaut. Montrer que $d\leq d'.$
2) Déterminer les approximations décimales d'ordre 0, 1, 2, 3 et 4 du nombre réel 2.71828.
Exercice 40
Donner un exemple d'intervalle fermé dont les bornes sont :
a) des entiers
b) des fractions
Exercice 41
1) Écrire les inégalités suivantes sous forme d'intervalles :
a) les réels $x$ tels que $x<0$ ;
b) les réels $x$ tels que $-1\leq x\leq 1$
2) Écrire les intervalles suivants sous forme d'inégalités :
a) $]-2;\ 6[$ $\qquad$ b) $]-\infty;\ 5[$
Exercice 42
1) Exprimer à l'aide d'intervalles l'ensemble des réels $x$ satisfaisant à la condition donnée.
a) $x\geq 1$ ou $x<-1$
b) $x<2$ et $x\geq -1$
c) $x<1$ et $x\leq -3$
d) $\left|2-\dfrac{x}{2}\right|\leq 0.4$
$\text{e)}\ E_{1}=\{x\in\mathbb{R}\;;\ |x-1|\leq 2 \text{ et }|-2x-x|\leq 2\}$
2) Traduire à l'aide de la notation valeur absolue les intervalles suivants
$x\in[-2\;;\ 6]\;,\ 2x-1\in\;]-3\;;\ 0[$
Exercice 43
On pose $A=]-\infty;\, \sqrt{2}]$, $B=[0;\ 7[$ et $C=]-1;\ 3]$
Déterminer $A\cup B$; $\quad$ $A\cap C$; $\quad$ $A\cap B\cap C$
Déterminer les ensembles $D$ et $E$ suivants : $D=A\cup C$ et $E=D\cap B$
Exercice 44
Dites dans chaque cas, à quel intervalle appartient $x$ et représentez cet ensemble sur une droite graduée.
a) $-1\leq x\leq 2$ $\qquad$ b) $x<-\frac{3}{2}$
$\quad$
c) $x\geq 10$
$\quad$
c) $x\geq 10$
d) $0<x\leq 3$ $\qquad$ e) $x\leq -1$ $\qquad$ f) $x$ est un réel strictement positif
Exercice 45
Traduisez par des inégalités l'appartenance d'un réel $x$ à chacun des intervalles.
a) $[-2;\ 3]$ $\qquad$ b) $]-1;\ 0]$
$\quad$
c) $]-\infty;\ 4[$
$\quad$
c) $]-\infty;\ 4[$
d) $]2;\ +\infty[$ $\qquad$ e) $]-\infty;\ 0[$
$\quad$
f) $]3;\ \frac{11}{2}[$
$\quad$
f) $]3;\ \frac{11}{2}[$
Exercice 46
On considère les intervalles $I=]3;\ +\infty[$ , $J=[1;\ 2]$ et $K=[2;\ 4]$.
1) Représenter chacun de ces intervalles sur un axes gradué.
2) Simplifier, lorsque c'est possible, les écritures des ensembles $I\cap J$; $\quad$ $I\cap K$; $\quad$ $J\cap K$; $\quad$ $I\cup J$; $\quad$ $I\cup K$ et $J\cup K$.
3) Pour chacun d'entre eux, préciser leur nature (c'est-à-dire s'il s'agit d'un intervalle fermé ou..., borné ou...)
Exercice 47
Soient $x$ et $y$ deux réels tels que $|x|<1$ et $|y|<1$
1) Démontrer que $|xy|<1$. En déduire que $1+xy>0.$
2) Développer $(1-x)(1-y)$ et $(1+x)(1+y)$
3) Démontrer que $\left|\dfrac{x+y}{1+xy}\right|<1$
Exercice 48
Sachant que $1.414<\sqrt{2}<1.413$ et $1.732<\sqrt{3}<1.733$; donner un encadrement de $\sqrt{2}+\sqrt{3}\;,\ \sqrt{6}\;,\ 3\sqrt{2}-2\sqrt{3}$
Exercice 49
1) Donner le meilleur encadrement possible de $\sqrt{5}+2\sqrt{3}\;,\ \dfrac{2\sqrt{5}-3\sqrt{3}}{2}$ sachant que $1.732<\sqrt{3}<1.733$ et $2.236<\sqrt{5}<2.237$
2) Comparer $\sqrt{5}-\sqrt{3}$ et $\dfrac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}$. Encadrer séparément ces deux nombres.
Quelle observation faites-vous ?
Exercice 50
1) Sachant que $2<x<9$ et $3<y<6$; donner un encadrement de $x+y\;,\ x-y\;,\ \dfrac{x}{y}\;,\ x^{2}$ et de $y^{2}$
2) Sachant que $3\leq x\leq 5$ et $-4\leq y\leq -1$; donner un encadrement de $xy\;,\ x-y\;,\ \dfrac{x}{y}$ et de $y^{2}$
Exercice 51
Sachant que $-2x+3\in[-4;\ -1]$ et $2x+1\in[1;\ 3]$
a) Donner un encadrement de $x$ et de $y$
b) En déduire un encadrement de $1-x$ et de $\dfrac{5}{2x+3}$
Exercice 52
Trouver deux entiers $a$ et $b$ tels que
$a.10^{-2}<\sqrt{15}<(a+1)10^{-2}$
$b.10^{-2}<\sqrt{\dfrac{5}{3}}<(b+1)10^{-2}$
Exercice 53
Soit $A$ un réel tel que $1.585\leq A\leq 1.59$
a) Donner une valeur approchée de $A$ ainsi que la précision.
b) Donner une approximation par défaut et par excès de $A$.
Exercice 54
1) Écrire sans le symbole | | les nombres suivants :
a) $|1-\sqrt{2}|$ $\quad$ b) $|a|$ pour $a$ négatif $\quad$ c) $\left|\sqrt{3}-\dfrac{5}{3}\right|$
2) Calculer
a) $a=-\left|-\dfrac{2}{3}\right|+\left|-\dfrac{13}{9}\right|$
$\quad$
b) $x-|x+1|$ pour $x=-5$
$\quad$
b) $x-|x+1|$ pour $x=-5$
3) Résoudre les équations suivantes
a) $|-2x|=7$ $\quad$ b) $|-x|=-5$
$\quad$
c) $|-x+4|=0$
$\quad$
c) $|-x+4|=0$
Exercice 55
Résoudre les inéquations suivantes
a) $|x-3|\leq 2$ $\quad$ b) $|1-2x|>3$
$\quad$
c) $-1\leq |3+2x|\leq 1$
$\quad$
c) $-1\leq |3+2x|\leq 1$
d) $|4x^{2}-1|\leq 3$ $\quad$ e) $|3-2x|\leq 4$
$\quad$
f) $|4x-1|\leq 3$
$\quad$
f) $|4x-1|\leq 3$
g) $|2x-1|+|2x-3|<1$
Exercice 56
1) Résoudre successivement $|2x-9|<5$ , $|2x-9|=5$ , $|2x-9|>5$
2) En déduire le tableau de signe de l'expression $|2x-9|-5$
3) Résoudre alors l'inéquation $\dfrac{|2x-9|-5}{21-3x}\leq 0$
Commentaires
Pascal (non vérifié)
lun, 11/14/2022 - 18:16
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Vraiment superbe
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