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Corrigé BFEM Maths 2017

Exercice 1

On donne trois réels $a\;,\ b\ $ et $\ c$ tels que : $$a=7-5\sqrt{2}\;;\quad b=-7-5\sqrt{2}\quad\text{et}\quad c=-7+5\sqrt{2}$$

1) Démontrons que le réel $a$ est l'inverse du réel $b.$

On a : $a\ $ et $\ b$ sont inverses si, et seulement si, $a\times b=1$

Donc, calculons le produit $a.b$

On a :

$\begin{array}{rcl} a\times b&=&(7-5\sqrt{2})(-7-5\sqrt{2})\\\\&=&(-5\sqrt{2}+7)(-5\sqrt{2}-7)\\\\&=&(-5\sqrt{2})^{2}-(7)^{2}\\\\&=&25\times 2-49\\\\&=&50-49\\\\&=&1\end{array}$

Ainsi, $a.b=1$, d'où $a$ est l'inverse de $b.$

2) Justifions que $a\ $ et $\ c$ sont opposés.

On a : $c=-7+5\sqrt{2}=-(7-5\sqrt{2})$

donc, on voit bien que $c=-a$

Ce qui prouve que $a\ $ et $\ c$ sont opposés.

3) Démontrons que $$\dfrac{b}{a}-\dfrac{c}{b}=b^{2}+c^{2}$$

En réduisant au même dénominateur on obtient :

$\dfrac{b}{a}-\dfrac{c}{b}=\dfrac{b^{2}-ac}{ab}$

or, $\ ab=1$ puisque $a\ $ et $\ c$ sont inverses

donc, $\dfrac{b^{2}-ac}{ab}=b^{2}-ac$

mais comme $a\ $ et $\ c$ sont opposés alors, $a=-c$

par suite, $b^{2}-ac=b^{2}-(-c)c=b^{2}+c^{2}$

Ce qui montre que $$\dfrac{b}{a}-\dfrac{c}{b}=b^{2}+c^{2}$$

4) Calculons $a^{2}$

On a :

$\begin{array}{rcl} a^{2}&=&(7-5\sqrt{2})^{2}\\ \\&=&7^{2}-2\times 7\times 5\sqrt{2}+(-5\sqrt{2})^{2}\\ \\&=&49-70\sqrt{2}+25\times 2\\ \\&=&49+50-70\sqrt{2}\\ \\&=&99-70\sqrt{2}\end{array}$

dons, $\boxed{a^{2}=99-70\sqrt{2}}$

Déduisons-en une écriture simplifiée du réel $w=\sqrt{99-70\sqrt{2}}$

On a : $w=\sqrt{99-70\sqrt{2}}$

or, $99-70\sqrt{2}=a^{2}$

donc, $w=\sqrt{a^{2}}=|a|$

Cherchons alors le signe de $a$

On a : $7^{2}=49\ $ et $\ (5\sqrt{2})=5^{2}\times 2=50$

Comme $49$ est inférieur à $50$ et que 7 et $5\sqrt{2}$ sont tous des réels positifs alors, $7$ est inférieur à $5\sqrt{2}$

par suite, $7-5\sqrt{2}<0$ ; donc, $|a|=-a$

par conséquent, $w=|a|=-7+5\sqrt{2}$

d'où, $\boxed{w=-7+5\sqrt{2}}$

Exercice 2

Les notes des 160 candidats à un concours sont consignées dans le tableau suivant :

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Notes}&[10\;;\ 12[&[12\;;\ 14[&[14\;;\ 16[&[16\;;\ 18[&[18\;;\ 20[\\ \hline\text{Fréquences}&0.3&x&0.2&0.15&y \\ \hline\end{array}$$

1) La valeur $0.3$, fréquence de la classe $[10\;;\ 12[$ permet de dire que $30\%$ des candidats ont une note comprise entre 10 et 12.

C'est aussi pareil de dire que $70\%$ des élèves ont une note supérieure ou égale à 12.

2) Calcule $x\ $ et $\ y$ sachant que $25\%$ des élèves ont une note supérieure ou égale à 16.

On sait que la fréquence des élèves ayant une note supérieure ou égale à 16 est donnée par le cumul des fréquences des classes $[16\;;\ 18[\ $ et $\ [18\;;\ 20[.$

Cette même fréquence est aussi égale à $25\%=0.25$

Donc, $0.15+y=0.25$

Ce qui donne : $y=0.25-0.15=0.1$

D'où, $\boxed{y=0.1}$

Pour calculer $x$ on utilise le fait que la somme des fréquences est égale à 1.

On a alors : $0.3+x+0.2+0.15+y=1\ $ or, $y=0.1$

donc, $0.3+x+0.2+0.15+0.1=1$

par suite, $x+0.75=1$

par conséquent, $x=1-0.75=0.25$

Ainsi, $\boxed{x=0.25}$

3) On donne $x=0.25\ $ et $\ y=0.1$

a) Calculons la moyenne des notes.

Pour cela calculons d'abord le centre de chaque classe.

On a : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Notes}&[10\;;\ 12[&[12\;;\ 14[&[14\;;\ 16[&[16\;;\ 18[&[18\;;\ 20[\\ \hline\text{Fréquences}&0.3&0.25&0.2&0.15&0.1 \\ \hline\text{Centres}&11&13&15&17&19 \\ \hline \end{array}$$

Ensuite, multiplions chaque centre par la fréquence correspondante.

Enfin, la moyenne des notes sera obtenue en additionnant les produits des centres et fréquences.

Ainsi,

$\begin{array}{rcl} M&=&(0.3\times 11)+(0.25\times 13)+(0.2\times 15)+(0.15\times 17)+(0.1\times 19)\\\\&=&3.3+3.25+3+2.55+1.9\\ \\&=&14\end{array}$

D'où, $\boxed{M=14}$

b) Construisons le diagramme des fréquences cumulées décroissantes.

Le calcul des fréquences cumulées décroissantes est présenté dans le tableau suivant : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Notes}&[10\;;\ 12[&[12\;;\ 14[&[14\;;\ 16[&[16\;;\ 18[&[18\;;\ 20[\\ \hline\text{Fréquences}&0.3&0.25&0.2&0.15&0.1 \\ \hline\text{Centres}&11&13&15&17&19 \\ \hline\text{F.C.D}&1&0.7&0.45&0.25&0.1 \\ \hline \end{array}$$

$$\text{Diagramme des fréquences cumulées décroissantes}$$

Exercice 3

Soit $ABC$ un triangle isocèle en $A.$

La hauteur issue de $A$ coupe le segment $[BC]$ en $H.$ On donne $$BC=6\;cm\quad\text{et}\quad AH=4\;cm$$

Soit $M$ le point du segment $[BH]$ tel que $BM=x.$

La parallèle à la droite $(AH)$ et passant par $M$ coupe la droite $(AB)$ en $P$ et la droite $(AC)$ en $Q.$

1) Faisons la figure

Calculons $BH$

$ABC$ étant un triangle isocèle en $A$ alors, la hauteur issue de $A$ est aussi la médiatrice du segment $[BC].$

Donc, $H$ est milieu de $[BC]$

ainsi, $BH=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{6}{2}=3$

D'où, $\boxed{BH=3\;cm}$

2) Montre que $\dfrac{MP}{AH}=\dfrac{x}{3}.$

On a : les droites sécantes $(AB)$ et $(BC)$ coupées par les parallèles $(MP)$ et $(AH)$ alors, $ABH$ et $BPM$ sont deux triangles en position de Thalès.

Donc, d'après le théorème de Thalès on aura : $$\dfrac{MP}{AH}=\dfrac{BM}{BH}$$

or, $BM=x\ $ et $\ BH=3$

Ce qui donne alors, $\boxed{\dfrac{MP}{AH}=\dfrac{x}{3}}$

En déduisons $MP$ en fonction de $x.$

On a : $\dfrac{MP}{AH}=\dfrac{x}{3}$

alors, $MP=AH\times\dfrac{x}{3}$ ; or $AH=4$

donc, $MP=4\times\dfrac{x}{3}=\dfrac{4}{3}x$

d'où, $\boxed{MP=\dfrac{4}{3}x}$

3) Exprimons $MC$ en fonction de $x.$

On a : $BM+MC=BC$

alors, $MC=BC-BM$ ; or $BM=x\ $ et $\ BC=6$

donc, $MC=6-x$

d'où, $\boxed{MC=(6-x)}$

4) Montrons que $MQ=\dfrac{4}{3}(6-x).$

On a : les droites sécantes $(AC)$ et $(BC)$ coupées par les parallèles $(MQ)$ et $(AH)$ alors, $AHC$ et $QMC$ sont deux triangles en situation de Thalès.

Donc, d'après le théorème de Thalès on aura : $$\dfrac{AH}{MQ}=\dfrac{HC}{MC}$$

Ainsi, $MQ\times HC=AH\times MC$

par suite, $MQ=\dfrac{AH\times MC}{HC}$

or, $AH=4\;,\ MC=6-x\ $ et $\ HC=3$

par conséquent, $\boxed{MQ=\dfrac{4}{3}(6-x)}$

5) Cherchons les valeurs de $x$ vérifiant $MQ=3MP$

On a : $MQ=3MP$ si, et seulement si, $\dfrac{4}{3}(6-x)=3\times\dfrac{4}{3}x$

Donc, en résolvant cette équation on trouvera les valeurs de $x$ vérifiant la relation $MQ=3MP.$

On a : $\dfrac{4}{3}(6-x)=3\times\dfrac{4}{3}x$ si, et seulement si, $(6-x)=3x$

on aura alors : $4x=6$

donc, $x=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$

d'où, $\boxed{x=\dfrac{3}{2}}$

6) Donnons alors la position du point $P$ sur le segment $[AB].$

La valeur $x=\dfrac{3}{2}$ signifie que le point $M$ est milieu de $BH.$

Or, dans le triangle $ABH$ la droite $(MP)$ est parallèle à $(AH)$ et passe par le point $M$ milieu de $[BH].$

Donc, d'après la réciproque de la propriété de la droite des milieux dans un triangle, $(MP)$ passe aussi par le milieu de $[AB].$

D'où, $P$ est milieu de $[AB].$

Exercice 4

On considère la figure codée ci-dessous.

On donne les formules de calcul de volume de solides ci-dessous :

Volume d'un cône de révolution : $V_{\text{cône}}=\dfrac{1}{3}\times\pi\times R^{2}\times h$

Volume d'une boule : $V_{\text{boule}}=\dfrac{4}{3}\times\pi\times R^{3}$

Volume d'un cylindre : $V_{\text{cylindre}}=\pi\times R^{2}\times h$

$R$ désigne le rayon et $h$ la hauteur

1) Calculons le volume exact de chacun de ces trois solides pour $h=R=1\;m$

$-\ $ volume d'un cône de révolution :

On a :

$\begin{array}{rcl} V_{\text{cône}}&=&\dfrac{1}{3}\times\pi\times R^{2}\times h\\ \\&=&\dfrac{1}{3}\times\pi\times 1\times 1\\ \\&=&\dfrac{\pi}{3}\end{array}$

donc, $\boxed{V_{\text{cône}}=\dfrac{\pi}{3}\;m^{3}}$

$-\ $ volume d'une boule :

On a :

$\begin{array}{rcl} V_{\text{boule}}&=&\dfrac{4}{3}\times\pi\times R^{3}\\ \\&=&\dfrac{4}{3}\times\pi\times 1\\ \\&=&\dfrac{4\pi}{3}\end{array}$

donc, $\boxed{V_{\text{boule}}=\dfrac{4\pi}{3}\;m^{3}}$

$-\ $ volume d'un cylindre :

On a :

$\begin{array}{rcl} V_{\text{cylindre}}&=&\pi\times R^{2}\times h\\ \\&=&\pi\times 1\times 1\\ \\&=&\pi\end{array}$

donc, $\boxed{V_{\text{cylindre}}=\pi\;m^{3}}$

2) Exprimons le volume d'une boule et celui d'un cylindre en fonction du volume d'un cône de révolution pour $R=h.$

On a : $V_{\text{cône}}=\dfrac{1}{3}\times\pi\times R^{2}\times h$ or, $R=h$

donc, $V_{\text{cône}}=\dfrac{1}{3}\times\pi\times R^{3}$

on aura alors : $\pi\times R^{3}=3\times V_{\text{cône}}$

On a : $V_{\text{boule}}=\dfrac{4}{3}\times\pi\times R^{3}$ or, $\pi\times R^{3}=3\times V_{\text{cône}}$

donc,

$\begin{array}{rcl} V_{\text{boule}}&=&\dfrac{4}{3}\times 3\times V_{\text{cône}}\\ \\&=&4\times V_{\text{cône}}\end{array}$

ainsi, $\boxed{V_{\text{boule}}=4\times V_{\text{cône}}}$

On a : $V_{\text{cylindre}}=\pi\times R^{2}\times h$ or, $R=h$

donc, $V_{\text{cylindre}}=\pi\times R^{3}$

comme $\pi\times R^{3}=3\times V_{\text{cône}}$ alors, $V_{\text{cylindre}}=3\times V_{\text{cône}}$

d'où, $\boxed{V_{\text{cylindre}}=3\times V_{\text{cône}}}$

3) Exprimons le volume de ce récipient en fonction du volume du cylindre.

On a : $V_{\text{récipient}}=V_{\text{cylindre}}-V_{\text{cône}}$

or, on sait que $V_{\text{cylindre}}=3\times V_{\text{cône}}$

c'est-à-dire, $V_{\text{cône}}=\dfrac{1}{3}V_{\text{cylindre}}$

donc,

$\begin{array}{rcl} V_{\text{récipient}}&=&V_{\text{cylindre}}-V_{\text{cône}}\\ \\&=&V_{\text{cylindre}}-\dfrac{1}{3}V_{\text{cylindre}}\\ \\&=&\dfrac{2}{3}V_{\text{cylindre}}\end{array}$

ainsi, $\boxed{V_{\text{récipient}}=\dfrac{2}{3}V_{\text{cylindre}}}$

Auteur:

Diny Faye