Coniques - T S1

I. Introduction

Étymologiquement, une conique est une courbe plane obtenue en coupant un cône de révolution par un plan.
Les coniques propres obtenues ainsi sont les cercles, les ellipses, les paraboles, les hyperboles, mais dans certains cas, l'intersection d'un cône et d'un plan donne un point, une droite ou deux droites, ce sont des coniques impropres ou dégénérées.
Plusieurs définitions des coniques sont possibles (foyers et directrices, définition bifocale,...), la seule qui englobe tous les cas particuliers est la définition analytique suivante : une conique est une courbe plane définie par une équation qui peut s'écrire sous la forme  ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0
 
 

II. Définitions par foyer, directrice et excentricité

1. Définitions

   Soit F un point du plan, e un réel > 0, et D une droite ne contenant pas F, on appelle conique de foyer F, d'excentricité e, et de directrice D, l'ensemble Γ des points M du plan tels que :
MF=e×d(M, D)d(M, D) est la distance de M à la droite D.

On peut aussi donner la définition ainsi : MΓMF=eMHH est le projeté orthogonal de M sur D
 
Si 0<e<1, la conique Γ est une ellipse
 
Si e=1, la conique Γ est une parabole
 
Si e>1, la conique Γ est une hyperbole
 
 
 
 
 
 
Sur le dessin ci-dessus, on a MF=eMH avec e tel que 0<e<1  (e de l'ordre de 0.6)
 
   On appelle axe focal de la conique la droite perpendiculaire à D et passant par F.

   L'axe focal d'une conique est un axe de symétrie pour la conique.

   Un sommet de la conique est un point d'intersection entre la conique et son axe focal.
 
Quatre coniques ayant même foyer et même directrice.
 
Parabole (e=1)  :  MF=MH et NF=NH

2.Sommets sur l'axe focal

Une conique C étant donnée par un foyer F, son excentricité e et une directrice D, cherchons les points de l'axe focal qui appartiennent à la conique. Soit K est le projeté orthogonal de F sur D.

Les points M cherchés doivent vérifier MF=e×d(M, D), soit ici MF=eMK, les points M,  F,  K étant alignés.
 
   Si e=1;  MF=MK entraîne que le seul point de la conique sur l'axe focal
 
 est le milieu S de [FK] (sommet de C).
 
   Sinon MF=eMK, les points M,  F,  K étant alignés, cela entraîne que 
 
MF=eMK  ou  MF=eMK
 
Il y a donc deux points appelés sommets qui appartiennent à la conique et qui sont sur l'axe focal :
 
S tel que SF=eSK soit SF+eSK=0,  S est le barycentre de (F, 1);
 
 (K, e), on a donc FS=e1+eFK
 
et S tel que SF=eSK soit SFeSK=0,  S est le barycentre de
 
(F, 1);  (K, e), on a donc FS=e1eFK
 
 

 

III. Equation réduite et forme des coniques : première approche

1. Paraboles

Soit F un point du plan, e un réel >0, et D une droite ne contenant pas F.
On considère la parabole P de foyer F, d'excentricité e=1, et de directrice D.
C'est l'ensemble des points M du plan P tels que MF=d(M, D) ou encore MPMF=MHH est le projeté orthogonal de M sur D.
Soit K le projeté orthogonal de F sur D.
Considérons un repère orthonormé (O; i, j)O est le milieu de [FK] et 
 
i=1OFOF.


Notons p=KF, p est appelé le paramètre de la parabole.
Alors, dans ce repère, de l'égalité définissant la parabole MF=d(M, D), on déduit une équation réduite de la parabole y2=2px

2. Ellipses

Soit F un point du plan, e un réel de ]0;1[, et D une droite ne contenant pas F.
On considère l'ellipse E de foyer F, d'excentricité e et de directrice D.
C'est l'ensemble des points M du plan P tels que MF=e×d(M, D) ou encore MEMF=eMHH est le projeté orthogonal de M sur D
E admet deux sommets S et S (cf.II2) où S est le barycentre de (F, 1);  (K, e) et S est le barycentre de (F, 1);  (K, e).
Considérons un repère orthonormal (O, i, j) tel que O
est le milieu de [SS] et avec K projeté orthogonal de F sur D
, i=1OSOS.
Notons a=OS,  c=OF et b=a2c2
Alors, dans ce repère, de l'égalité définissant l'ellipse MF=e×d(M, D), on déduit 
une équation réduite de l'ellipse x2a2+y2b2=1
 
   L'équation réduite étant invariante par transformation de x en x et de y en y, on en déduit que les ellipse admettent deux axes de symétrie (Ox) et (Oy) et donc un centre de symétrie O.
 
   De x2a2+y2b2=1, on déduit y2=b21x2a2 et donc que l'ellipse ε est la réunion des courbes des fonctions xbaa2x2 et xbaa2x2

Ces deux courbes sont symétriques par rapport à (Ox), et les fonctions sont toutes deux définies sur [a; a]

3. Hyperboles

Soit F un point du plan, e un réel e>1 et D une droite ne contenant pas F.
On considère l'hyperbole H de foyer F, d'excentricité e, et de directrice D.
C'est l'ensemble des points M du plan P tels que MF=e×d(M, D) ou encore MHMF=eMHH est le projeté orthogonal de M sur D.
H admet deux sommets S et S (cf.II2) où S est le barycentre de (F, 1);  (K,e), et S est le barycentre de (F, 1);  (K, e).
Considérons un repère orthonormal (O; i, j) tel que O
est le milieu de [SS] et avec K projeté orthogonal de F sur D.
i=1OSOS.
Notons a=OS,  c=OF et b=c2a2
Alors, dans ce repère, de l'égalité définissant l'hyperbole MF=e×d(M, D), on déduit 
une équation réduite de l'hyperbole x2a2y2b2=1
 
   L'équation réduite étant invariante par transformation de x en x et de y en y, on en déduit que les ellipse admettent deux axes de symétrie (Ox) et (Oy) et donc un centre de symétrie O.
 
   De x2a2y2b2=1, on déduit y2=b2x2a21 et donc que l'hyperbole H est la réunion des courbes des fonctions xbax2a2 et xbax2a2
 
Ces deux courbes sont symétriques par rapport à (Ox), et les fonctions sont toutes deux définies sur ]; a][a; +[

IV. Paraboles, Ellipses et Hyperboles

1. Paraboles

Soit p un réel non nul.

1.1. Courbes

   Paraboles d'axes (Ox)
 
Dans un repère orthonormé (O; i, j) la courbe d'équation y2=2px est la parabole de foyer F(p2, 0) et de directrice d'équation x=p2.  |p| est le paramètre de la parabole, O est le sommet de la parabole.
 
La parabole d'équation y2=2px est la réunion des courbes des fonctions x2px et x2px symétriques par rapport à (Ox)

 

   Paraboles d'axes (Oy)


Dans un repère orthonormé (O; i, j) la courbe d'équation x2=2py est la parabole de foyer F(0, p2) et de directrice d'équation y=p2.  |p| est le paramètre de la parabole, O est le sommet de la parabole.

1.2. Remarques

Quelques éléments pour retrouver rapidement la forme des paraboles à partir d'une équation :
 
   Pour une équation x2=2py, ou y=12px2 du type y=kx2, la parabole a (Oy) comme axe de symétrie comme la courbe d'équation y=x2
 
De plus x2=2pyy=12px2 donc {sip>0pour tout  x,y>0sip<0pour tout  x,y<0
 
 
   Pour une équation y2=2px, la parabole est la réunion des courbes des fonctions x2px et x2px.
 
Ces deux courbes sont symétriques par rapport à (Ox), et les fonctions sont toutes deux définies sur [0, +[ si p>0 et définies sur ], 0] si p<0.

1.3. Tangentes

   Equation et "règle du dédoublement" :
 
Pour une parabole d'équation : y2=2px : une équation de la tangente en M0 est : yy0=p(x+x0)
 
Pour une parabole d'équation : x2=2py : une équation de la tangente en M0 est : xx0=p(y+y0)
 
Démonstration en exercice, ces équations se retrouvent très facilement en utilisant la "règle du dédoublement"
 
En passant de l'équation de la courbe à l'équation de la tangente,  x2xx0,  y2yy0,  2x(x+x0) et 2y(y+y0)
 
   Propriété géométrique
 
T étant le point d'intersection de la tangente en M0 avec la directrice D
 
La tangente (M0T) est la médiatrice de [FH], et le triangle M0FT est un triangle rectangle en F.
 

2. Ellipses

2.1. Courbes

Soient a>0 et b>0
 
Dans un repère orthonormé (O, i, j), soit E la courbe d'équation x2a2+y2b2=1
 
  si a=b,  E est un cercle
 
  si ab,  E est une ellipse de sommets A(a, 0),  A(a, 0),  B(0, b) et B(0, b), de centre O
 
Toute ellipse admet exactement deux foyers directrices associées.

Ellipse  x2a2+y2b2=1  avec  a>bEllipse  x2a2+y2b2=1  avec  a<bAxe focal  (Ox)Axe focal  (Oy)Avec  c=a2b2Avec  c=b2a2foyers  F(c, 0)  et  F(c, 0)foyers  F(0, c)  et  F(0, c)Directrices  x=±a2cDirectrices  x=±b2cexcentricité  e=caexcentricité  e=cb

 
 

Remarque :

Pour une ellipse E d'équation x2a2+y2b2=1 avec a>b, a est souvent appelé le "demi grand axe" et b le "demi petit axe" (grand axe = 2a et petit axe = 2b). Dans le cas où a<b, c'est b qui est appelé le "demi grand axe" et a le "demi petit axe".

2.2. Tangentes

   Pour une ellipse  d'équation x2a2+y2b2=1 :

une équation de la tangente en M0 est xx0a2+yy0b2=1


Démonstration en exercice, cela se retrouve  très facilement en utilisant la "règle du dédoublement"

On passe de l'équation de la courbe à l'équation de la tangente x2xx0, y2yy0
 
 

   Propriété géométrique
 
T étant le point d'intersection de la tangente en M0 avec la directrice D, le triangle M0FT est un triangle rectangle en F

3. Hyperboles

3.1. Courbes

Soient a>0 et b>0

Dans un repère orthonormé (O; i, j), les courbes H1 et H2 d'équations respectives x2a2y2b2=1 et x2a2y2b2=1 sont des hyperboles de O, d'axes (Ox) et (Oy)

Toute hyperbole admet exactement deux foyers et deux directrices associées.
Hyperbole  x2a2y2b2=1Hyperbole  x2a2y2b2=1Axe focal  (Ox)Axe focal  (Oy)asymptotes  y=±baxasymptotes  y=±baxAvec  c=a2+b2Avec  c=b2+a2foyers  F(c, 0)  et  F(c, 0)foyers  F(0, c)  et  F(0, c)Directrices  D, D : x=±a2cDirectrices  D, D : x=±b2cexcentricité  e=caexcentricité  e=cb
 

  Si a=b, l'hyperbole est dite équilatère
 
Propriété :

Dans le repère ayant pour axes les asymptotes Δ et Δ, l'équation de l'hyperbole est de la forme xy=k


( on retrouve les fonctions xkx)

3.2. Tangentes

   Equation et "règle du dédoublement" :
 
Pour une hyperbole d'équation :  x2a2y2b2=1  : une équation de la tangente en M0 est :  xx0a2yy0b2=1

Pour les hyperboles d'équation ;  x2a2y2b2=1  : une équation de la tangente en M0 est :  xx0a2yy0b2=1

Démonstration en exercice. Ces équations se retrouvent très facilement en utilisant la "règle du dédoublement"

On passe de l'équation de la courbe à l'équation de la tangente, x2xx0, y2yy0
 
   Propriété géométrique
 
T étant le point d'intersection de la tangente  à l'hyperbole en M0 avec la directrice D, le triangle M0FT est un triangle rectangle en F
 

4. Définition bifocale des ellipses et des hyperboles

4.1. Ellipses

   Propriété 1 :
 
Soit E une ellipse de foyers F et F, de grand axe [AA], de centre O. Si on note a=OA, alors pour tout point M de l'ellipse 
MF+MF=2a
 
   Propriété 2 :
 
Etant donnés deux points F et F tels que FF=2c et un réel a>c, l'ensemble des points M du plan tels que MF+MF=2a est l'ellipse de foyers F et F et dont la longueur du grand axe est égale à 2a 
 
   Application : construction d'une ellipse : ovale des jardiniers
 
Pour tracer une ellipse, on peut fixer les extrémités d'une ficelle en deux points (FetF), la ficelle étant de longueur l=2a avec l>FF. On peut ensuite faire coulisser un stylo le long de la ficelle tendue.
La position du stylo étant notée M, à tout instant on a MF+MF=l=2a. Le stylo décrit bien l'ellipse de foyer F et F.
 
Ce principe est utilisé par les jardiniers pour tracer des parterres ovoïdes. Une corde étant attachée à ses extrémités à deux pieux, en faisant coulisser un morceau de bois, ils peuvent ainsi tracer un sillon dans le sol.

4.2. Hyperboles

   Propriété 1 :
 
Soit H une hyperbole de foyers F et F, de sommets A et A, de centre O. Si on note a=OA, alors pour tout point M de l'hyperbole 
|MFMF|=2a
 
   Propriété 2 :
 
Etant donnés deux points F et F tels que FF=2c et un réel 0<a<c, l'ensemble des points M du plan tels que |MFMF|=2a est l'hyperbole de foyers F et F et dont la distance entre les sommets est égale à 2a

V. Equation générale des coniques

Le plan étant rapporté à un repère orthonormé (O; i, j) : dans le cas le plus général, une conique Γ est une courbe d'équation P(x, y)=ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0 avec (a, b, c, d, e)(0, 0, 0, 0, 0)

Différents cas se présentent : le plus triviale est celui où (a, b, c)=(0, 0, 0), on obtient alors une droite (conique dégénérée)

1. Equation du type P(x, y)=ax2+cy2+dx+ey+f=0 avec (a, c)(0, 0)

On se place ici dans le cas où dans l'équation, il n'y a pas de terme en xy, (b=0)
 
   si a=0 et d0 ou si c=0 et e0,  Γ est une parabole (l'équation contient au moins un terme x2, pas de terme en y2 et un terme en y, ou l'équation contient au moins un terme en y2, pas de terme en x2 et un terme en x)
 
   si a0 et c0

  si a=c (coefficient de x2=coefficient de y2) Γ est un cercle, un point ou l'ensemble vide

  si a et c sont de même signe alors Γ est une ellipse, un point ou l'ensemble vide

  si a et c sont de signe contraire alors Γ est une hyperbole, ou deux droites

Quelques exemples représentatifs à étudier soigneusement :

   Equation 1 :  2x2+x3y+5=0 (e1) (l'équation contient au moins un terme en x2, pas de terme en y2 et un terme en y)
 
(e1) 2(x2+12x)=3y5
(on utilise ensuite la mise sous forme canonique c'est à dire qu'on écrit x2+12x sous la forme de (x+)2=

(e1)2[(x+14)2116]=3y52(x+14)2=3y5+18(x+14)2=32(y138)

Soit I(14; 138)), si M(x, y) dans le repère (O; i, j), alors M(X, Y) dans (I; i, j) avec {X=xxI=x+14Y=yyI=y138
 
Donc dans le repère  (I; i, j), l'équation devient X2=32Y ou Y=32X2 la conique est donc une parabole d'axe (IY) de sommet I
(remarque X2=32Y Y0 donc y138 la courbe est "au dessus" de la droite d'équation y=138)
 
   Equation 2 :  4x2+2y2+3xy+1=0 (termes en x2 et en y2 précédés de coefficients de même signe donc Γ est une ellipse, un point ou l'ensemble vide)
 
4x2+2y2+3xy+1=0 4(x2+34x)+2(y212y)+1=0 (on utilise ensuite la mise sous forme canonique c'est à dire qu'on fait apparaître dans (x2+34x) un développement de (x+)2 et idem avec (y212y)

M(x, y)Γ4[(x+32)294]+2[(y14)2116]+1=04(x+32)2+2(y14)2=658

 
ou 3265(x+32)2+1665(y14)2=1
 
en multipliant par 865 de manière à faire apparaître 1 dans le second membre
 
on a donc M(x, y)Γ (x+32)26532+(y14)26516=1
 
ceci nous montre que la conique est une ellipse de centre I(32;14) (dans le repère (I,i,j),
 
l'équation deviendrait X26532+Y26516=1),
 
ellipse du type x2a2+y2b2 avec a<b ici a=6532, b=6516=654 ellipse d'axe focal (IY)
 
   Equation 3 : 3x2+3y2+6x9y+1=0 (coefficient de x2=coefficient de y2) Γ est un cercle, un point ou l'ensemble vide

M(x, y)Γx2+y2+2x3y+13=0(x+1)21+(y32)294+13=0(x+1)2+(y32)2=3512
 

La conique est donc le cercle de centre I(1; 32) et de rayon 3512
 
   Equation 4 : 4x2+2y2+x3y+1=0

M(x, y)Γ4(x214x)+2(y232y)+1=04[(x14)2116]+2[(y32)294]+1=04(x14)2+2(y32)2=134(x14)21316+(y32)2138=1

 
avec {X=x14Y=y32
 
(c'est à dire en prenant I(14;32) comme nouvelle origine, on obtient
 
X21316+Y2138=1)
 
Soit une équation du type X2a2+Y2b2=1 avec a<b ici a=1316, b=138
 
La conique est donc une hyperbole de centre I, d'axe focal (Iy) dont les asymptotes ont pour équation, asymptotes Y=±2X  soit y32=±2(x14) avec c=a2+b2=3916=394,
 
les foyers F(0, Y=394) et F(0, Y=394)
 
Directrices D,  D Y=±138×439=±1323

2. Equation du type P(x, y)=ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0 avec b0

La différence par rapport au paragraphe précédent vient du fait que l'équation contient un terme en xy.
Mais, en fait, on peut toujours se ramener au cas où b=0, ceci par un changement de repère bien choisi (cf.paragraphe 22)

2.1. Approche rapide : équation aux pentes

Considérons P(x, y)=ax2+2bxy+cy2A(x, y)+2dx+2ey+fB(x, y)
 
De la même manière que pour une fonction, pour déterminer les pentes des asymptotes obliques (directions asymptotiques) il faut d'abord chercher lim, ici, on fait apparaître l'expression m=\dfrac{y}{x} et on s'intéresse au comportement de l'expression quand x et y tendent vers l'infini, leur rapport m restant constant
En divisant par x^{2} l'équation initiale, cela donne
 
a+2b\left(\dfrac{y}{x}\right)+c\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}+2d\left(\dfrac{1}{x}\right)+2e\left(\dfrac{y}{x^{2}}\right)+f\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)=0
 
On a donc \dfrac{A(x,\ y)}{x^{2}}=a+2b\left(\dfrac{y}{x}\right)+c\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}=cm^{2}+2bm+a
 
On ne considère que a+2b\left(\dfrac{y}{x}\right)+c\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}=cm^{2}+2bm+a, les autres devenant négligeables.
 
Méthode :

On étudie l'équation du second degré : cm^{2}+2bm+a=0 (équation aux pentes)

 
\centerdot\ \  si B(x,\ y)\neq 0 (B(x,\ y)=2dx+2ey+f)
 
Discussion selon les racines de : cm^{2}+2bm+a=0
 
-\  si l'équation n'a pas de racine : il n'a pas de branches à l'infini, la conique est une ellipse
 
-\  si l'équation a 2 racines distinctes m_{1} et m_{2} : il y a 2 branches à l'infini, la conique est une hyperbole d'asymptotes de pentes m_{1} et m_{2}

-\  si l'équation a une racine double m_{1} alors, il n'a qu'une branche à l'infini, la conique est une parabole d'axe de pente m_{1}
 
Exemple :

x^{2}+y^{2}-2xy+2x+y+1=0, on divise par x^{2} l'équation initiale

 
1+\dfrac{y^{2}}{x^{2}}-2\frac{y}{x}+2\frac{1}{x}+\dfrac{y}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}=0
 
l'équation aux pentes est m^{2}-2m+1=0 soit (m-1)^{2}=0 il y a 1 racine double m=1.

C'est une parabole dont l'axe est parallèle à la de pente m(m-1), soit y=x
 
\centerdot\ \  si B(x,\ y)=0\ (B(x,\ y)=2dx+2ey+f)
 
P(x,\ y)=ax^{2}+2bxy+cy^{2}=0, discussion selon les racines de : cm^{2}+2bm+a=0
 
-\  si l'équation n'a pas de racine : il n'a pas de points qui vérifient l'équation P(x,\  y)=ax^{2}+2bxy+cy^{2}=0

-\  si l'équation a 2 racines distinctes m_{1} et m_{2} : la conique est dégénérée on a deux droites d'équation y=m_{1} et y=m_{2}

-\  si l'équation a une racine double m_{1} la conique est dégénérée on a une droite d'équation y=m_{1}
 
Exemple :

6x^{2}-xy-y^{2}=0, l'équation aux pentes est -m^{2}-m+6=0, elle admet m=2 et m=-3 comme solution donc l'ensemble des points qui vérifient 6x^{2}-xy-y^{2}=0 est la réunion des deux droites d'équation y=2x et y=-3x

(cf. autre méthode en exercice)

2.2. Centre de la conique

On se place ici dans le cas où la conique est non dégénérée B(x,\ y)=2dx+2ey+f\neq 0
Dans le cas où la conique est une conique à centre (cercle, ellipse, hyperbole) :
 
Les coordonnées x_{0} et y_{0} du centre sont solution de : \dfrac{\partial P(x,\ y)}{\partial x}=0 et \dfrac{\partial P(x,\ y)}{\partial y}=0
 
Si ce système n'a pas de solution, la conique est une parabole
 
Exemple :

pour x^{2}+y^{2}-2xy+y+1=0, le système s'écrit

 

\left\{ \begin{array}{lcl} 2x-2y+2 &=& 0\\ 2y-2x+1 &=& 0 \end{array} \right.

 
Le système n'a pas de solution donc la conique est une parabole.

2.3. Axes de symétrie d'une hyperbole :

Les axes de symétrie d'une hyperbole sont les bissectrices des asymptotes, ils font un angle \varphi et \varphi +\dfrac{\pi}{2} avec les axes de coordonnées avec 
 
\tan 2\varphi=\dfrac{m_{1}+m_{2}}{1-m_{1}m_{2}}=\dfrac{2b}{a-c}
 
ils passent par le centre (x_{0},\ y_{0}) de l'hyperbole, d'où leur équation :
 
\dfrac{y-y_{0}}{x-x_{0}}=tg\varphi \quad  et \quad \dfrac{y-y_{0}}{x-x_{0}}=\dfrac{-1}{tg\varphi}

VI. Paramétrages et coordonnées polaires

1. Représentations paramétriques des coniques

\centerdot\ \  Un paramétrage d'un cercle C de centre O et de rayon R est 
 

\left\{ \begin{array}{lll} x &=& R\cos\theta \\ y &=& R\sin\theta \end{array} \right.\  \theta\in [-\pi; \pi[

cela signifie qu'un point M(x,\ y) appartient à C si et seulement si il existe

un réel \theta de [-\pi;\ \pi[ tel que \left\{ \begin{array}{lll} x &=& R\cos\theta \\ y &=& R\sin\theta \end{array} \right.

\centerdot\ \  Un paramétrage d'un cercle C de centre I(x_{0};\ y_{0}) et de rayon R est

\left\{ \begin{array}{lll} x &=& x_{0}+R\cos\theta \\ y &=& y_{0}+R\sin\theta \end{array} \right.\  \theta\in [-\pi;\ \pi[

\centerdot\ \  Un paramétrage d'une ellipse de centre O d'équation \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 est
 \left\{ \begin{array}{lll} x &=& a\cos\theta \\ y &=& b\sin\theta \end{array} \right.\  \theta\in [-\pi;\ \pi[

\centerdot\ \  Un paramétrage d'une ellipse de centre I(x_{0},\ y_{0}) d'équation \dfrac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}+\dfrac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}=1 est \left\{ \begin{array}{lll} x &=& x_{0}+a\cos\theta \\ y &=& y_{0}+b\sin\theta \end{array} \right.\  \theta\in [-\pi;\ \pi[

\centerdot\ \  Un paramétrage d'une parabole d'équation y^{2}=2px est
 \left\{ \begin{array}{lll} x &=& \dfrac{t^{2}}{2p} \\ y &=& t \end{array} \right.\  t\in \mathbf{R}

\centerdot\ \  Un paramétrage d'une hyperbole d'équation \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 est
\left\{ \begin{array}{lll} x &=& cht \\ y &=& sht \end{array} \right.\  t\in \mathbf{R}

2. Equation polaire d'une conique, l'origine étant au foyer

Soit O point origine, soit D une droite passant par O,
choisissons (Ox) orthogonale à D. Soit d le réel tel que
l'équation de D peut s'écrire x=d.
Un point M appartient à la conique de foyer O et d'excentricité e (e>0)
et de directrice D si OM=eMH (MF=eMHF foyer) qui équivaut à OM^{2}=e^{2}MH^{2}
Cette égalité donne en coordonnées polaires : \ r^{2}=e^{2}(rcos\theta -d)^{2} d'où 
r=\pm e(rcos\theta -d), on obtient en résolvant en r,
 
r=\dfrac{ed}{1+ecos\theta} ou r=\dfrac{ed}{1-ecos\theta} 
 
Ces deux équations représentent la même courbe : il suffit de changer \theta en \pi -\theta pour s'en convaincre
L'équation de la conique de foyer O, de directrice D x=d, et d'excentricité e est donc
 
r=\dfrac{ed}{1+ecos\theta}
 
Propriété :

Soient p et e deux réels positifs. La courbe d'équation polaire

 
r=\dfrac{p}{1+ecos\theta} est une conique non dégénérée d'excentricité e et de foyer O.

VII Image d'une ellipse par affinité

On appelle affinité d'axe (\Delta) de rapport k\in\mathbb{R}^{*}\setminus\{1\} de direction (\Delta'), la transformation du plan qui laisse tout point de (\Delta) invariant et qui associe à tout point M\notin(\Delta), le point M' tel que :
 
\overrightarrow{HM'}=k\overrightarrow{HM}, où H est le projeté de M sur (\Delta) parallèlement à (\Delta').
 
M_{-2} est l'image de M par l'affinité d'axe (\Delta) de direction (\Delta') et de rapport k=-2.
 
M_{1/2} est l'image de M par l'affinité d'axe (\Delta) de direction (\Delta') et de rapport k=\dfrac{1}{2}.
 
 
 
 

Remarques :

Si (\Delta)\perp(\Delta'), on parle d'affinité perpendiculaire d'axe (\Delta) et de rapport k.
 
\centerdot\ \ Affinité perpendiculaire d'axe (x'Ox) et de rapport k.
 

Soient M\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} et M'\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}, on a \overrightarrow{HM}'\begin{pmatrix} 0\\ y'-0 \end{pmatrix} et \overrightarrow{HM}\begin{pmatrix} 0\\ y \end{pmatrix}

Donc \overrightarrow{HM'}=k\overrightarrow{HM} \ \Leftrightarrow \ \left\{ \begin{array}{lcl} x' &=& x \\ y' &=& ky \end{array} \right.

\centerdot\ \ De même, l'affinité perpendiculaire d'axe (y'Oy) et de rapport k est donnée par :

\left\{ \begin{array}{lcl} x' &=& kx \\ y' &=& y \end{array} \right.

 
 
 
\centerdot\ \ Soit l'ellipse de grand axe [AA'], de petit diamètre [BB'] et d'équation : \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1.
 
\centerdot\ \  l'affinité perpendiculaire d'axe (x'Ox) et de rapport \dfrac{a}{b} est donnée par :
 

\left\{ \begin{array}{lcl} x' &=& x \\ y' &=& \dfrac{a}{b}y \end{array} \right.

\centerdot\ \  l'affinité perpendiculaire d'axe (y'Oy) et de rapport \dfrac{b}{a} est donnée par :

\left\{ \begin{array}{lcl} x' &=& \dfrac{b}{a}x \\ y' &=& y \end{array} \right.

 
\centerdot\ \  L'image de l'ellipse par l'affinité perpendiculaire d'axe (x'Ox) et de rapport \dfrac{a}{b} est le cercle de diamètre [AA']
 
\centerdot\ \  L'image de l'ellipse par l'affinité perpendiculaire d'axe (y'Oy) et de rapport \dfrac{b}{a} est le cercle de diamètre [BB']
 
 
 
 

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