Bac Maths D, Union des Comores 2013

Exercice 1

1. résoudre $(5-2\mathrm{i})^{2}.$

2. Résoudre dans $\mathbb{C}^{2}$ le système :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} u+v&=&−1\\  u\times v&=&-5+5\mathrm{i} \end{array}\right\rbrace$$

3. Le plan $\mathcal{P}$ est muni d'un repère orthonormé $(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j})$ d'unité $1\,cm.$

On considère les points $A$ et $I$ d'affixes respectives $Z_{A}=-1+2\mathrm{i}$ et $I=-1.$

Soit $f$ la transformation du plan $\mathcal{P}$ dans $\mathcal{P}$ qui à tout point $M(Z)$ associe le point $M'(Z)$ tel que : $Z'=Z\bar{Z}+2Z-3+\mathrm{i}.$

On pose $Z+x+\mathrm{i}y$ ; $x$ et $y$ étant des réels.

a) Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de $Z'$ en fonction de $x$ et $y.$

b) En déduire la nature et l'ensemble $(E)$ des points $M(Z)$ tel que $Z'$ soit imaginaire pur.

c) Vérifier que le point $A$ appartient a $(E).$

4. Soit $T$ la translation de vecteur $\overrightarrow{w}=2\vec{i}-\vec{j}.$

a) Calculer l'affixe du point $J$ tel que $T(J)=1.$

b) Soit $M'=T(M)$, déterminer l'ensemble $(F)$ des points $M$ d'affixe $Z$ pour que $M'$ appartienne à $(E).$

Exercice 2 

Un recensement est fait auprès de $40$ enseignants d'un lycée.  

Dans ce lycée : $-22$ sont des femmes ;   

$-8$ sont des professeurs de Maths.

Parmi les professeurs de Maths, $6$ sont des hommes.

1. Un enseignant est interrogé au hasard, on définit les évènements suivants :  

$H$ : « l'enseignant est un homme » $F$ : « l'enseignant est une femme »

$M$ : « l'enseignant est un professeur de Maths » $\overrightarrow{M}$ est l'évènement contraire de $M.$  

a) Recopier et compléter le tableau d'effectifs suivant :
$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline &H&F&\text{TOTAL}\\ \hline M&&&\\ \hline     \overrightarrow{M}&&&\\ \hline \text{TOTAL}&&&40 \\ \hline \end{array}$$

b) Calculer $P(M)$ ; $P(M\cap F).$

c) En déduire $P_{M}(F).$

On considère maintenant l'expérience aléatoire suivante, supposé équiprobables :

Deux professeurs différents rencontrent l'un après l'autre le proviseur du lycée.

Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre de professeurs de Maths rencontrés par le proviseur.

a) Déterminer l'ensemble des valeurs prises par $X.$

b) Déterminer la loi de probabilité de $X.$

c) Calculer l'espérance mathématique $X.$

Problème  

On considère la fonction $f$ défini sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x)=2+\ln(\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}).$$

On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O\ ;\ \vec{i}\ ;\ \vec{j})$ et d'unité graphique $1\,cm.$

Partie A Étude de la fonction $f$

1. Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)=x+2+\ln(1+\mathrm{e}^{-2x}).$

2. Calculer $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x).$

3. a) Montrer que la droite $(\mathcal{D})$ d'équation $y=x+2$ est asymptote à $(\mathcal{C}).$

b) Étudier la position relative de $(\mathcal{C})$ par rapport à $(\mathcal{D}).$

4. a) Vérifier que pour tout réel $x$, $f(x)=-x+2+\ln(1+\mathrm{e}^{2x}).$

b) Montrer que la droite $(\mathcal{D'})$ d'équation $y=-x+2$ est asymptote à $(\mathcal{C}).$

5. a) Étudier les variations de la fonction $f.$

b) Dresser le tableau de variation.

c) Construire la courbe $(\mathcal{C})$ et ses asymptotes $(\mathcal{D})$ et $(\mathcal{D'}).$

Partie B Encadrement d'une intégrale

On pose $$I=\int^{4}_{0}(f(x)-x-2)\mathrm{d}x$$

1. Donner une interprétation géométrique de $I.$

2. Montrer que pour tout $t\in [0\ ;\ +\infty[\;,\ \ln(1+t)\leq t$

3. a) En déduire que $$0\leq I\leq\int^{4}_{0}\mathrm{e}^{-2x}\mathrm{d}x$$

b) Donner un encadrement de $I.$