Série d'exercices sur les suites numériques 1e S

Exercice 1 Raisonnement par récurrence

Démontrer par récurrence les propriétés suivantes :

1) $1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

2) $1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}=\dfrac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}$

3) $S_{n}=1^{3}+3^{3}+5^{3}+\cdots+(2n-1)^{3}(n\in\;\mathbb{N}).\quad S_{n}=2n^{4}-n^{2}.$

4) $\forall\;n\geq 4\;,\ 2^{n}\geq 4\qquad a)\ \forall\;n\geq 4\;,\ 2^{n}\leq n !$

5) $\forall\;n\geq 5\;,\ 3^{n}>n^{3}\qquad a)\ \forall\;n\geq 7\;,\ 3^{n}<n !$

6) Pour tout entier naturel $n\;,\ 3^{2n}-2^{n}$ est divisible par 7

7) Pour tout entier naturel non nul $n\;,\ 3^{2n}+2^{6n-5}$ est divisible par 11

8) Pour tout entier naturel non nul, $3\times 5^{2n-2}+2^{3n-2}$ est divisible par 17.

9) Pour tout entier naturel $n\;,\ 5^{2n}-3^{n}$ est divisible par 22

Exercice 2

Soit $(U_{n})$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par : $u_{n}=\dfrac{3n+4}{n+3}$

1) Calculer $u_{0}\;,\ u_{1}$ et $u_{2}$

2) Montrer que la suite $(u_{n})$ est croissante. En déduire un minorant pour $u_{n}$.

3) Montrer que la suite $(u_{n})$ est majorée par 3.

Exercice 3

Soit $(u_{n})$ la suite définie sur $\mathbb{N}^{\ast}$ par $u_{n}=\dfrac{3n}{1+n+n^{2}}$

1) Calculer $u_{1}\;,\ u_{2}$ et $u_{3}$.

2) Montrer que la suite $(u_{n})$ est décroissante.

3) Montrer que la suite $(u_{n})$ est bornée.

Exercice 4

Soit $(u_{n})$ la suite définie pour $n\geq 1$ par $u_{n}=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}\cdots+\dfrac{1}{2n}$

1) Calculer $u_{1}\;,\ u_{2}\;,\ u_{3}$ et $u_{4}$

2) Déterminer le signe de $u_{n+1}-u_{n}$ et en déduire le sens de variation de la suite $(u_{n})$.

3) Soit $k$ un entier tel que $1\leq k \leq n$.

Montrer que $\dfrac{1}{n+k}\leq\dfrac{1}{n}$

En déduire un minorant pour $u_{n}$. Démontrer que la suite $(u_{n})$ est bornée.

Exercice 5

Soit $(u_{n})$ la suite définie par récurrence :
$$u_{n+1}=\sqrt{2+u_{n}}\text{ et }u_{0}=1.$$

1) Donner les valeurs exactes de $u_{1}\;,\ u_{2}$ et $u_{3}$.

En donnant des valeurs approchées avec 3 décimales.

2) Soit $f$ la fonction définie sur $[2\;;\ +\infty[$ par $f(x)=\sqrt{2+x}$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité graphique $2\;cm.$

Soit $(d)$ la droite d'équation $y=x.$ Tracer $\mathcal{C}$ et $(d)$ dans un même repère.

Représenter les termes $u_{0}\;,\ u_{1}\;,\ u_{2}$ sur l'axe des abscisses.

Conjecturer le sens de variation de $u_{n})$ ainsi qu'un minorant et un majorant de $u_{n}$

3) Montrer par récurrence que la suite est majorée par 2.

4) Vérifier que $u_{0}\leq u_{1}.$

Montrer que si $u_{n-1}\leq u_{n}$ alors $u_{n}\leq u_{n+1}$.

En déduire le sens de variation de $(u_{n})$.

Exercice 6

Soit $(u_{n})$ la suite définie par récurrence :
$$u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_{n}+\dfrac{1}{u_{n}}\right)\text{ et }u_{0}=4$$

1) Calculer les valeurs exactes de $u_{1}\;,\ u_{2}$ et $u_{3}.$

2) Montrer, par récurrence, que tous les termes sont strictement positifs.

En déduire un minorant de $u_{n}$.

3) Tracer dans un repère orthonormal la courbe $\mathcal{C}$ représentant la fonction définie sur $]0\;;\ +\infty[$ par
$$f(x)=\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$$ et la droite $(d)$ d'équation $y=x.$

Construire les termes $u_{0}\;,\ u_{1}\;,\ u_{2}$ et $u_{3}$ sur l'axe des abscisses.

Conjecturer le sens de variation de la suite.

4) Montrer que si $x>0$, alors $\dfrac{1}{2}\left(x+\dfrac{1}{x}\right)\geq 1$

Montrer que si $u_{n}\geq 1$, alors $u_{n+1}\geq 1$.

En déduire un minorant de $u_{n}$ différent de celui trouvé en 2).

5) Montrer que $$u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1-u_{n}^{2}}{u_{n}}\right)$$

Trouver le signe de $u_{n+1}-u_{n}$ et en déduire le sens de variation de la suite $(u_{n})$.

Exercice 7

Soit $(u_{n})$ une suite arithmétique de raison $r=6$ et de premier terme $u_{1}=1.$

Calculer $n$ pour que $u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}=280.$

Calculer $u_{n}$ pour la valeur trouve de $n.$

Exercice 8

Montrer que si $x^{2}\;,\ y^{2}\;,\ z^{2}$ sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique, il en est de même pour $\dfrac{x}{y+z}\;,\ \dfrac{y}{z+x}$ et $\dfrac{z}{x+y}$

Exercice 9

On considère les suites géométriques de premier terme $u_{1}\ (u_{1}\neq 0)$ telles que : $$u_{2}+u_{3}=2u_{1}$$

Calculer la raison de chacune de ces suites.

Donner l'expression de la somme des $n$

Application : $u_{1}=4\;,\ n=10.$

Exercice 10

Montrer que, si 3 nombres $a\;,\ b\;,\ c$ sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique, ils vérifient la relation :
$$(a+b+c)(a-b+c)=a^{2}+b^{2}+c^{2}$$

Application : Trouver 3 nombres en progression géométrique connaissant leur somme 57 et la somme de leurs carrés 1197.

Exercice 11

Déterminer les 3 premiers termes d'une suite géométrique décroissante, sachant que la somme de ces trois termes est égale à 7 et que le rapport du troisième terme au premier est égal à $\dfrac{1}{4}$

Calculer la somme des 10 premiers termes de cette suite.

Exercice 12

Trois nombres distincts $a\;,\ b$ et $c$ sont tels que dans l'ordre $a\;,\ b$, $c$ ils sont 3 premiers termes d'une suite arithmétique et dans l'ordre $b\;,\ a\;,\ c$ ils sont 3 premiers termes d'une suite géométrique.

1) Trouver ces trois nombres sachant que :

$a\times b\times c=27$.

On prolonge la suite géométrique, déterminer le rang du premier terme supérieur à 10 000.

2) Trouver ces trois nombres sachant que :

$a+b+c=24.$

Exercice 13

Les cinq termes $u_{1}\;,\ u_{2}\;,\ u_{3}\;,\ u_{4}\;,\ u_{5}$ d'une suite géométrique sont strictement positifs.

Soit $x$ la raison de cette suite.

On pose $u_{3}=a.$

1) Exprimer à l'aide de $a$ et $x$ les sommes :

$S=u_{1}+u_{5}$ et $s=u_{2}+u_{4}$

Montrer que $s^{2}=aS+2a^{2}$.

2) Calculer $a$ et $x$ sachant que $s=34$ et $S=\dfrac{257}{2}$

Exercice 14

1) Déterminer 3 termes consécutifs $a\;,\ b\;,\ c$ d'une suite arithmétique sachant que :
$$a+b+c=\dfrac{17}{2}\;;\qquad 5a-6b+c=-\dfrac{10}{3}$$

Quelle est la raison de cette suite ?

2) Soit $(v_{n})$ la suite géométrique de premier terme $v_{1}=\pi$ et de raison $\dfrac{5}{6}$

a) Calculer le dixième terme $v_{10}$ de cette suite.

b) Calculer $S_{n}=v_{1}+v_{2}+\cdots+v_{n}$ en fonction de $n.$

Exercice 15

Soit $(u_{n})$ une suite arithmétique croissante telle que :
$$\left\lbrace\begin{array}{lll} u_{1}+u_{2}+u_{3} &=& 9 \\ \\ u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2} &=& 35 \end{array}\right.$$

1) Calculer le premier terme $u_{0}$ et la raison $r$ de cette suite, puis exprimer le terme général $u_{n}$ en fonction de $n.$

2) Soit $(v_{n})$ la suite définie par : $v_{n}=2^{u_{n}}$

Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique pour laquelle on déterminera $v_{0}$ et la raison.

Exercice 16

on considère deux suites numériques définies par :

pour tout $n\in\;\mathbb{N}\ u_{n}=\dfrac{3^{n}-6n+4}{3}\text{ et }v_{n}=\dfrac{3^{n}+6n-4}{3}$

1) Soit $a_{n}=u_{n}-v_{n}$.

Montrer que la suite de terme général $a_{n}$ est une suite arithmétique.

Calculer $a_{0}+a_{1}+\cdots a_{10}$

2) Soit $b_{n}=u_{n}+v_{n}.$

Montrer que la suite de terme général $b_{n}$ est une suite géométrique.

Calculer $b_{0}+b_{1}+\cdots b_{10}$

3) En déduire les sommes :

$u_{0}+u_{1}+u_{10}\;\text{ et }\;v_{0}+v_{1}+\cdots v_{10}$

Exercice 17

Déterminer les progressions arithmétiques dans lesquelles le rapport entre la somme des $n$ premiers termes et la somme des $2n$ premiers termes est constant (c'est-à-dire indépendant de $n$).

Exercice 18

Déterminer une progression arithmétique sachant que la somme $Sn$ des $n$ premiers termes est $3n^{2}+4n$, pour tout $n$.

Certains termes de cette progression sont des carrés parfaits.

Donner l'expression générale de ces termes et calculer les six premiers d'entre eux.

Exercice 19

Étudier le comportement de la suite de terme général $u_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$

$1)\ u_{n}=\dfrac{5n+1}{2n+3}\;;\qquad 2)\ u_{n}=\dfrac{5n^{2}+3n+1}{n^{2}+n+1}$

$3)\ u_{n}=\dfrac{7n-1}{3n-1}\;;\qquad 4)\ u_{n}=\dfrac{-2n^{2}+n-3}{3n^{2}-n+7}$

$5)\ u_{n}=\dfrac{2n+1}{3n^{2}+2n+1}\;;\qquad 6)\ u_{n}=\dfrac{5n^{2}+3}{2n+1}$

$7)\ u_{n}=\dfrac{4n+(-1)^{n}}{3n+2}\;;\qquad 8)\ u_{n}=\dfrac{2n^{2}+(-1)^{n}.n+1}{n^{3}+1}$

$9)\ u_{n}=2n+1-\sqrt{n^{2}+n+1}\;;\qquad 10)\ u_{n}=n+3-\sqrt{n^{2}-n+1}$

$11)\ u_{n}=\sqrt{2n^{2}+n+1}-\sqrt{2n^{2}+5}\;;\qquad 12)\ u_{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n^{2}-n+1}-\sqrt{n^{2}+n+1}}$

$13)\ u_{n}=\dfrac{\sqrt{n^{2}+n}-\sqrt{n^{2}+1}}{\sqrt{n+1}}\;;\qquad 14)\ u_{n}=\dfrac{n+1}{\sqrt{n+2}}-\dfrac{n+1}{\sqrt{n+2}}$

$15)\ u_{n}=\dfrac{n-\sqrt{n^{2}+1}}{\sqrt{n^{2}+n+3}}\;;\qquad 16)\ u_{n}=\dfrac{10^{n}-1}{10^{n}+3}\;;\qquad 17)\ u_{n}=\dfrac{5^{n}+3^{n+1}}{5^{n}+2}$

Exercice 20

On considère la suite $u$ définie par $u_{0}=0\;,\ u_{1}=1\text{ et }u_{n+1}=7u_{n}+8u_{n-1}$

1) Montrer que la suite $S$ définie par $S_{n}=u_{n+1}+u_{n}$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.

Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n.$

2) On pose $V_{n}=(-1)^{n}u_{n}$ et on considère la suite $(t_{n})$ définie par $$t_{n}=V_{n+1}-V_{n}$$

Exprimer $t_{n}$ en fonction de $S_{n}$

3) Exprimer $V_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$
(on pourra calculer de deux manières la somme) $t_{0}+t_{1}+\cdots+t_{n-1}$

Déterminer $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{u_{n}}{8^{n}}$

Exercice 21

$(u_{n})$ est une suite géométrique telle que $81u_{n}=a^{4}u_{5}$

1) Déterminer en fonction de $a$ les valeurs possibles de la raison $q$ de la suite $(u_{n})$.

Donner l'intervalle $I$ des valeurs de $q$ pour lesquelles $(u_{n})$ converge.

Que dire de $(u_{n})\text{ si }a=3$ ?

2) Dans cette question, on considère que $0<a<3$ et l'on note $$S_{n}=u_{0}+\cdots+u_{n}$$

a) Exprimer $S_{n}$ en fonction de $u_{0}\;,\ a$ et $n$

b) Préciser pourquoi $(S_{n})$ converge et calculer $\lim_{n\rightarrow +\infty}S_{n}$ en fonction de $u_{0}\text{ et }a.$

c) On donne $u_{0}=243\text{ et } lim_{n\rightarrow +\infty}S_{n}=729$

Déterminer dans ce cas la raison $q$ et l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n.$

Exercice 22

Une suite $(u_{n})$ est définie par son premier terme $u_{1}$ et la relation de récurrence :
$$u_{n+1}=\dfrac{6+u_{n}}{2+u_{n}}$$

1) Montrer qu'il existe deux valeurs $a \text{ et } b$ de $u_{1}(a<b)$ pour lesquelles la suite est constante.

2) Montrer que si $u_{1}\neq a\text{ et } u_{1}\neq b$, il en est de même de $u_{n}.$

3) On suppose désormais que $u_{1}\neq a\text{ et } u_{1}\neq b.$ Soit $V_{n}$ la suite définie par :
$$V_{n}=\dfrac{u_{n}-a}{u_{n}-b}$$

Montrer que $V_{n}$ est une suite géométrique.

4) Exprimer $V_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$.

5) Calculer $\lim_{n\rightarrow +\infty}V_{n}\text{ et }\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}$

Exercice 23

Soit $(u_{n})$ la suite définie sur $\mathbb{N}^{\ast}$

par $u_{1}=-\dfrac{3}{2}\text{ et }u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\left(u_{n}+\dfrac{2}{u_{n}}\right)$

1) Montrer par récurrence que pour tout $n\;,\ u_{n}>0$

2) Montrer que pour tout entier $n$ non nul, $$u_{n+1}-\sqrt{2}=\dfrac{1}{2}\dfrac{(u_{n}-\sqrt{2})^{2}}{u_{n}}$$
En déduire que pour tout $n\in\;\mathbb{N}^{\ast}\;,\ u_{n}>\sqrt{2}$

3) Montrer que $$u_{n+1}-\sqrt{2}=\dfrac{1}{2}(u_{n}-\sqrt{2})+\dfrac{1}{u_{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$$

En déduire que pour tout $n\in\mathbb{N}^{\ast}\;,\ u_{n}-\sqrt{2}<2^{n}$

4) Calculer $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}$

Exercice 24

$a$ est un réel fixé.

$p$ est un réel fixé distinct de $0\;,\ 1$ et 2.

Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0}=0\;,\ u_{1}=a$ et par la relation de récurrence :
$$u_{n+1}=pu_{n+1}-(p-1)u_{n}$$

1) On pose $V_{n}=u_{n+1}-u_{n}$

Montrer que $(V_{n})$ est une suite géométrique et exprimer $V_{n}$ en fonction de $n.$

2) On pose $$t_{n}=u_{n+1}-u_{n+1}-(p-1)u_{n}$$

Montrer que $(t_{n})$ est une suite constante.

Calculer $t_{1}$.

Exprimer $u_{n}$ en fonction de $V_{n}$ et $t_{n}$.

Pour quelles valeurs de $p$ la suite $(u_{n})$ est-elle convergente ?