Corrigé Bac Maths S, Centres étrangers 11 mais 2022

 

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. 

 

Les six questions sont indépendantes.

 

Une réponse incorrecte, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. 

 

Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.

 

Aucune justification n'est demandée 

 

1. On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x)=\ln\left(1+x^{2}\right)$

 

Sur $\mathbb{R}$, l'équation $f(x)=2022$

 

a. n'admet aucune solution. 

 

b. admet exactement une solution.

 

c. admet exactement deux solutions. 

 

d. admet une infinité de solutions.

 

On a : 

 

$\begin{array}{rcl} \text{On a}\ :\ f(x)=2022 &\Longleftrightarrow&\ln\left(1+x^{2}\right)=2022\\ &\Longleftrightarrow&\mathrm{e}^{\ln\left(1+x^{2}\right)}=\mathrm{e}^{2022}\\ &\Longleftrightarrow&1+x^{2}=\mathrm{e}^{2022}\\ &\Longleftrightarrow&x^{2}=\mathrm{e}^{2022}-1 \end{array}$ 

 

ce nombre étant positif, l'équation a deux solutions : 

 

$\sqrt{\mathrm{e}^{2022}-1}\ $ et $\ -\sqrt{\mathrm{e}^{2022}-1}$

 

Réponse c.

 

2. Soit la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ strictement positif par :

$$g(x)=\ln(x)-x^{2}$$

 

On note $\mathcal{C}_{g}$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

 

a. La fonction $g$ est convexe sur $]0\ ;\ +\infty[$

 

b. La fonction $g$ est concave sur $]0\ ;\ +\infty[$

 

c. La courbe $\mathcal{C}_{g}$ admet exactement un point d'inflexion sur $]0\ ;\ +\infty[$

 

d. La courbe $\mathcal{C}_{g}$ admet exactement deux points d'inflexion sur $]0\ ;\ +\infty[$

 

Sur $\mathbb{R}_{+}$, $g$ est dérivable et sur cet intervalle, 

 

$\begin{array}{rcl} f^{\prime}(x)&=&\ln(x)+x\times\dfrac{1}{x}-2x\\\\&=&\ln(x)-2x+1 \end{array}$

 

puis $f"(x)=\dfrac{1}{x}-2$

 

$\begin{array}{rcl} \text{On a donc }f"(x)=0 &\Longleftrightarrow&\dfrac{1}{x}-2=0\\ &\Longleftrightarrow&\dfrac{1}{x}=2\\ &\Longleftrightarrow&x=\dfrac{1}{2} \end{array}$

 

Sur $]0\ ;\ +\infty[$, $f$ a un seul point d'inflexion d'abscisse $\dfrac{1}{2}$

 

Réponse c

 

3. On considère la fonction $f$ définie sur $]-\ ;\ 1[$ par 

$$f(x)=\dfrac{x}{1-x^{2}}$$

 

Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]-1\ ;\ 1[$ par :

 

a. $g(x)=-\dfrac{1}{2}\ln\left(1-x^{2}\right)$

 

b. $g(x)=\dfrac{1+x^{2}}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}$

 

c. $g(x)=\dfrac{x^{2}}{2\left(x-\dfrac{x^{3}}{3}\right)}$

 

d. $g(x)=\dfrac{x^{2}}{2}\ln\left(1-x^{2}\right)$

 

Soit la fonction $g$ définie sur $]-1\ ;\ 1[$ par $g(x)=-\dfrac{1}{2}\ln\left(1-x^{2}\right).$ 

 

En posant $u(x)=1-x^{2}$, dérivable et non nulle sur $]-1\ ;\ 1[$, 

 

on a $g'(x)=-2x$ et on sait que $g(x)=-\dfrac{1}{2}\ln u(x)$ entraîne que 

$\begin{array}{rcl}g'(x)&=&-\dfrac{1}{2}\dfrac{u^{\prime}(x)}{2u(x)}\\&=&-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{-2x}{1-x^{2}}\\&=&\dfrac{x}{1-x^{2}}\\&=&f(x) \end{array}$

 

Réponse a

 

4. la fonction $x\mapsto\ln\left(-x^{2}-x+6\right)$ est définie sur 

 

a. $|-3\ ;\ 2|$

 

b. $|-\infty\ ;\ 6|$

 

c. $|0\ ; `+\infty|$

 

d. $|2\ ;\ +\infty|$