Bac Maths D, Union des Comores 2015

Exercice 1

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O ; u ; j).

On considère l'équation (E) : Z2+(3i)Z4(1+i)=0 et la suite (Mn) des points d'affixes (Zn)=(2eiπ4) définie pour n1.

1. a) Calculer Z1 ; Z2 ; Z3 et Z4.

b) Placer les points M1 ; M2 ; M3 et M4.

2. a) Vérifier que Z1 est une solution de l'équation (E).

b) En déduire l'autre solution de (E).

3. a) Donner l'écriture complexe de la similitude directe f de centre M2 et qui transforme M1 et M3.

b) En déduire le rapport et l'angle de f.

c) Quelle est l'image de la droite (M1M2) par f ?  

4. On pose dn=|Zn+1Zn| et Ln=d1+d2+d3++dn pour tout n1.

a) Calculer dn en fonction de n.

b) En déduire l'expression de Ln en fonction de n.

c) Déterminer le plus petit entier naturel n tel que Ln10.

Exercice 2  

Un touriste européen veut visiter 2 villes de notre pays parmi 3 : V1 ; V2 et V3.

Il part de l'aéroport situé en A.

Les lignes représentent les routes par lesquelles il peut passer d'une ville à l'autre.

Il fait ses visites totalement au hasard, sans repasser deux fois dans la même ville déjà visitée ni revenir à l'aéroport.

Par exemple : AV2V3 est une liste de visite possible de deux villes.
 

 
1. Indiquer toutes les listes de visite de deux villes.

2. Calculer les probabilités des évènements suivants :

A : « le touriste visite la ville V3 »  

B : « le touriste visite V3 en dernier »

C : « le touriste visite V3 avant V2 »  

D : « le touriste ne visite pas V3 »

On suppose que tous les listes ont la même probabilité.  

3. Soit X la variable aléatoire qui associe l'ordre de V3 visitée par le touriste.  

a) Déterminer l'ensemble des valeurs prises par X ; On admet que si V3 ne figure pas dans la liste alors X=0.

b) Donner la loi de probabilité de X.

c) Calculer l'espérance mathématique de X.

Problème

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A  

On considère la fonction f définie sur ]1 ; 0[]0 ; +[ par f(x)=ln(x+1)+mln(x+1)m est un réel strictement positif.
 
On désigne par (C) la courbe représentative de f ; unité graphique étant égale à 2cm.

1. a) Déterminer les limites de f aux bornes de l'ensemble de définition de f.

b) Interpréter graphiquement les résultats obtenus.  

2. On suppose que m=(ln2)2.

a) Calculer f(x) et étudier son signe.

b) En déduire le sens de variation de f.

c) Dresser le tableau de variation de f.  

3. Tracer la courbe (C).
 
4. On pose : In=31f(x)dx

a) Montrer que pour tout x[1 ; 3], 52ln2f(x)3ln2.

b) Donner une interprétation géométrique de I.

c) En déduire un encadrement de I.

Partie B  

On considère la fonction g définie sur ]1 ; +[ par g(x)=14x+lnx+1

Pour tout entier n1, on pose αn=en2+2netβ=αnα1g(x)dx.

1. En remarquant que g(x)=14(1xlnx+1), déterminer une primitive G de g sur ]1 ; +[.

2. a) Calculer α1 ; G(α1) et G(αn)

b) Exprimer βn en fonction de n.  

c) Montrer que (βn) est une suite arithmétique dont on précisera la raison r et le premier terme β1.
 

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Je suis un élève de terminale

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