Bac Maths D, Côte d'Ivoire 2012

Madame Kouamé, statisticienne à la retraite, a créé une petite entreprise de fabrication de colliers traditionnels. Dans l'intention de faire des prévisions pour la production de colliers de l'année $2011$ elle a fait des ventes des huit types de colliers fabriquées en $2010.$

Les résultats sont donnés dans le tableau ci-dessous :
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Type de collier}&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline \text{Prix }x_{i}\text{ de vente en centaine de}&&&&&&&&\\  \text{francs CFA du collier de type }i&54&60&66&72&84&90&96&102\\ \hline \text{Nombre de }y_{i}\text{ de dizaine de}&&&&&&&&\\  \text{colliers vendus au }x_{i}&18&16&15&13&10&9&8&7\\ \hline \end{array}$$

On désigne par :

$X$ le caractère « prix de vente du collier »

$Y$ le caractère « nombre colliers vendus au prix $X$ »

1. Représenter graphiquement le nuage de points associé à la suite statistique double de caractère $(X\ ;\ Y)$ dans le plan muni d'un repère orthogonal $(O\;,\ I\;,\ J).$

On prend $2$ centaine de francs sur $(OI)$ et $2$ dizaines de colliers sur $(OJ)$

2. Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage

3. a) Calcule la variance $V(X)$ de $X$

b) Calculer la covariance $Cov(X\ ;\ Y)$ de la série statistique double de caractère $(X\ ;\ Y).$

c) On admet que $V(Y)=14.50.$

Démontrer que l'arrondi d'ordre $2$ du coefficient de corrélation linéaire est égal à $−0.99.$

4. Soit $(\mathcal{D})$ la droite de régression de $Y$ en $X$ par la méthode des moindres carrés.

a) Justifie que l'arrondi d'ordre $2$ du coefficient directeur de $(\mathcal{D})$ est égal à $−0.23.$

b) Démontrer qu'une équation de la droite $(\mathcal{D})$ est $y=−0.23x+29. 94$

5. Pour l'année $2011$, Madame Kouamé souhaite fabriquer un nouveau type de collier qu'elle vendrait à $11\ 500$ francs $CFA$ l'unité.

Combien de colliers de ce type pourrait-elle vendre selon l'ajustement linéaire réalisé ?

On considère la suite numérique $U$ sur $\mathbb{N}^{\ast}$ par :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} U_{1}&=&3\\\\ U_{n+1}&=&\dfrac{1}{2}\left(U_{n}+\dfrac{4}{U_{n}}\right) \end{array}\right.$$

1. On considère la fonction $f$ définie sur $]0\ ;\ +\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{4}{x}\right)$

On note $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal $(O\;,\ I\;,\ J)$ où les unités respectives sur $(OI)$ et $(OJ)$ sont $4\,cm$ et $2\,cm.$

La courbe $(\mathcal{C})$ et la droite $(\mathcal{D})$ d'équation $y=x$ sont tracées sur la feuille annexe à rendre avec la copie.

a) Représenter sur l'axe des abscisses $(OI)$ les termes $U_{1}$, $U_{2}$ et $U_{3}$ de la suite $U$ en utilisant la courbe $(\mathcal{C})$ et la droite $(\mathcal{D}).$

b) Quelle conjecture peut-on faire quant à la convergence de la suite $U$ ?

2. On admet que $f$ est continue et strictement croissante $[[2\ ;\ 3]$

a) Démontrer que $f([2\ ;\ 3])\subset [2\ ;\ 3]$

b) En utilisant un raisonnement par récurrence, démontrer que pour tout entier $n\geq 1.2\leq U_{n}\leq 3$

3. a) Démontrer que la suite $U$ est décroissante

b) En déduire que la suite $U$ est convergence

4. on considère la suite $V$ définie sur $\mathbb{N}^{\ast}$ par : $V_{n}\dfrac{U_{n}−2}{U_{n}+2}$

a) Démontrer que pour tout entier naturel $n\geq 1$, $V_{n+1}=\left(V_{n}\right)^{2}.$

b) Démontrer par récurrence que pour tout entier $n\geq 1$ ; $V_{n}=\left(V_{1}\right)^{2n−1}$

c) Calculer $V_{1}$ puis exprimer $V_{n}$ en fonction de $n.$

d) Exprimer $U_{n}$ en fonction de $n.$

e) Démontrer que $\lim V_{n}=0.$

En déduire la limite de $U.$

On considère la fonction $g$ dérivable et définie sur $]0\ ;\ +\infty[$ par : $g(x)=\mathrm{e}^{x}+2\ln(x)$

1. a) Déterminer $\lim\limits_{x\rightarrow 0^{+}}g(x)$ et $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}g(x)$

b) Calcule $g'(x)$

c) Étudier le sens de variation de $g$ puis dresser son tableau de variation.

2. a) Démontrer que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur $]0\ ;\ +\infty[.$

b) Vérifie que : $0.4<\alpha<0.5$

c) Démontrer que :

$\forall x\in ]0\ ;\ \alpha[\;,\ g(x)<0$ ;

$\forall x\in ]\alpha\ ;\ +\infty[\;,\ g(x)<0.$

On considère la fonction $f$ définie sur $]0\ ;\ +\infty[$ par :
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} f(x)&=&\mathrm{e}^{x}+2x\ln(x)−2x\quad\text{si }x>0\\ f(0)&=&1 \end{array}\right.$$

On note $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ I\;,\ J).$

L'unité graphique est $4\,cm.$

1. a) Déterminer $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)$ et $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}dfrac{f(x)}{x}$

b) Interpréter graphiquement les résultats

2. a) Démontrer que $f$ est continue en $0.$

b) Démontre que : $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)−f(0)}{x}=−\infty$

c) La fonction  $f$ est-elle dérivable en $0$ ?

Justifier la réponse

d) Interpréter graphiquement le résultat de la question 2. b)

3. On admet que $f$ est dérivable sur $]0\ ;\ +\infty[$

a) Démontrer que $\forall x\in ]0\ ;\ +\infty[$, $f'(x)=g(x)$

b) Étudier les variations de $f$ puis dresser son tableau de variation.

4. Trace la courbe $(\mathcal{C})$ sur l'intervalle $[0\ ;\  2].$

$($On prendra $\alpha=0.45$ et on admettra que la courbe $(\mathcal{C})$ coupe la droite $(OI)$ en deux points d'abscisses respectives $0.3$ et $0.6)$

5. a) On pose $$K=\int^{2}_{1}x\ln(x)\mathrm{d}x.$$

A l'aide d'une intégration par parties, Démontrer que : $K=2\ln2−\dfrac{3}{2}$

b) Soit $\mathcal{A}$ l'aire en $cm^{2}$ de la partie du plan délimitée par la courbe $(\mathcal{C}).$

La droite $(OJ)$ et les droites d'équations respectives $x=1$ et $x=2.$

Calcule $\mathcal{A}$ puis donner l'arrondi d'ordre $2$ du résultat