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Corrigé BFEM Maths 2019

Exercice 1

1) Pour rappel, la médiane d'une série statistique à caractère quantitatif est la valeur de la série qui partage l'effectif total en deux groupes de même effectif.

Pour obtenir la valeur de la médiane d'une série statistique ordonnée à caractère quantitatif discret et d'effectif total

$N$ , on procède comme suit :

$-\$ On regarde d'abord si l'effectif total

$N$ est pair ou impair.

$-\$ Si

$N$ est impair alors, on considère

$\dfrac{N+1}{2}$

Donc, la

$\left(\dfrac{N+1}{2}\right)^{\text{ième}}$ valeur de la série correspond à la valeur de la médiane.

Ainsi,

$V_{_{\text{médiane}}}=V_{_{\frac{N+1}{2}}}$

$-\$ Si

$N$ est pair alors, on considère

$\dfrac{N}{2}$ et la valeur de la médiane se trouve entre la

$\left(\dfrac{N}{2}\right)^{\text{ième}}$ et la

$\left(\dfrac{N}{2}+1\right)^{\text{ième}}$ valeur de la série.

Donc, la valeur de la médiane est égale à la somme des valeurs qui correspondent à ces rangs, divisée par deux.

Ainsi,

$V_{_{\text{médiane}}}=\dfrac{V_{_{\frac{N}{2}}}+V_{_{\frac{N}{2}+1}}}{2}$

2) Le tableau ci-dessous donne la répartition des salaires mensuels en

$\text{F CFA}$ et leurs proportions pour le personnel d'une entreprise.

$\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{fonctions}&\text{Fréquences en }\%&\text{salaires}\\ \hline \text{Cadres supérieurs}&5&450 000\\ \hline \text{Agents de production}&45&350000\\ \hline \text{Personnels administratifs}&15&200000\\ \hline \text{Chauffeurs}&5&150000\\ \hline \text{Agents de sécurité}&10&100000\\ \hline \text{Agents commerciaux}&20&175000\\ \hline \end{array}$

a) Le caractère étudié est le salaire mensuel.

Le salaire mensuel étant une grandeur mesurable donc, ce caractère est de nature quantitative.

b) Calculons le salaire moyen mensuel dans cette entreprise.

Soit

$S_{_{M}}$ le salaire moyen mensuel et soient :

$\ast\ \ S_{1}\;,\ S_{2}\;,\ S_{3}\;,\ S_{4}\;,\ S_{5}$ et

$\ S_{6}$ les salaires mensuels respectifs du personnel selon la fonction.

$\ast\ \ n_{1}\;,\ n_{2}\;,\ n_{3}\;,\ n_{4}\;,\ n_{5}$ et

$\ n_{6}$ les effectifs partiels respectifs et

$N$ l'effectif total.

$\ast\ \ f_{1}\;,\ f_{2}\;,\ f_{3}\;,\ f_{4}\;,\ f_{5}$ et

$\ f_{6}$ les fréquences respectives

Alors, on a :

$\begin{array}{rcl} S_{_{M}}&=&\dfrac{n_{1}\times S_{1}+n_{2}\times S_{2}+n_{3}\times S_{3}+n_{4}\times S_{4}+n_{5}\times S_{5}+n_{6}\times S_{6}}{N}\\ \\&=&\dfrac{n_{1}}{N}S_{1}+\dfrac{n_{2}}{N}S_{2}+\dfrac{n_{3}}{N}S_{3}+\dfrac{n_{4}}{N}S_{4}+\dfrac{n_{5}}{N}S_{5}+\dfrac{n_{6}}{N}S_{6}\\ \\&=&f_{1}S_{1}+f_{2}S_{2}+f_{3}S_{3}+f_{4}S_{4}+f_{5}S_{5}+f_{9}S_{6}\end{array}$

Donc,

$\begin{array}{rcl} S_{_{M}}&=&0.20\times 175000+0.1\times 100000+0.05\times 150000+0.15\times 200000+0.45\times 350000+0.05\times 450000\\\\&=&262500\end{array}$

Ainsi, le salaire moyen mensuel dans cette entreprise est de

$262500\;\text{F CFA}$

3) Calculons le salaire médian de cette entreprise.

Soit

$S_{_{m}}$ le salaire médian de cette entreprise.

Déterminons d'abord l'effectif total de cette entreprise.

Comme il y a exactement

$2$ cadres qui travaillent dans cette entreprise alors, en utilisant la fréquence de cette catégorie de fonction, on obtient l'effectif total

$N$ de cette entreprise.

Soit :

$f_{6}=\dfrac{n_{6}}{N}\$ or,

$f_{6}=0.05\$ et

$\ n_{6}=2$

Donc,

$\dfrac{2}{N}=0.05$ , ce qui donne

$N\times 0.05=2$

Par suite,

$N=\dfrac{2}{0.05}=40$

Ainsi, cette entreprise compte 40 travailleurs.

40 étant un nombre pair alors,

$\dfrac{40}{2}=20$

Donc, d'après la question 1), le salaire médian sera donné par :

$S_{_{m}}=\dfrac{S_{_{20}}'+S_{_{21}}'}{2}$

où,

$S_{_{20}}'$ est le salaire du 20e travailleur et

$S_{_{21}}'$ le salaire du 21e travailleur dans l'ordre croissant des salaire.

En ajoutant dans le tableau la ligne des

$F.C.C$ et en réordonnant suivant l'ordre croissant des salaires (en partant du bas), on obtient :

$\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{fonctions}&F\text{ en }\%&F.C.C\text{ en }\%&\text{salaires}\\ \hline \text{Cadres supérieurs}&5&100&450 000\\ \hline \text{Agents de production}&45&95&350000\\ \hline \text{Personnels administratifs}&15&50&200000\\ \hline\text{Agents commerciaux}&20&35&175000\\ \hline\text{Chauffeurs}&5&15&150000\\ \hline\text{Agents de sécurité}&10&10&100000\\ \hline \end{array}$

D'après la ligne des

$F.C.C\;,\ 50\%$ correspond à la moitié de l'effectif total donc,

$S_{_{20}}'=200000\;\text{F CFA}\ \text{ et }\ S_{_{21}}'=350000\;\text{F CFA}$

Par suite,

$S_{_{m}}=\dfrac{200000+350000}{2}=275000$

Par conséquent, le salaire médian de cette entreprise est de

$275000\;\text{F CFA}$

Ainsi :

$\ast\$ 20 travailleurs ont un salaire inférieur à

$275000\;\text{F CFA}$

$\ast\$ 20 travailleurs ont un salaire supérieur à

$275000\;\text{F CFA}$

4) Construisons le diagramme des fréquences cumulées croissantes de cette série.

On prendra comme échelle :

$\begin{array}{rcl} 1\;cm&\longrightarrow&25000\text{ F CFA}\\1\;cm&\longrightarrow&10\%\end{array}$

Exercice 2

Soit

$ABCD$ un rectangle tel que

$AB=12\;cm\$ et

$\ BC=x\;cm\$ avec

$\ 0<x<12.$

1) Calculons le périmètre

$P$ du rectangle en fonction de

$x.$

On sait que :

$\text{Périmètre du rectangle}=2\times(\text{Longueur}+\text{Largeur})$

Or, pour le rectangle

$ABCD$ , on a :

$L=AB=12\;cm\ \text{ et }\ \ell=BC=x\;cm$

Donc,

$P=2\times(12+x)=2x+24$

D'où,

$\boxed{P=(2x+24)\;cm}$

2) Déterminons l'intervalle dans lequel il faut choisir

$x$ pour que

$P$ soit supérieur à

$33\;cm$

D'après la question 1), on a :

$P=(2x+24)\;cm$

Donc,

$P$ est supérieur à

$33\;cm$ si, et seulement si,

$2x+24>33$

En résolvant cette inéquation, on trouvera l'intervalle de

$x$

On a :

$\begin{array}{rcrcl} P>33&\Rightarrow&2x+24&>&33\\\\&\Rightarrow&2x&>&33-24\\\\&\Rightarrow&2x&>&9\\\\&\Rightarrow&x&>&\dfrac{9}{2}\end{array}$

Donc : lorsque

$x$ est supérieur à

$\dfrac{9}{2}=4.5\;cm$ alors, le périmètre

$P$ sera supérieur à

$33\;cm$

Ce qui peut s'écrire : si

$x\in\left]\dfrac{9}{2}\;,\ 12\right[$ alors,

$P>33\;cm$

Ainsi, l'intervalle de

$x$ est

$I=\left]\dfrac{9}{2}\;,\ 12\right[$

3) Calculons l'aire

$\mathcal{A}$ de la surface de ce rectangle en fonction de

$x.$

l'aire d'un rectangle est donnée par :

$\text{Aire du rectangle}=\text{Longueur}\times\text{Largeur}$

Donc,

$\mathcal{A}=L\times\ell$ avec,

$L=12\;cm\$ et

$\ \ell=x\;cm$

Par suite,

$\mathcal{A}=12\times x$

D'où,

$\boxed{\mathcal{A}=12x\;cm^{2}}$

4) Déterminons l'intervalle dans lequel il faut choisir

$x$ pour que

$\mathcal{A}$ soit inférieure à

$81\,cm^{2}$

Comme

$\mathcal{A}=12x\;cm^{2}$ alors, l'aire

$\mathcal{A}$ est inférieure à

$81\;cm^{2}$ si, et seulement si,

$12x<81$

La solution de cette inéquation donne l'intervalle de

$x$ , sachant que

$x$ est positif car

$x$ représente la largeur qui est une distance.

On a :

$\begin{array}{rcrcl}\mathcal{A}<81&\Rightarrow&12x&<&81\\ \\&\Rightarrow&x&<&\dfrac{81}{12}\\ \\&\Rightarrow&x&<&\dfrac{3\times 27}{3\times 4}\\ \\&\Rightarrow&x&<&\dfrac{27}{4}\end{array}$

Donc : lorsque

$x$ est inférieur à

$\dfrac{27}{4}=6.75\;cm$ alors, l'aire

$\mathcal{A}$ sera inférieure à

$81\;cm^{2}$

Ce qui peut encore s'écrire : si

$x\in\left]0\;,\ \dfrac{27}{4}\right[$ alors,

$\mathcal{A}<81\;cm^{2}$

Ainsi, l'intervalle de

$x$ est

$J=\left]0\;,\ \dfrac{27}{4}\right[$

5) On donne

$x=9\$ et

$\ A'B'C'D'$ un carré dont l'aire est égale à celle du rectangle

$ABCD.$

a) Calculons le côté du carré.

On a :

$\text{Aire du carré}=\text{côté}\times\text{côté}$

Soit

$y$ le côté du carré

$A'B'C'D'$ alors,

$\mathcal{A}_{(A'B'C'D')}=y\times y=y^{2}$

On a :

$\mathcal{A}_{(ABCD)}=12x\;cm^{2}\$ or,

$x=9$

Donc,

$\mathcal{A}_{(ABCD)}=12\times 9=108\;cm^{2}$

Ainsi, l'aire du carré est à l'aire du rectangle si, et seulement si,

$y^{2}=108$

En résolvant cette équation, on trouvera la mesure du côté du carré

$A'B'C'D'$

On a :

$\begin{array}{rcl}\mathcal{A}_{(A'B'C'D')}=\mathcal{A}_{(ABCD)}&\Rightarrow&y^{2}=108\\ \\&\Rightarrow&y=\sqrt{108}\ \text{ ou }\ y=-\sqrt{108}\\ \\&\Rightarrow&y=6\sqrt{3}\ \text{ ou }\ y=-6\sqrt{3}\end{array}$

On prendra la valeur positive car, le côté du carré est une longueur donc, toujours positive.

Ainsi,

$\boxed{\text{côté}=6\sqrt{3}\;cm}$

b) Comparons le périmètre

$P$ du rectangle et celui

$P'$ du carré.

On a :

$\begin{array}{rcl} P&=&2x+24\\\\&=&2\times 9+24\\\\&=&18+24\\\\&=&42\end{array}$

Donc,

$P=42\;cm$

$\begin{array}{rcl} P'&=&4\times\text{côté}\\\\&=&4\times 6\sqrt{3}\\\\&=&24\sqrt{3}\end{array}$

Donc,

$P'=24\sqrt{3}\;cm$

Ainsi, comparer

$P\$ et

$\ P'$ revient à comparer

$42\$ et

$\ 24\sqrt{3}$

Pour cela, on compare leur carré car,

$42\$ et

$\ 24\sqrt{3}$ sont tous les deux positifs.

On a :

$(42)^{2}=1764\$ et

$\ (24\sqrt{3})^{2}=(24)^{2}\times 3=1728$

Comme

$1764$ est supérieur à

$1728$ alors,

$42$ est supérieur à

$24\sqrt{3}$

D'où,

$P>P'$

Exercice 3

Le plan est muni d'un repère orthonormal

$(O\;;\ \vec{i}\;;\ \vec{j}).$

1) Plaçons les points

$A(-3\;;\ 3)\;,\ B(5\;;\ -1)\$ et

$\ C(5\;;\ 9).$

2) Trouvons une équation de la droite

$(\Delta)$ hauteur du triangle

$ABC$ passant par le point

$C.$

$(\Delta)$ est le hauteur du triangle

$ABC$ passant par le point

$C$ donc,

$(\Delta)$ est perpendiculaire au côté opposé à

$\widehat{C}.$

C'est-à-dire :

$(\Delta)\perp(AB)$

Soit

$M\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}$ un point de

$(\Delta).$

Comme

$(\Delta)$ passe aussi par

$C$ et

$(\Delta)\perp(AB)$ alors,

$\overrightarrow{CM}\perp\overrightarrow{AB}$ avec :

$\overrightarrow{CM}\begin{pmatrix} x-5\\y-9\end{pmatrix}\ \text{ et }\ \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 5-(-3)\\-1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8\\-4\end{pmatrix}$

En appliquant la propriété sur l'orthogonalité de deux vecteurs, on obtient :

$\begin{array}{rcrcl}\overrightarrow{CM}\perp\overrightarrow{AB}&\Leftrightarrow&(x-5)\times 8+(y-9)\times(-4)&=&0\\\\&\Leftrightarrow&8x-40-4y+36&=&0\\\\&\Leftrightarrow&8x-4y-4&=&0\\\\&\Leftrightarrow&4(2x-y-1)&=&0\\\\&\Leftrightarrow&2x-y-1&=&0\end{array}$

D'où,

$\boxed{(\Delta)\ :\ 2x-y-1=0}$

Soit le point

$K$ milieu de

$[BA].$

a) Vérifions que

$K$ appartient à

$(\Delta).$

Cherchons d'abord les coordonnées de

$K$

$K$ milieu du segment

$[BA]$ alors, ses coordonnées seront données par :

$K\begin{pmatrix}\dfrac{x_{B}+x_{A}}{2}\\ \\\dfrac{y_{B}+y_{A}}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{5-3}{2}\\ \\\dfrac{-1+3}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{2}\\ \\\dfrac{2}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix}$

Donc,

$K\begin{pmatrix} 1\\1\end{pmatrix}$

$K$ appartient à

$(\Delta)$ si les coordonnées de

$K$ vérifient l'équation de la droite

$(\Delta).$

En remplaçant les coordonnées de

$K$ dans l'équation de

$(\Delta)$ , on obtient :

$2\times 1-1-1=2-2=0$ donc, les coordonnées de

$K$ vérifient bien l'équation de

$(\Delta).$

Ce qui veut dire que

$K$ appartient à

$(\Delta).$

b) Déduisons-en la nature du triangle

$ABC$ et celle du triangle

$AKC.$

$(\Delta)$ est la hauteur issue de

$C$ et

$(\Delta)$ passe par

$K$ milieu de

$[BA]$ donc,

$(\Delta)$ est aussi médiatrice de

$[BA].$

D'où,

$ABC$ est un triangle isocèle et

$AKC$ un triangle rectangle en

$K.$

3) Soit

$(\mathcal{C})$ le cercle circonscrit au triangle

$AKC.$

a) Déterminons les cordonnées de son centre

$L$ et calculons son rayon

$R.$

Le triangle

$AKC$ étant rectangle en

$K$ alors, le cercle circonscrit à ce triangle aura pour centre le milieu de l'hypoténuse du triangle.

Donc,

$L$ est milieu de

$[AC]$

Ses coordonnées seront alors données par :

$L\begin{pmatrix}\dfrac{x_{A}+x_{C}}{2}\\ \\\dfrac{y_{A}+y_{C}}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{-3+5}{2}\\ \\\dfrac{3+9}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{2}\\ \\\dfrac{12}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\6\end{pmatrix}$

D'où,

$L\begin{pmatrix} 1\\6\end{pmatrix}$

Pour déterminer son rayon, on peut calculer la distance

$LA$

On a :

$\begin{array}{rcl} LA&=&\sqrt{(x_{A}-x_{L})^{2}+(y_{A}-y_{L})^{2}}\\\\&=&\sqrt{(-3-1)^{2}+(3-6)^{2}}\\\\&=&\sqrt{(-4)^{2}+(-3)^{2}}\\\\&=&\sqrt{16+9}\\\\&=&\sqrt{25}\\\\&=&5\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{R=5}$

b) Montrons que

$M(6\;;\ 6)$ appartient au cercle

$(\mathcal{C})$

Pour cela, on doit montrer que la distance entre le point

$M$ et le centre

$L$ du cercle

$(\mathcal{C})$ est égale au rayon

$R.$

Ce qui revient donc à montrer que

$LM=5$

On a :

$\begin{array}{rcl} LM&=&\sqrt{(x_{M}-x_{L})^{2}+(y_{M}-y_{L})^{2}}\\\\&=&\sqrt{(6-1)^{2}+(6-6)^{2}}\\\\&=&\sqrt{(5)^{2}+(0)^{2}}\\\\&=&\sqrt{5^{2}}\\\\&=&|5|\\\\&=&5\end{array}$

Donc, on remarque que

$LM=5$

Ce qui montre que

$M$ appartient au cercle

$(\mathcal{C}).$

c) Justifions que

$\widehat{AMK}\$ et

$\ \widehat{ACK}$ ont la même mesure.

$\widehat{AMK}\$ et

$\ \widehat{ACK}$ sont deux angles inscrits dans

$(\mathcal{C})$ et interceptant le même arc

$\overset{\displaystyle\frown}{AK}.$

Donc, ils ont la même mesure.

D'où,

$mes\,\widehat{AMK}=mes\,\widehat{ACK}$

d) Montrons que

$\widehat{CAK}\$ et

$\ \widehat{AMK}$ sont complémentaires.

Le triangle

$ACK$ étant rectangle en

$K$ alors, ses deux angles aigus

$\widehat{CAK}\$ et

$\ \widehat{ACK}$ sont complémentaires.

Donc,

$mes\,\widehat{CAK}+mes\,\widehat{ACK}=90^{\circ}$

Or, d'après la question précédente,

$mes\,\widehat{AMK}=mes\,\widehat{ACK}$

Par suite,

$mes\,\widehat{CAK}+mes\,\widehat{AMK}=90^{\circ}$

D'où,

$\widehat{CAK}\$ et

$\ \widehat{AMK}$ sont complémentaires.

Exercice 4

1) Le schéma ci-dessous représente le patron de la partie latérale d'un cône de révolution.

Justifions que le rayon

$r$ de la base du cône vaut

$r=R\times\left(1-\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}\right)$

On reprend le schéma en ajoutant le patron de la base.

On constate alors que la longueur de l'arc

$\overset{\displaystyle\frown}{AB}$ est égale au périmètre de la base du cône.

Or, la longueur de l'arc

$\overset{\displaystyle\frown}{AB}$ est donnée par :

$\overset{\displaystyle\frown}{AB}=R\times\beta$

Il faut remarquer que :

$\beta=360^{\circ}-\alpha$

Donc,

$\overset{\displaystyle\frown}{AB}=R(360^{\circ}-\alpha)$

Le périmètre de la base du cône est donné par :

$P=r\times 360^{\circ}$

Ainsi, on a :

$\begin{array}{rcl} P=\overset{\displaystyle\frown}{AB}&\Rightarrow&r\times 360^{\circ}=R(360^{\circ}-\alpha)\\ \\&\Rightarrow&r=\dfrac{R(360^{\circ}-\alpha)}{360^{\circ}}\\ \\&\Rightarrow&r=R\left(\dfrac{360^{\circ}-\alpha}{360^{\circ}}\right)\\ \\&\Rightarrow&r=R\left(\dfrac{360^{\circ}}{360^{\circ}}-\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}\right)\\ \\&\Rightarrow&r=R\left(1-\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}\right)\end{array}$

D'où,

$\boxed{r=R\times\left(1-\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}\right)}$

2) Démontrons que la hauteur

$h$ du cône vaut :

$h=R\times\sqrt{1-\left(1-\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}\right)^{2}}$

En considérant la figure ci-dessous, on constate que le triangle

$COS$ est rectangle en

$O.$

Donc, en appliquant le théorème de Pythagore, on obtient :

$OS^{2}+OC^{2}=CS^{2}$

En remplaçant

$OS\;,\ OC\$ et

$\ CS$ par leur mesure respective, on trouve :

$h^{2}+r^{2}=R^{2}$

Ce qui donne :

$h^{2}=R^{2}-r^{2}$

Or, d'après la question 1), on a :

$r=R\times\left(1-\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}\right)$

Donc, en remplaçant, on obtient :

$h^{2}=R^{2}-\left(R\times\left(1-\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}\right)\right)^{2}$

Par suite,

$\begin{array}{rcl} h^{2}=R^{2}-R^{2}\times\left(1-\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}\right)^{2}&\Rightarrow&h^{2}=R^{2}\left(1-\left(1-\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}\right)^{2}\right)\\ \\&\Rightarrow&h=\sqrt{R^{2}\left(1-\left(1-\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}\right)^{2}\right)}\\ \\&\Rightarrow&h=\sqrt{R^{2}}\times\sqrt{1-\left(1-\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}\right)^{2}}\\ \\&\Rightarrow&h=R\times\sqrt{1-\left(1-\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}\right)^{2}}\end{array}$

D'où,

$\boxed{h=R\times\sqrt{1-\left(1-\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}\right)^{2}}}$

3) Exprimons l'aire du cône en fonction de

$R\$ et

$\ \alpha.$

Soit

$\mathcal{A}$ l'aire du cône alors, on a :

$\mathcal{A}=\mathcal{A}_{_{L}}+\mathcal{A}_{_{B}}$

avec,

$\mathcal{A}_{_{L}}$ l'aire latérale et

$\mathcal{A}_{_{B}}$ l'aire de base.

On a :

$\ast\ \ \mathcal{A}_{_{L}}=\pi\times R\times r$

Or,

$r=R\times\left(1-\dfrac{\alpha}{360^{\circ}}\right)=R\times\left(1-\dfrac{\alpha}{2\pi}\right)\$ car, pour rappel :

$360^{\circ}=2\pi\;rad$

Donc, en remplaçant, on obtient :

$\boxed{\mathcal{A}_{_{L}}=\pi\times R^{2}\times\left(1-\dfrac{\alpha}{2\pi}\right)}$

$\ast\ \ \mathcal{A}_{_{B}}=\pi\times r^{2}$ avec,

$r=R\times\left(1-\dfrac{\alpha}{2\pi}\right)$

Donc, en remplaçant

$r$ par son expression, on obtient :

$\begin{array}{rcl}\mathcal{A}_{_{B}}&=&\pi\times r^{2}\\ \\&=&\pi\left(R\times\left(1-\dfrac{\alpha}{2\pi}\right)\right)^{2}\\ \\&=&\pi\times R^{2}\times\left(1-\dfrac{\alpha}{2\pi}\right)^{2}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{\mathcal{A}_{_{B}}=\pi\times R^{2}\times\left(1-\dfrac{\alpha}{2\pi}\right)^{2}}$

Par suite,

$\begin{array}{rcl}\mathcal{A}&=&\mathcal{A}_{_{L}}+\mathcal{A}_{_{B}}\\ \\&=&\pi\times R^{2}\times\left(1-\dfrac{\alpha}{2\pi}\right)+\pi\times R^{2}\times\left(1-\dfrac{\alpha}{2\pi}\right)^{2}\\ \\&=&\left(\pi\times R^{2}\times\left(1-\dfrac{\alpha}{2\pi}\right)\right)\left(1+1-\dfrac{\alpha}{2\pi}\right)\\ \\&=&\pi\times R^{2}\times\left(1-\dfrac{\alpha}{2\pi}\right)\left(2-\dfrac{\alpha}{2\pi}\right)\end{array}$

D'où,

$\boxed{\mathcal{A}=\pi\times R^{2}\times\left(1-\dfrac{\alpha}{2\pi}\right)\left(2-\dfrac{\alpha}{2\pi}\right)}$

4) On pose

$\alpha=270^{\circ}\;,\ R=50\,cm\$ et

$\ \pi\backsimeq 3.14.$

Calculons l'aire latérale du cône.

On a :

$\begin{array}{rcl}\mathcal{A}_{_{L}}&=&\pi\times R^{2}\times\left(1-\dfrac{\alpha}{2\pi}\right)\\ \\&=&3.14\times(50)^{2}\times\left(1-\dfrac{270}{360}\right)\\ \\&=&3.14\times 2500\times\left(1-0.75\right)\\ \\&=&7850\times 0.25\\ \\&=&1962.5\end{array}$

D'où,

$\boxed{\mathcal{A}_{_{L}}=1962.5\;cm^{2}}$

Auteur:

Diny Faye