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Série d'exercices : Équations et Inéquations du second degré - 2nd

Exercice 1 Forme canonique

Compléter les égalités suivantes :

a) $x^{2}+2x=(x+2)^{2}-\ldots\ ;$
$\quad$
b) $x^{2}+6x=(x+3)^{2}-\ldots\ ;$

c) $x^{2}-x=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\ldots\ ;$
$\quad$
d) $x^{2}-4x=(x-\ldots)^{2}-\ldots\ ;$

e) $x^{2}+3x=(x+\ldots)^{2}-\ldots\;;\qquad$ f) $x^{2}-\dfrac{1}{2}x=(x-\ldots)^{2}-\ldots$

Exercice 2 Forme canonique

Mettre sous forme canonique les trinômes suivants :

a) $x^{2}+2x+3\qquad$ b) $x^{2}-4x+8$

c) $x^{2}-x-20\qquad$ d) $2x^{2}+4x-7$

e) $4x^{2}+2x-3$
$\quad$
f) $-x^{2}-\dfrac{1}{2}x+3$

$\quad$

g) $-x^{2}+4x-8$
$\quad$
h) $-3x^{2}-6x+15$

Exercice 3 Trinômes incomplets

Résoudre dans $\mathbb{R}$, sans utiliser le discriminant, les équations suivantes :

a) $2x^{2}+5x=0$
$\quad$
b) $2x^{2}-49x=0$

$\quad$

c) $(x+5)^{2}-4x-20=0$
$\quad$
d) $x^{2}-25+3(x+5)=0$

$\quad$

e) $4x^{2}-81=0$
$\quad$
f) $(x-9)^{2}-49=0$

$\quad$

g) $(3x-7)^{2}-4(x+1)^{2}=0$

Exercice 4 Résolution d'équations du second degré

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

a) $x^{2}-12x+36=0$
$\quad$
b) $4x^{2}+12x=-9$

$\quad$

c) $2x^{2}-5x-7=0$
$\quad$
d) $x^{2}-5x+6=0$

$\quad$

e) $3x^{2}-x=4$
$\quad$
f) $3x^{2}-10x+3=0$

$\quad$

g) $-x^{2}-6x+16=0$
$\quad$
h) $2x^{2}+5x+12=0$

$\quad$

i) $-x^{2}+3x+4=0$
$\quad$
j) $x^{2}-22x+105=0$

$\quad$

k) $5x^{2}+7x-34=0$
$\quad$
l) $2x^{2}-5x+3=0$

$\quad$

m) $\dfrac{x^{2}}{2}-3x+\dfrac{5}{2}=0$
$\quad$
n) $\dfrac{x^{2}}{2}-x-\dfrac{3}{2}=0$

$\quad$

o) $-\dfrac{x^{2}}{5}+2=\dfrac{9}{5}x$
$\quad$
p) $-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x}{2}+1=0$

$\quad$

q) $x^{2}+x\sqrt{2}=4$
$\quad$
r) $x^{2}+3=2x\sqrt{3}$

$\quad$

s) $x^{2}+2x\sqrt{2}+1=0$
$\quad$
t) $4x^{2}+5=4x\sqrt{5}$

$\quad$

$\text{u)}\ x^{2}-(3-2\sqrt{2})x+4-3\sqrt{2}=0\\$

$\text{v)}\ 2(x+1)^{2}-3(x-1)^{2}+4(x^{2}+1)=0$

Exercice 5 Discriminant réduit

Soit l'équation $(E)\ :\ ax^{2}+b'x+c=0$, avec $a\neq 0.\\$

On pose $\Delta'=b'^{2}-ac$

$(\Delta'$ s'appelle le discriminant réduit$).$

1) Établir les résultats suivants :

a) si $\Delta'<0$, alors $(E)$ n'a pas de solution réelle.

b) si $\Delta'=0$, alors $(E)$ a une solution double $x_{0}=-\dfrac{b'}{a}$

c) si $\Delta'>0$, alors $(E)$ a deux solutions :

$x'=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}\ $ et $\ x''=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}$

2) Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes en utilisant $\Delta'$, le discriminant réduit.

a) $x^{2}+12x+35=0$
$\quad$
b) $x^{2}+4x+5=0$

$\quad$

c) $x^{2}-10x+23=0$
$\quad$
d) $4x^{2}-12x+9=0$

$\quad$

e) $x^{2}2\sqrt{3}x-22=0$
$\quad$
f) $\dfrac{3}{2}x^{2}+\dfrac{2}{3}x-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}=0$

Exercice 6 Équations paramétriques

On considère l'équation suivante :

$(m-1)x^{2}+2mx+m-2=0\ (m$ paramètre réel$).$

1) Déterminer l'ensemble $E$ des valeurs de $m$ pour lesquelles cette équation est du second degré.

2) On suppose, pour la suite, que $m$ appartient à $E.$ Déterminer alors $m$ pour que l'équation :

a) n'admette aucune solution.

b) admette une solution double (qu'on déterminera).

c) admette deux solutions distinctes (qu'on calculera en fonction de $m).$

3) Reprendre les questions 1) et 2) pour les équations suivantes :

a) $x^{2}-(2m+1)x+m^{2}+m=0$
$\quad$
b) $x^{2}-2(m+1)x-2m-3=0$

c) $mx^{2}+2(m-1)x+2-3m=0$
$\quad$
$\text{d)}\ (m+1)^{2}x^{2}-2(m+1)x+1-m=0$

$\text{e)}\ m^{2}x^{2}-2m(m+1)x+2m+1=0$

Exercice 7 Équations dont la résolution se ramène à celle d'équations du second degré

1) Équations avec des valeurs absolues

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

a) $x^{2}-2|x|-3=0$
$\quad$
$\text{b)}\ x^{2}-3x-15=|4x-5|\\$

c) $2x|x-1|+|x+4|=0$

2) Équations fractionnaires

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

$\text{a)}\ \dfrac{x}{x+2}-\dfrac{5}{x^{2}-x-6}=\dfrac{5-2x}{x-3}\\$

b) $\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{3}{x}=\dfrac{3x^{2}-1}{x^{2}-x}$

$\text{c)}\ \dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{9}{x^{2}(x-3)}\\$

$\text{d)}\ \dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{x-3}=\dfrac{33}{11x-26}$

3) Équations bicarrées ou équations avec changement de variable

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes :

a) $x^{4}-11x^{2}+18=0$
$\quad$
$\text{b)}\ 9x^{4}-12x^{2}+4=0\\$

c) $2x^{4}+11x^{2}+5=0$

$\quad$

d) $x^{4}+x^{2}-6=0$
$\quad$
$\text{e)}\ 14x^{4}-9x^{2}+1=0\\$
$\quad$
f) $3x^{4}+5x^{2}-2=0$

$\quad$

$\text{g)}\ \left(\dfrac{2x+1}{x-3}\right)^{2}+2\left(\dfrac{2x+1}{x-3}\right)-3=0$
$\quad$
h) $x-5\sqrt{x}-6=0$

Exercice 8 Somme et produit des racines

Déterminer, s'ils existent, les nombres $x$ et $y$ dont on connaît la somme $S$ et le produit $P$ :

a) $S=26\ $ et $\ P=165$
$\quad$
b) $S=-46\ $ et $\ P=529$

$\quad$

c) $S=2\ $ et $\ P=-1$
$\quad$
d) $S=-3\ $ et $\ P=9$

$\quad$

e) $S=\dfrac{31}{35}\ $ et $\ P=\dfrac{6}{35}$
$\quad$
f) $S=-1\ $ et $\ P=\dfrac{20}{81}$

$\quad$

g) $S=200\ $ et $\ P=9999$

Exercice 9 Somme et produit des racines

L'équation $ax^{2}+bx+c=0$ est supposée avoir deux racines $x'$ et $x''.$

Calculer en fonction de la somme et du produit des racines les expressions suivantes :

$E_{1}=\dfrac{1}{x'^{2}}+\dfrac{1}{x''^{2}}\ ;$
$\quad$
$E_{2}=\dfrac{1}{x'^{3}}+\dfrac{1}{x''^{3}}$

$\quad$

$E_{3}=\dfrac{x'+3}{x''+1}+\dfrac{x''+3}{x'+1}\ ;$
$\quad$
$E_{4}=(x'-3)^{3}+(x''-3)^{3}$

Exercice 10 Existence et signe des racines

Étudier, suivant les valeurs de m, l'existence et le signe des solutions pour chacune des équations suivantes :

a) $(m+1)x^{2}-2mx+m-3=0$
$\quad$
$\text{b)}\ (m-3)x^{2}-2(m-3)x+m-2=0$

$\quad$

$\text{c)}\ (m-6)x^{2}+(2m+3)x+m+4=0$
$\quad$
d) $(m^{2}-4)x^{2}-2(m-2)x+1=0$

Exercice 11 Existence et signe des racines

1) Trouver $m$ pour qu'on ait deux solutions de signes contraires dans chacun des cas suivants

a) $x^{2}+2mx+m-3=0$
$\quad$
b) $(2m-5)x^{2}+mx+7=0$

$\quad$

$\text{c)}\ (m-5)x^{2}+(7m-1)x-4m+1=0$

2) Déterminer $m$ pour qu'on ait deux solutions strictement positives dans chacun des cas suivants :

$\text{a)}\ (m-3)x^{2}+(2m-1)x+m+1=0$
$\quad$
$\text{b)}\ (m-4)x^{2}-2(m-2)x+m-1=0$

3) Reprendre la question 2) dans le cas où les deux solutions sont strictement négatives.

Exercice 12 Existence et signe des racines. Relation entre les racines

On considère l'équation suivante : $$(m+3)x^{2}+2mx+m-5=0$$

1) Étudier, suivant les valeurs du paramètre $m$, l'existence et le signe des solutions .

2) Déterminer $m$ tel qu'on ait deux solutions $x'$ et $x''$ vérifiant : $$(2x'-1)(2x''-1)=6$$

3) Lorsque l'équation admet deux solutions $x'$ et $x''$, montrer qu'il existe une relation indépendante de $m$ entre elles.

4) Former une équation du second degré ayant pour solutions : $$X'=3x'-2\ \text{ et }\ X''=3x''-2$$

Exercice 13 Existence des racines. Relation entre les racines

Soit l'équation : $$x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+2=0.$$

1) Étudier, suivant les valeurs de $m$, l'existence des racines.

2) Déterminer $m$ pour que l'une des racines soit le double de l'autre.

Exercice 14 Application du théorème donnant le signe d'un trinôme

1) Étudier, suivant les valeurs de $x$ , le signe des trinômes suivants :

$A=(2x-3)(x+4)$
$\quad$
$B=(x+1)(7-x)$
$\quad$
$C=x^{2}-11x+10$

$\quad$

$D=-3x^{2}+4x+4$
$\quad$
$E=-3x^{2}+x-2$
$\quad$
$F=2x^{2}-x+1$

$\quad$

$G=-9x^{2}+12x-4$

2) Étudier, suivant les valeurs de $x$, le signe des fractions rationnelles suivantes :

$H=\dfrac{3x-1}{2-x}$
$\quad$
$I=\dfrac{x^{2}+4x-21}{-2x^{2}+9x+5}$

$\quad$

$J=\dfrac{-5x+3}{2x^{2}+5x-3}$
$\quad$
$K=\dfrac{3x^{2}+5x-2}{6x^{2}-23x+7}$

Exercice 15 Inéquations du second degré

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :

1) inéquations du second degré

a) $-3x^{2}+4x-\dfrac{4}{3}\geq 0$
$\quad$
b) $-x^{2}-x-\dfrac{1}{4}<0$
$\quad$
c) $-4x^{2}-3x+1\leq 0$

$\quad$

d) $-x^{2}-4x-5>0$
$\quad$
e) $-2x^{2}+3x+1>3x^{2}+5x-1$

$\quad$

f) $-5x^{2}+4x-12<0$

2) inéquations dont la résolution se ramène à celle d'inéquations du second degré

$\text{a)}\ (2x-3)^{2}-(2x-3)(x^{2}+x+1)\leq 0$
$\quad$
$\text{b)}\ (-9x^{2}+12x-4)(2x^{2}+x-6)>0$

$\quad$

$\text{c)}\ (2x^{2}-2x\sqrt{5}+1)(-2x^{2}-9x+5)\geq 0$
$\quad$
d) $(3x+2)^{2}<(x^{2}+5x+2)^{2}$

$\quad$

e) $(3x^{2}-x+1)^{2}\geq(2x^{2}+9x-4)^{2}$

3) cas où l'inconnue apparaît au dénominateur

a) $\dfrac{x+3}{2(x-1)}<\dfrac{3(x-8)}{x-5}$
$\quad$
b) $\dfrac{x^{2}+x-6}{x^{2}-x-6}\geq -1$

$\quad$

c) $\dfrac{3x^{2}-6x+4}{2x^{2}-x-1}>2$
$\quad$
d) $\dfrac{x+5}{3-x}-\dfrac{2x+1}{x+2}\geq\dfrac{23}{4}$

$\quad$

e) $\dfrac{x-4}{x-1}-\dfrac{x}{3-x}\leq 1$
$\quad$
f) $\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{2x-3}\leq\dfrac{6}{6x-7}$

$\quad$

g) $\dfrac{(x-1)(3x^{2}+x-10)}{1-2x}\geq 0$

Exercice 16 Systèmes d'inéquations

Résoudre dans $\mathbb{R}$ les systèmes d'inéquations suivants :

a) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x^{2}+x-20&<&0 \\ 2x^{2}+7x+3&\geq&0\end{array}\right.$
$\quad$
b) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x^{2}-\dfrac{7}{2}x+\dfrac{3}{2}&>&0 \\ \\ \dfrac{2x-7}{x-4}&\leq&1\end{array}\right.$

c) $2<(2x-3)^{2}<\dfrac{25}{4}$
$\quad$
$\text{d)}\ \dfrac{1}{x+1}<\dfrac{1}{(x-1)(x-3)}<\dfrac{1}{x+3}$

$\quad$

e) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x^{2}+5x-3&>&0 \\ -x^{2}-3x+4&\geq&0 \\ x^{2}-2x+1&>&0\end{array}\right.$

Exercice 17

Soit l'équation $(E)$ d'inconnue réelle $x\ :$ $$x^{4}+10x^{3}+26x^{2}+10x+1=0$$

1) a) Montrer que 0 n'est pas solution de $(E).$

b) En déduire que $(E)$ a les mêmes solutions que $$(E')\ :\ x^{2}+10x+26+\dfrac{10}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}=0$$

2) On pose $X=x+\dfrac{1}{x}.$

a) Montrer que $x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=X^{2}-2.$

b) Montrer que si $x$ est solution de $(E')$, alors $X$ est solution de l'équation $$(E'')\ :\ X^{2}+10X+24=0$$

3) Résoudre $(E'')$, puis en déduire les solutions de $(E).$

4) Utiliser la même méthode pour résoudre l'équation : $$2x^{4}-9x^{3}+8x^{2}-9x+2=0$$

Exercice 18

1) Sans chercher la solution de l'équation $2x^{2}-(\sqrt{7}-\sqrt{5})x-9=0$ déterminer la somme et le produit des racines.

2) Soit l'équation $\sqrt{2}x^{2}+\sqrt{x}-2\sqrt{3}+4\sqrt{2}=0$. Sachant que 2 est racine déterminer l'autre racine sans calculer $\Delta$ le discriminant.

Exercice 19

Soit $P(x)=3x^{2}-5x+1$ un trinôme du second degré qui admet deux racines distinctes notées $x'$ et $x''$.

1) Sans déterminer ces racines, calculer :

$x'+x''\;,\ x'x''\;,\ x'^{2}+x''^{2}\;,\ x'^{3}+x''^{3}$

$(3x'-1)(3x''-1)\;,\ \dfrac{1}{x'}+\dfrac{1}{x''}\;,\ $ et $\dfrac{x'}{x''}+\dfrac{x''}{x'}$

2) Déterminer une équation qui a pour racines $X_{1}=\dfrac{x'}{x''}\ $ et $\ X_{2}=\dfrac{x''}{x'}$

Exercice 20

1) Déterminer le trinôme du $2^{nd}$ degré vérifiant : $$P(x)-P(x-1)=x\quad\text{et}\quad P(0)=0$$

2) Exprimer $S_{n}=1+2+3+\ldots\ldots+n$ en fonction de $n$

3) Quelle est la valeur de $1+2+3+\ldots\ldots+1000$ ?

Exercice 21 Problèmes du second degré

Les différentes questions sont indépendantes.

1) Déterminer deux nombres entiers consécutifs sachant que la somme de leurs carrés est 2813.

2) Trouver les dimensions d'un rectangle de périmètre $140\;m$ et de diagonale $50\;m.$

3) Quelle est l'aire maximale d'un champ rectangulaire que l'on peut entourer avec 200 m de clôture ?

4) La somme de $720\ 000\ F$ doit être partagée entre un certain nombre de personnes.

Sil y avait $5$ personnes des moins, la part de chacune se trouverait augmentée de $2000\ F.$

Combien de personnes participent au partage ?

5) Deux villes $A$ et $B$ sont distantes de $75$ kilomètres. Un cycliste va de $A$ en $B$ et revient en $A.$ La durée totale du trajet aller et retour est égale à cinq heures et trente minutes. Sachant que la vitesse moyenne à l'aller surpasse de cinq kilomètres par heure la vitesse moyenne au retour, calculer les vitesses moyennes à l'aller et au retour.

6) Calculer les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle $ABC$, d'hypoténuse $BC=a$ sachant que $AB+AC=\dfrac{5a}{4}.$

7) Soit un demi-cercle de diamètre $AB=2R.$ Un point $M$ du demi-cercle se projette orthogonalement en $H$ sur la droite $(AB).$ Déterminer le point $M$ dans les cas suivants :

a) $2AM-3AH=\dfrac{4}{5}R$
$\quad$
b) $AH^{2}+2HM^{2}=2R^{2}$
$\quad$
c) $AM+HB=\dfrac{19}{8}R.$

8) La pierre dans le puits

Je laisse tomber une pierre dans un puits et au bout de $3$ secondes j'entends le "plouf".

Quelle est la profondeur du puits ?

Information : Un caillou en chute libre, lâché sans vitesse initiale, parcourt au bout de $t$ secondes une distance $x=4.9 t^{2}$ (en mètres). La vitesse du son est de $340\;m\cdot s.$

$\begin{array}{c}\blacktriangleright\,\boxed{\text{Correction des exercices}}\end{array}$

Commentaires

Mamoudou (non vérifié)

mar, 01/29/2019 - 16:35

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Série d'exercices : Équations et Inéquations du second degré - 2nd

Formulaire de recherche

Exercice 1 Forme canonique

Exercice 2 Forme canonique

Exercice 3 Trinômes incomplets

Exercice 4 Résolution d'équations du second degré

Exercice 5 Discriminant réduit

Exercice 6 Équations paramétriques

Exercice 7 Équations dont la résolution se ramène à celle d'équations du second degré

Exercice 8 Somme et produit des racines

Exercice 9 Somme et produit des racines

Exercice 10 Existence et signe des racines

Exercice 11 Existence et signe des racines

Exercice 12 Existence et signe des racines. Relation entre les racines

Exercice 13 Existence des racines. Relation entre les racines

Exercice 14 Application du théorème donnant le signe d'un trinôme

Exercice 15 Inéquations du second degré

Exercice 16 Systèmes d'inéquations

Exercice 17

Exercice 18

Exercice 19

Exercice 20

Exercice 21 Problèmes du second degré

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