Les Polynômes - 1er L
Classe:
Première
I. Généralités
1. Monômes
a. Définition et vocabulaire
On appelle monôme de la variable $x$, toute expression qui peut s'écrire sous la forme $ax^{n}$ où $a$ est un réel constant et $n$ est un entier naturel.
$\bullet\ $Le réel $a$ est dit coefficient du monôme $ax^{n}.$
$\bullet\ $Si le coefficient $a$ est différent de $0$ alors l'entier naturel $n$ est dit degré du monôme $ax^{n}$ et on note $\text{deg}\left(ax^{n}\right)=n$
b. Exemples
$\surd\ $L'expression $-2x^{3}$ est un monôme de la variable $x$ de coefficient $-2$ et de degré $3.$
On écrit $\text{deg}\left(-2x^{3}\right)=3$
$\surd\ $L'expression $\dfrac{1}{2}x$ est un monôme de la variable $x$ de coefficient $\dfrac{1}{2}$ et de degré $1.$
On écrit $\text{deg}\left(\dfrac{1}{2}x\right)=1$
c. Remarque
$\surd\ $Le plus souvent, lorsqu'on a un monôme de la variable $x$, on dit monôme tout court au lieu de monôme de la variable $x.$
$\surd\ $Tout réel constant non nul est un monôme dit monôme constant.
Son coefficient est lui même et son degré est $0.$
Par exemple $-2$ est un monôme de coefficient $-1$ et de degré $0.$
$\surd\ $Le nombre réel $0$ est un monôme de coefficient $0$ mais il n'a pas de degré.
Il est dit monôme nul.
2. Polynômes
a. Définition
On appelle polynôme de la variable $x$, toute expression qui peut s'écrire comme somme de monômes de la variable $x.$
b. Exemple
$\surd\ $L'expression $-2x+4x^{3}+1$ est un polynôme car il s'écrit comme la somme des monômes $-2x$ ; $4x^{3}$ et $1.$
$\surd\ $Les réels $-2$ ; $4$ et $1$ sont dits coefficients.
$\surd\ 3$est le plus grand parmi tous les degrés des monômes du polynôme $-2x+4x^{3}+1.$
Il est dit degré du polynôme $-2x+4x^{3}+1.$
c. Remarque
$\surd\ $Les monômes d'un polynôme peuvent être ordonnés suivant les puissances décroissantes de $x.$
Par exemple $-2x+4x^{3}+1=$
$\surd\ $Un polynôme se note généralement par $P(x)$ ou $Q(x)\ldots\ldots$
On peut donc écrire
$P(x)=4x^{3}-2x+1.$
$\surd\ $Tout monôme est un polynôme.
II. Trinômes du second degré
1. Définition et exemple
Un trinôme du $2^{nd}$ degré est une expression qui peut s'écrire sous la forme $ax^{2}+bx+c$ où $a$ est un réel non nul, $b$ et $c$ sont deux réels quelconques.
C'est donc un polynôme de degré $2.$
Par exemple $2x^{2}-5x+3$ est un trinôme du second degré avec $a=2$ ; $b=-5$ et $c=3.$
2. Factorisation de $ax^{2}+bx+c$
Soit $P(x)=ax^{2}+bx+c.$
Le réel $b^{2}-4ac$ est dit discriminant de $ax^{2}+bx+c$ et il est noté $\Delta=b^{2}-4ac.$
La factorisation de $ax^{2}+bx+c$ dépend du signe de $\Delta.$
$$\begin{array}{|l|l|} \hline \text{Signe du discriminant }\Delta&\text{Factorisation du trinôme }ax^{2}+bx+c\\\hline \Delta<0&ax^{2}+bx+c\text{ ne peut pas se factoriser}\\\hline\Delta=0&ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{0}\right)^{2}\quad\text{où}\quad x_{0}=-\dfrac{b}{2a}\\\hline\Delta>0&ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\quad\text{où}\\&\\& x_{1}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\quad\text{et}\quad x_{2}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\\hline \end{array}$$
$\bullet\ $Exemples :
Factorisons les trinômes du second degré suivants :
$\surd\ f(x)=2x^{2}+x+1$
$\surd\ g(x)=9x^{2}-6x+1$
$\surd\ h(x)=x^{2}+x-6$
3. Signe de $ax^{2}+bx+c$
Le signe de $ax^{2}+bx+c$ s'obtient généralement à l'aide d'un tableau de signes et ce tableau dépend du signe de $\Delta.$
$\bullet\ $Si $\Delta<0$ alors $ax^{2}+bx+c$ n'a pas de racine et son tableau de signes est le suivant :
$$\begin{array}{|c|lcr|} \hline x&-\infty& &+\infty\\ \hline ax^{2}+bx+c& &\text{Signe de }a&\\ \hline \end{array}$$
Exemple :
Étudions le signe de $2x^{2}+x+1$
$\bullet\ $Si $\Delta=0$ alors $ax^{2}+bx+c$ a une racine double $x_{0}=-\dfrac{b}{2a}$ et son tableau de signes est le suivant :
$$\begin{array}{|c|l|l|} \hline x&-\infty&+\infty\\ \hline ax^{2}+bx+c&\text{Signe de }a&\text{Signe de }a\\ \hline \end{array}$$
Exemple :
Étudions le signe de $x^{2}+x-6$
III. Théorème fondamental des polynômes
1. Racine d'un polynôme
a. Définition
Soit $P(x)$ un polynôme et $\alpha$ un réel.
On dit que $\alpha$ est une racine (ou zéro) de $P(x)$ si $P(\alpha)=0$
b. Exemple
$P(x)=x^{3}+2x^{2}+3x+2.$
Vérifions que $-1$ est une racine de $P(x).$
$P(-1)=0$ donc $-1$ est une racine de $P(x).$
c. Exercice d'application
Vérifier que $-2$ est une racine de $P(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6$
2. Théorème fondamental
a. Activité
On considère un polynôme $(x)=x^{3}-1.$
1. Vérifier que $1$ est une racine de $P(x).$
2. Trouver un polynôme $Q(x)$ tel que $P(x)=(x-1)Q(x).$
3. Vérifier que $\text{deg}(Q)=\text{deg}(P)-1.$
Solution
1. $P(1)=1-1=0$ donc $1$ est une racine de $P(x)$
2. $P(x)=(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)$ donc $Q(x)=x^{2}+x+1$
3. $Q(x)=x^{2}+x+1$ donc $\text{deg}(Q(x))=2$ ;
$\text{deg}(P(x))-1=2$ donc $\text{deg}(Q(x))=\text{deg}(P(x))-1$
Exploitation de l'activité
Dans l'activité ci-dessus, nous avons vu que quand $1$ est racine de $P'x)=x^{3}-1$, on a pu trouver le polynôme $Q(x)=x^{2}+x+1$ tel que $P(x)=(x-1)\times Q(x)$ et que $\text{deg}(Q(x))=\text{deg}(P(x))-1.$
Ce qu'on a eu avec $P(x)=x^{3}-1$ et la racine $1$ peut se généraliser à tout polynôme $P(x)$ et pour toute racine $\alpha$ quelconque.
Ainsi, nous avons le théorème suivant :
b. Théorème
Soit $P(x)$ un polynôme et $\alpha$ un réel constant.
Si $\alpha$ est une racine de $P(x)$ alors on peut trouver $Q(x)$ tel que $P(x)=(x-\alpha)\times Q(x)$ avec $\text{deg}Q=\text{deg}P-1$
L'objectif maintenant est de donner des méthodes pour déterminer ce polynôme $Q(x).$
3. Détermination du polynôme $Q(x)$ par la division euclidienne
Oralement : Étant donnés des entiers naturels $a$ et $b$, pour trouver un entier $q$ tel que $\alpha=b\times q$, on effectue la division euclidienne de $a$ par $b$ et dans ce cas, $q$ est le quotient dans cette division euclidienne.
Comme dans le cas des entiers naturels, on démontre que l'on peut définir dans l'ensemble des polynômes une division euclidienne.
Ainsi pour trouver le polynôme $Q(x)$ tel que $P(x)=(x-\alpha)\times Q(x)$, on effectue la division euclidienne de $P(x)$ par $x-1$ et dans ce cas $Q(x)$ sera le quotient dans cette division euclidienne.
a. Exemple
Soit $P(x)=2x^{3}-x^{2}-4x+3.$
Vérifions que $1$ est une racine de $P(x).$
$P(1)=0$ donc $1$ est une racine de $P(x).$
Comme $1$ est une racine de $P(x)$ alors d'après le théorème précédent on peut trouver un polynôme $Q(x)$ tel que $P(x)=(x-1)\times Q(x).$
Pour déterminer $Q(x)$, on va diviser $P(x)$ par $x-1.$
On trouve $Q(x)=2x^{2}+x-3.$
On a ainsi $P(x)=(x-1)\left(2x^{2}+x-3\right).$
b. Exercice d'application
Soit $P(x)=3x^{3}-11x^{2}+17x-3.$
1. Vérifier que $2$ est une racine de $P(x).$
2. Trouver par la division euclidienne un polynôme $Q(x)$ tel que $P(x)=(x-2)\cdot Q(x)$
4. Détermination de $Q(x)$ par la méthode d'identification des coefficients
a. Exemple 1
Soit $P(x)=2x^{3}-x^{2}-4x+3$
$P(1)=0$ donc $1$ est une racine de $P(x)$ donc d'après le théorème précédent il existe un polynôme $Q(x)$ tel que $P(x)=(x-1)\times Q(x)$ avec $\text{deg}Q=\text{deg}P-1=2$ donc $Q(x)=ax^{2}+bx+c.$
Par suite $P(x)=(x-1)\left(ax^{2}+bx+c\right)$
L'objectif est donc de déterminer $a$, $b$ et $c$ par la méthode d'identification.
Pour ce :
On développe, on réduit et on ordonne d'abord le produit $(x-1)\left(ax^{2}+bx+c\right)$, on obtient $P(x)=(x-1)\left(ax^{2}+bx+c\right)=ax^{3}+(b-a)x^{2}+(c-b)x-c.$
Ainsi on a :
$2x^{3}-x^{2}-4x+3=ax^{3}+(b-a)x^{2}+(c-b)x-c$
Ensuite, on identifie les coefficients des monômes semblables dans les deux membres de l'égalité $2x^{3}-x^{2}-4x+3=ax^{3}+(b-a)x^{2}+(c-b)x-c$
on a $\left\lbrace\begin{array}{lcl} a&=&2\\b-a&=&-1\\c-b&=&-4\\\text{et }-c&=&3 \end{array}\right.$
Par suite $\alpha=2$ ; $b=1$ et $c=-3$ donc $Q(x)=2x^{2}+x-3.$
b. Exemple 2
Soit $P(x)=3x^{3}-11x^{2}+17x-14$
1. Vérifier que $2$ est une racine de $P(x).$
2. En utilisant la méthode d'identification des coefficients, trouver $Q(x)$ tel que $P(x)=(x-2)\times Q(x)$
5. Détermination de $Q(x)$ par la méthode du tableau de Horner
a. Exemple 1
Soit $P(x)=2x^{3}-x^{2}-4x+3$
$P(1)=0$ donc $1$ est une racine de $P(x).$
Comme $1$ est une racine de $P(x)$ alors d'après le théorème précédent il existe un polynôme $Q(x)$ tel que $P(x)=(x-1)\times Q(x)$ avec $\text{deg}Q=\text{deg}P-1=2$ donc $Q(x)=ax^{2}+bx+c.$
Pour déterminer $a$, $b$ et $c$, on utilise le tableau suivant dit tableau de Horner
tableau
$2x^{3}-x^{2}-4x+3=(x-1)\left(2x^{2}+x-3\right).$
b. Exemple 2
Soit $P(x)=3x^{3}-11x^{2}+17x-14$
1. Vérifier que $2$ est une racine de $P(x).$
2. En utilisant la méthode du tableau de Horner, trouver $Q(x)$ tel que $P(x)=(x-2)\times Q(x)$
IV. Factorisation d'un polynôme de degré $n\geq 3$ et applications
1. Exemple 1
Soit $P(x)=3x^{3}-11x^{2}+17x-14$
1. Vérifier que $2$ est une racine de $P(x).$
2. Factoriser complètement $P(x).$
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'équation $P(x)=0$
4. Résoudre dans l'inéquation $P(x)\leq 0$
2. Exemple 2
Soit $P(x)=-4x^{3}-11x^{2}+43x-10.$
1. Vérifier que $2$ est racine de $P(x).$
2. Factoriser complètement $P(x).$
3. Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'équation $P(x)=0$
4. Résoudre dans $\mathbb{R}$, l'inéquation $P(x)>0$
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
jeu, 10/19/2023 - 21:14
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Moustapha.ndiaye47@education
badjisadia2203@... (non vérifié)
mar, 10/31/2023 - 03:07
Permalien
Magnifique
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