Classe:

Troisième

Exercice 1

1) Parmi les couples ci-dessous quels sont ceux qui sont solution de l'équation : $$2x-y+2=0\ ?$$

$(-2\;;\ 1)\;;\ (0\;;\ -2)\;;\ (-2\;;\ 0)\ $ et $\ (-4\;;\ -6).$

2) Dans chacune des équations suivantes, citer deux couples de solution.

a) $2x-3y+2=0$

b) $2x–y=0$

Exercice 2

Répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse.

1) Le couple $\left(\dfrac{3}{2}\;;\ \dfrac{-1}{2}\right)$ est solution du système $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y-2&=&0 \\ \\-x-y+1&=&0\end{array}\right.$

2) Le couple $(\sqrt{2}\;;\ \sqrt{3})$ est solution de ce système $\left\lbrace\begin{array}{rcl} \sqrt{2}x-\sqrt{3}y-2&=&-1 \\ \\\sqrt{6}x+3y&=&4\sqrt{3}\end{array}\right.$

Exercice 3

Résoudre dans $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ chacun des systèmes d'équations suivants par la "méthode de substitution" :

1) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y+3&=&0 \\ \\2x+y-6&=&0\end{array}\right.$

2) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+2y-11&=&0\\ \\2x+3y-5&=&0 \end{array}\right.$

3) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x-3y&=&0\\\\ x+y&=&-4\end{array}\right.$

4) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 4x-3y&=&1\\ \\12x-y&=&-5\end{array}\right.$

5) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y-6&=&0\\\\ 5x-2y&=&8\end{array}\right.$

6) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-\sqrt{2}y&=&2\\\\ x+\sqrt{2}y-\sqrt{3}&=&0\end{array}\right.$

Exercice 4

Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ les systèmes suivants par la "méthode de comparaison" :

1) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y&=&7\\\\ x+y&=&3\end{array}\right.$

2) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y-5&=&0\\\\ x+2y&=&4\end{array}\right.$

3) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2y+x&=&5\\\\ -y+7&=&x+4\end{array}\right.$

4) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 3x-y&=&2\\\\ 2x-y&=&1\end{array}\right.$

5) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-2y&=&6\\\\ -x+y&=&-4\end{array}\right.$

6) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-3y-3&=&0\\\\ 3x-2y+4&=&0\end{array}\right.$

Exercice 5

Résoudre dans $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ les systèmes d'équations suivants par la "méthode de combinaison ou +" :

1) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y&=&7\\\\ 2x+3y&=&1\end{array}\right.$

2) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 3x+7y-5&=&0\\\\ 5x-3y+3&=&0\end{array}\right.$

3) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 4x-3y&=&0\\\\ 3x-2y&=&1\end{array}\right.$

4) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 7x+3y&=&1\\\\ x-3y&=&7\end{array}\right.$

5) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 5x+3y-6&=&0\\\\ -5x+2y-1&=&0\end{array}\right.$

6) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x+2y&=&1\\\\ 3x-3y&=&-2\end{array}\right.$

Exercice 6

1) Résoudre algébriquement dans $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ le système d'équations défini par : $$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-y-1&=&0\\\\ 2x-y+2&=&0\\\\ -x+3y+9&=&0\end{array}\right.$$

2) Interpréter géométriquement votre réponse dans un repère orthonormé $(O\;,\ I\;,\ J).$

Exercice 7

Résoudre dans $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ les systèmes d'équations suivants par la "méthode graphique" :

1) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x-y-1&=&0\\\\ x-y+4&=&0\end{array}\right.$

2) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x-2y+4&=&0\\\\ -2x+4y-8&=&0\end{array}\right.$

Exercice 8

Résoudre les systèmes d'équations suivants :

1) $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x^{2}+y^{2}&=&41\\\\x^{2}-y^{2}&=&9\end{array}\right.$

2) $\left\lbrace\begin{array}{rcl}\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{y}&=&\dfrac{3}{5}\\ \\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}&=&\dfrac{7}{5}\end{array}\right.$

3) $\left\lbrace\begin{array}{r} \dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}\\ \\ x+y+z=30 \end{array}\right.$

Exercice 9

On donne le système $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x^{2}+y^{2} &=& 85\\\\ xy &=& 42\end{array}\right.$

1) Calculer $(x+y)^{2}$

2) Calculer $(x-y)^{2}$

3) Des questions précédentes résoudre le système donné.

Exercice 10

Un terrain rectangulaire a un périmètre de $150\;m.$

Si on augmente sa largeur de $5\;m$ et si on diminue sa longueur de $5\;m$ son aire augmente de $120\;m^{2}.$

Quelles sont les dimensions de ce terrain ?

Exercice 11

Assane et Ousseynou désirent acheter un magnétophone qui coûte $20\,000$ francs. Les économies de Ousseynou représentent les $4/5$ de celles de Assane. S'ils réunissent leurs économies, il leur manque $2\,720$ francs pour effectuer leur achat.

1) En prenant $x\ $ et $\ y$ comme économies respectives de Assane et de Ousseynou, mettre ce problème sous la forme d'un système d'équations du premier degré.

2) Calculer alors le montant des économies de chacun des deux garçons.

Exercice 12

Dans une classe...

Au début, il y a deux fois plus de garçons que de filles. Six garçons quittent la salle et six filles arrivent ; il y a alors deux fois plus de filles que de garçons.

Combien de garçons et de filles y avait-t-il au début ?

Exercice 13

1) Résoudre le système : $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y &=& 8\\\\ x+2y &=& 11\end{array}\right.$

2) On désigne par $x$ la longueur d'un rectangle et par $y$ sa largeur, exprimées en $cm.$ Le périmètre de ce rectangle est $16\;cm$. Si l'on ajoute $3\;cm$ à la longueur et si l'on double la largeur le périmètre devient $28\;cm.$

Écrire les deux équations correspondant à ces données.

3) Déterminer la longueur et la largeur de ce rectangle.

Exercice 14

1) Résoudre dans $\mathbb{R}^{2}$ le système $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+2y &=& 625\\\\ 6x+13y &=& 3\,975\end{array}\right.$

2) Tante Adja dit à sa fille : "Avec $6\,250$ francs CFA j'achetais $10\;kg$ de pommes de terre et $20\;kg$ d'oignons. Après la dévaluation du franc CFA, je dois payer $7\,950$ francs CFA pour avoir les mêmes quantités".

Trouver le prix d'un kilogramme de pommes de terre et celui d'oignons avant la dévaluation sachant que ces prix ont été multipliés respectivement par $1.2\ $ et $\ 1.3$ après la dévaluation

Exercice 15

Les économies de Amy et Aly sont composées exclusivement de pièces de $250$ francs.

Amy dit à Aly : "Si tu me donnes six pièces, je disposerai alors de deux fois plus d'argent que toi ; mais si je donne quatre pièces, nous aurons les mêmes sommes d'argent".

1) En prenant $x\ $ et $\ y$ comme économies respectives de Amy et Aly, mettre ce problème sous la forme d'un système d'équations à deux inconnues.

2) Calculer le montant des économies de chacun.

Exercice 16

J'ai deux fois l'âge que vous aviez quand j'avais l'âge que vous avez.

Et quand vous aurez mon âge , nous aurons à nous deux $63$ ans.

Quel est mon âge ?

Exercice 17

Le périmètre d'un triangle $ABC$ est égal à $120\;m$. Les côtés sont respectivement proportionnels à $3\;,\ 4\ $ et $\ 5.$

Déterminer les dimensions de ce triangle.

Exercice 18

Richard possède une certaine somme d'argent. Il envisage d'en dépenser les $2/3$ pour acheter un album de timbres, et d'en encaisser le quart en revendant ses timbres en double. Il lui restera alors $210$ frs

Combien possède-t-il ?

Exercice 19

Un transporteur a livré $144$ caisses, toutes identiques, et $25$ fûts tous de même masse, en trois voyages. Le premier chargement de $56$ caisses et de $4$ fûts atteignait $3\,480\;kg.$

Le second de $40$ caisses et $7$ fûts pesait $4\,350\;kg.$

Quelle était la masse du dernier chargement ?

Exercice 20

Un âne porte $15$ sacs de sel et $2\;kg$ d'olives. Un mulet porte $2$ sacs de sel et $41\;kg$ d'olives. L'âne souffle fort! "De quoi te plains-tu ?" dit le mulet, "nous portons la même charge"

Quelle est la masse, en kilogramme, d'un sac de sel ?

Exercice 21

Une ficelle de $70\;cm$ est fixée à deux clous $A\ $ et $\ B$ distants de $20\;cm.$ On tend la ficelle jusqu'à un point $C$ tel que $ABC$ est un triangle rectangle en $A.$

Calculer alors les longueurs $AC\ $ et $\ BC.$

Exercice 22

La moyenne de six notes est $4.$ On ajoute une note et la moyenne devient $5.$

Quelle est cette septième note ?

Exercice 23

Peut-on trouver trois nombres entiers naturels consécutifs dont la somme vaut $1995\ ?$

Exercice 24

David et Fabrice ont respectivement $15$ ans et $5$ ans.

Dans combien d'années l'âge de David sera-t-il le double de celui de Fabrice ?

Dans combien d'années sera-t-il le triple ?

Dans combien d'années sera-t-il le 6 fois plus grand ?

Exercice 25

Un père a $27$ ans de plus que son fils. Dans 6 ans, son âge sera le double de celui de son fils.

Quelles sont les âges du père et du fils ?

Exercice 26

Une mère de $37$ ans a trois enfants âgés de $8\;,\ 10\ $ et $\ 13$ ans. Dans combien d'années l'âge de la mère sera-t-il égal à la somme des âges de ses enfants ?

Exercice 27

Pierre dit à Yves : "J'ai $5$ fois l'âge que tu avais quand j'avais l'âge que tu as". Yves lui répond : "Quand j'aurai l'âge que tu as, la somme de nos âges sera $88$ ans"

Quelle est l'âge de Pierre ?