Les Polynômes - 1er L

Classe: 
Première
 

I. Généralités

1. Monômes

a. Définition et vocabulaire

On appelle monôme de la variable xx, toute expression qui peut s'écrire sous la forme axnaxnaa est un réel constant et nn est un entier naturel.
 
  Le réel aa est dit coefficient du monôme axn.axn.
 
  Si le coefficient aa est différent de 00 alors l'entier naturel nn est dit degré du monôme axnaxn et on note deg(axn)=ndeg(axn)=n

b. Exemples

  L'expression 2x32x3 est un monôme de la variable xx de coefficient 22 et de degré 3.3.
 
On écrit deg(2x3)=3deg(2x3)=3
 
  L'expression 12x12x est un monôme de la variable xx de coefficient 1212 et de degré 1.1. 
 
On écrit deg(12x)=1deg(12x)=1

c. Remarque

  Le plus souvent, lorsqu'on a un monôme de la variable xx, on dit monôme tout court au lieu de monôme de la variable x.x.
 
  Tout réel constant non nul est un monôme dit monôme constant. 
 
Son coefficient est lui même et son degré est 0.0. 
 
Par exemple 22 est un monôme de coefficient 11 et de degré 0.0.
 
  Le nombre réel 00 est un monôme de coefficient 00 mais il n'a pas de degré. 
 
Il est dit monôme nul.

2. Polynômes

a. Définition

On appelle polynôme de la variable xx, toute expression qui peut s'écrire comme somme de monômes de la variable x.x.

b. Exemple

  L'expression 2x+4x3+12x+4x3+1 est un polynôme car il s'écrit comme la somme des monômes 2x2x ; 4x34x3 et 1.1.
 
  Les réels 22 ; 44 et 11 sont dits coefficients.
 
 3 3est le plus grand parmi tous les degrés des monômes du polynôme 2x+4x3+1.2x+4x3+1.
 
Il est dit degré du polynôme 2x+4x3+1.2x+4x3+1.

c. Remarque

  Les monômes d'un polynôme peuvent être ordonnés suivant les puissances décroissantes de x.x. 
 
Par exemple 2x+4x3+1=2x+4x3+1=
 
  Un polynôme se note généralement par P(x)P(x) ou Q(x)Q(x) 
 
On peut donc écrire
 
P(x)=4x32x+1.P(x)=4x32x+1.
 
  Tout monôme est un polynôme.

II. Trinômes du second degré

1. Définition et exemple

Un trinôme du 2nd2nd degré est une expression qui peut s'écrire sous la forme ax2+bx+cax2+bx+caa est un réel non nul, bb et cc sont deux réels quelconques. 
 
C'est donc un polynôme de degré 2.2. 
 
Par exemple 2x25x+32x25x+3 est un trinôme du second degré avec a=2a=2 ; b=5b=5 et c=3.c=3.

2. Factorisation de ax2+bx+cax2+bx+c

Soit P(x)=ax2+bx+c.P(x)=ax2+bx+c.
 
Le réel b24acb24ac est dit discriminant de ax2+bx+cax2+bx+c et il est noté Δ=b24ac.Δ=b24ac.
 
La factorisation de ax2+bx+cax2+bx+c dépend du signe de Δ.Δ.
Signe du discriminant ΔFactorisation du trinôme ax2+bx+cΔ<0ax2+bx+c ne peut pas se factoriserΔ=0ax2+bx+c=a(xx0)2x0=b2aΔ>0ax2+bx+c=a(xx1)(xx2)x1=b+Δ2aetx2=bΔ2a

 Exemples : 

Factorisons les trinômes du second degré suivants :
 
 f(x)=2x2+x+1
 
 g(x)=9x26x+1
 
 h(x)=x2+x6

3. Signe de ax2+bx+c

Le signe de ax2+bx+c s'obtient généralement à l'aide d'un tableau de signes et ce tableau dépend du signe de Δ.
 
 Si Δ<0 alors ax2+bx+c n'a pas de racine et son tableau de signes est le suivant :
x+ax2+bx+cSigne de a

Exemple : 

Étudions le signe de 2x2+x+1
 
 Si Δ=0 alors ax2+bx+c a une racine double x0=b2a et son tableau de signes est le suivant :
x+ax2+bx+cSigne de aSigne de a

Exemple : 

Étudions le signe de x2+x6

III. Théorème fondamental des polynômes

1. Racine d'un polynôme

a. Définition

Soit P(x) un polynôme et α un réel. 
 
On dit que α est une racine (ou zéro) de P(x) si P(α)=0

b. Exemple

P(x)=x3+2x2+3x+2.
 
Vérifions que 1 est une racine de P(x).
 
P(1)=0 donc 1 est une racine de P(x).

c. Exercice d'application

Vérifier que 2 est une racine de P(x)=x32x25x+6

2. Théorème fondamental

a. Activité

On considère un polynôme (x)=x31.
 
1. Vérifier que 1 est une racine de P(x).
 
2. Trouver un polynôme Q(x) tel que P(x)=(x1)Q(x).
 
3. Vérifier que deg(Q)=deg(P)1.

Solution

1. P(1)=11=0 donc 1 est une racine de P(x)
 
2. P(x)=(x1)(x2+x+1) donc Q(x)=x2+x+1
 
3. Q(x)=x2+x+1 donc deg(Q(x))=2
 
deg(P(x))1=2 donc deg(Q(x))=deg(P(x))1

Exploitation de l'activité

Dans l'activité ci-dessus, nous avons vu que quand 1 est racine de Px)=x31, on a pu trouver le polynôme Q(x)=x2+x+1 tel que P(x)=(x1)×Q(x) et que deg(Q(x))=deg(P(x))1. 
 
Ce qu'on a eu avec P(x)=x31 et la racine 1 peut se généraliser à tout polynôme P(x) et pour toute racine α quelconque. 
 
Ainsi, nous avons le théorème suivant :

b. Théorème

Soit P(x) un polynôme et α un réel constant. 
 
Si α est une racine de P(x) alors on peut trouver Q(x) tel que P(x)=(xα)×Q(x) avec degQ=degP1
 
L'objectif maintenant est de donner des méthodes pour déterminer ce polynôme Q(x).

3. Détermination du polynôme Q(x) par la division euclidienne

Oralement : Étant donnés des entiers naturels a et b, pour trouver un entier q tel que α=b×q, on effectue la division euclidienne de a par b et dans ce cas, q est le quotient dans cette division euclidienne.
 
Comme dans le cas des entiers naturels, on démontre que l'on peut définir dans l'ensemble des polynômes une division euclidienne. 
 
Ainsi pour trouver le polynôme Q(x) tel que P(x)=(xα)×Q(x), on effectue la division euclidienne de P(x) par x1 et dans ce cas Q(x) sera le quotient dans cette division euclidienne.

a. Exemple

Soit P(x)=2x3x24x+3. 
 
Vérifions que 1 est une racine de P(x).
 
P(1)=0 donc 1 est une racine de P(x). 
 
Comme 1 est une racine de P(x) alors d'après le théorème précédent on peut trouver un polynôme Q(x) tel que P(x)=(x1)×Q(x).
 
Pour déterminer Q(x), on va diviser P(x) par x1.
 
On trouve Q(x)=2x2+x3.
 
On a ainsi P(x)=(x1)(2x2+x3).

b. Exercice d'application

Soit P(x)=3x311x2+17x3.
 
1. Vérifier que 2 est une racine de P(x).
 
2. Trouver par la division euclidienne un polynôme Q(x) tel que P(x)=(x2)Q(x)
 
4. Détermination de Q(x) par la méthode d'identification des coefficients

a. Exemple 1

Soit P(x)=2x3x24x+3
 
P(1)=0 donc 1 est une racine de P(x) donc d'après le théorème précédent il existe un polynôme Q(x) tel que P(x)=(x1)×Q(x) avec degQ=degP1=2 donc Q(x)=ax2+bx+c.
 
Par suite P(x)=(x1)(ax2+bx+c) 
 
L'objectif est donc de déterminer a, b et c par la méthode d'identification. 
 
Pour ce :
 
On développe, on réduit et on ordonne d'abord le produit (x1)(ax2+bx+c), on obtient P(x)=(x1)(ax2+bx+c)=ax3+(ba)x2+(cb)xc.
 
Ainsi on a :
 
2x3x24x+3=ax3+(ba)x2+(cb)xc
 
Ensuite, on identifie les coefficients des monômes semblables dans les deux membres de l'égalité 2x3x24x+3=ax3+(ba)x2+(cb)xc 
 
on a {a=2ba=1cb=4et c=3
 
Par suite α=2 ; b=1 et c=3 donc Q(x)=2x2+x3.

b. Exemple 2

Soit P(x)=3x311x2+17x14
 
1. Vérifier que 2 est une racine de P(x).
 
2. En utilisant la méthode d'identification des coefficients, trouver Q(x) tel que P(x)=(x2)×Q(x)
 
5. Détermination de Q(x) par la méthode du tableau de Horner

a. Exemple 1

Soit P(x)=2x3x24x+3
 
P(1)=0 donc 1 est une racine de P(x). 
 
Comme 1 est une racine de P(x) alors d'après le théorème précédent il existe un polynôme Q(x) tel que P(x)=(x1)×Q(x) avec degQ=degP1=2 donc Q(x)=ax2+bx+c.
 
Pour déterminer a, b et c, on utilise le tableau suivant dit tableau de Horner
tableau
 
2x3x24x+3=(x1)(2x2+x3).

b. Exemple 2

Soit P(x)=3x311x2+17x14 
 
1. Vérifier que 2 est une racine de P(x).
 
2. En utilisant la méthode du tableau de Horner, trouver Q(x) tel que P(x)=(x2)×Q(x) 

IV. Factorisation d'un polynôme de degré n3 et applications

1. Exemple 1

Soit P(x)=3x311x2+17x14 
 
1. Vérifier que 2 est une racine de P(x).
 
2. Factoriser complètement P(x).
 
3. Résoudre dans R, l'équation P(x)=0 
 
4. Résoudre dans l'inéquation P(x)0

2. Exemple 2

Soit P(x)=4x311x2+43x10. 
 
1. Vérifier que 2 est racine de P(x).
 
2. Factoriser complètement P(x).
 
3. Résoudre dans R, l'équation P(x)=0
 
4. Résoudre dans R, l'inéquation P(x)>0

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Magnifique

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