Série d'exercices sur les suites numériques 1e S

Classe: 
Première

Exercice 1 Raisonnement par récurrence

Démontrer par récurrence les propriétés suivantes :

1) 12+22+32++n2=n(n+1)(2n+1)6

2) 13+23+33++n3=n2(n+1)24

3) Sn=13+33+53++(2n1)3(nN).Sn=2n4n2.

4) n4, 2n4a) n4, 2nn!

5) n5, 3n>n3a) n7, 3n<n!

6) Pour tout entier naturel n, 32n2n est divisible par 7

7) Pour tout entier naturel non nul n, 32n+26n5 est divisible par 11

8) Pour tout entier naturel non nul, 3×52n2+23n2 est divisible par 17.

9) Pour tout entier naturel n, 52n3n est divisible par 22

Exercice 2

Soit (Un) la suite définie sur N par : un=3n+4n+3

1) Calculer u0, u1 et u2

2) Montrer que la suite (un) est croissante. En déduire un minorant pour un.

3) Montrer que la suite (un) est majorée par 3.

Exercice 3

Soit (un) la suite définie sur N par un=3n1+n+n2

1) Calculer u1, u2 et u3.

2) Montrer que la suite (un) est décroissante.

3) Montrer que la suite (un) est bornée.

Exercice 4

Soit (un) la suite définie pour n1 par un=1n+1+1n+2+12n

1) Calculer u1, u2, u3 et u4

2) Déterminer le signe de un+1un et en déduire le sens de variation de la suite (un).

3) Soit k un entier tel que 1kn.

Montrer que 1n+k1n

En déduire un minorant pour un. Démontrer que la suite (un) est bornée.

Exercice 5

Soit (un) la suite définie par récurrence :
un+1=2+un et u0=1.

1) Donner les valeurs exactes de u1, u2 et u3.

En donnant des valeurs approchées avec 3 décimales.

2) Soit f la fonction définie sur [2; +[ par f(x)=2+x et C sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité graphique 2cm.

Soit (d) la droite d'équation y=x. Tracer C et (d) dans un même repère.

Représenter les termes u0, u1, u2 sur l'axe des abscisses.

Conjecturer le sens de variation de un) ainsi qu'un minorant et un majorant de un

3) Montrer par récurrence que la suite est majorée par 2.

4) Vérifier que u0u1.

Montrer que si un1un alors unun+1.

En déduire le sens de variation de (un).

Exercice 6

Soit (un) la suite définie par récurrence :
un+1=12(un+1un) et u0=4

1) Calculer les valeurs exactes de u1, u2 et u3.

2) Montrer, par récurrence, que tous les termes sont strictement positifs.

En déduire un minorant de un.

3) Tracer dans un repère orthonormal la courbe C représentant la fonction définie sur ]0; +[ par
f(x)=12(x+1x) et la droite (d) d'équation y=x.

Construire les termes u0, u1, u2 et u3 sur l'axe des abscisses.

Conjecturer le sens de variation de la suite.

4) Montrer que si x>0, alors 12(x+1x)1

Montrer que si un1, alors un+11.

En déduire un minorant de un différent de celui trouvé en 2).

5) Montrer que un+1un=12(1u2nun)

Trouver le signe de un+1un et en déduire le sens de variation de la suite (un).

Exercice 7

Soit (un) une suite arithmétique de raison r=6 et de premier terme u1=1.

Calculer n pour que u1+u2++un=280.

Calculer un pour la valeur trouve de n.

Exercice 8

Montrer que si x2, y2, z2 sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique, il en est de même pour xy+z, yz+x et zx+y

Exercice 9

On considère les suites géométriques de premier terme u1 (u10) telles que : u2+u3=2u1

Calculer la raison de chacune de ces suites.

Donner l'expression de la somme des n

Application : u1=4, n=10.

Exercice 10

Montrer que, si 3 nombres a, b, c sont trois termes consécutifs d'une suite géométrique, ils vérifient la relation :
(a+b+c)(ab+c)=a2+b2+c2

Application : Trouver 3 nombres en progression géométrique connaissant leur somme 57 et la somme de leurs carrés 1197.

Exercice 11

Déterminer les 3 premiers termes d'une suite géométrique décroissante, sachant que la somme de ces trois termes est égale à 7 et que le rapport du troisième terme au premier est égal à 14

Calculer la somme des 10 premiers termes de cette suite.

Exercice 12

Trois nombres distincts a, b et c sont tels que dans l'ordre a, b, c ils sont 3 premiers termes d'une suite arithmétique et dans l'ordre b, a, c ils sont 3 premiers termes d'une suite géométrique.

1) Trouver ces trois nombres sachant que :

a×b×c=27.

On prolonge la suite géométrique, déterminer le rang du premier terme supérieur à 10 000.

2) Trouver ces trois nombres sachant que :

a+b+c=24.

Exercice 13

Les cinq termes u1, u2, u3, u4, u5 d'une suite géométrique sont strictement positifs.

Soit x la raison de cette suite.

On pose u3=a.

1) Exprimer à l'aide de a et x les sommes :

S=u1+u5 et s=u2+u4

Montrer que s2=aS+2a2.

2) Calculer a et x sachant que s=34 et S=2572

Exercice 14

1) Déterminer 3 termes consécutifs a, b, c d'une suite arithmétique sachant que :
a+b+c=172;5a6b+c=103

Quelle est la raison de cette suite ?

2) Soit (vn) la suite géométrique de premier terme v1=π et de raison 56

a) Calculer le dixième terme v10 de cette suite.

b) Calculer Sn=v1+v2++vn en fonction de n.

Exercice 15

Soit (un) une suite arithmétique croissante telle que :
{u1+u2+u3=9u21+u22+u23=35

1) Calculer le premier terme u0 et la raison r de cette suite, puis exprimer le terme général un en fonction de n.

2) Soit (vn) la suite définie par : vn=2un

Montrer que (vn) est une suite géométrique pour laquelle on déterminera v0 et la raison.

Exercice 16

on considère deux suites numériques définies par :

pour tout nN un=3n6n+43 et vn=3n+6n43

1) Soit an=unvn.

Montrer que la suite de terme général an est une suite arithmétique.

Calculer a0+a1+a10

2) Soit bn=un+vn.

Montrer que la suite de terme général bn est une suite géométrique.

Calculer b0+b1+b10

3) En déduire les sommes :

u0+u1+u10 et v0+v1+v10

Exercice 17

Déterminer les progressions arithmétiques dans lesquelles le rapport entre la somme des n premiers termes et la somme des 2n premiers termes est constant (c'est-à-dire indépendant de n).

Exercice 18

Déterminer une progression arithmétique sachant que la somme Sn des n premiers termes est 3n2+4n, pour tout n.

Certains termes de cette progression sont des carrés parfaits.

Donner l'expression générale de ces termes et calculer les six premiers d'entre eux.

Exercice 19

Étudier le comportement de la suite de terme général un quand n tend vers +

1) un=5n+12n+3;2) un=5n2+3n+1n2+n+1

3) un=7n13n1;4) un=2n2+n33n2n+7

5) un=2n+13n2+2n+1;6) un=5n2+32n+1

7) un=4n+(1)n3n+2;8) un=2n2+(1)n.n+1n3+1

9) un=2n+1n2+n+1;10) un=n+3n2n+1

11) un=2n2+n+12n2+5;12) un=1n2n+1n2+n+1

13) un=n2+nn2+1n+1;14) un=n+1n+2n+1n+2

15) un=nn2+1n2+n+3;16) un=10n110n+3;17) un=5n+3n+15n+2

Exercice 20

On considère la suite u définie par u0=0, u1=1 et un+1=7un+8un1

1) Montrer que la suite S définie par Sn=un+1+un est une suite géométrique dont on précisera la raison.

Exprimer Sn en fonction de n.

2) On pose Vn=(1)nun et on considère la suite (tn) définie par tn=Vn+1Vn

Exprimer tn en fonction de Sn

3) Exprimer Vn puis un en fonction de n
(on pourra calculer de deux manières la somme) t0+t1++tn1

Déterminer limn+un8n

Exercice 21

(un) est une suite géométrique telle que 81un=a4u5

1) Déterminer en fonction de a les valeurs possibles de la raison q de la suite (un).

Donner l'intervalle I des valeurs de q pour lesquelles (un) converge.

Que dire de (un) si a=3 ?

2) Dans cette question, on considère que 0<a<3 et l'on note Sn=u0++un

a) Exprimer Sn en fonction de u0, a et n

b) Préciser pourquoi (Sn) converge et calculer limn+Sn en fonction de u0 et a.

c) On donne u0=243 et limn+Sn=729

Déterminer dans ce cas la raison q et l'expression de un en fonction de n.


Exercice 22

Une suite (un) est définie par son premier terme u1 et la relation de récurrence :
un+1=6+un2+un

1) Montrer qu'il existe deux valeurs a et b de u1(a<b) pour lesquelles la suite est constante.

2) Montrer que si u1a et u1b, il en est de même de un.

3) On suppose désormais que u1a et u1b. Soit Vn la suite définie par :
Vn=unaunb

Montrer que Vn est une suite géométrique.

4) Exprimer Vn puis un en fonction de n.

5) Calculer limn+Vn et limn+un

Exercice 23

Soit (un) la suite définie sur N

par u1=32 et un+1=12(un+2un)

1) Montrer par récurrence que pour tout n, un>0

2) Montrer que pour tout entier n non nul, un+12=12(un2)2un
En déduire que pour tout nN, un>2

3) Montrer que un+12=12(un2)+1un12

En déduire que pour tout nN, un2<2n

4) Calculer limn+un

Exercice 24

a est un réel fixé.

p est un réel fixé distinct de 0, 1 et 2.

Soit (un) la suite définie par u0=0, u1=a et par la relation de récurrence :
un+1=pun+1(p1)un

1) On pose Vn=un+1un

Montrer que (Vn) est une suite géométrique et exprimer Vn en fonction de n.

2) On pose tn=un+1un+1(p1)un

Montrer que (tn) est une suite constante.

Calculer t1.

Exprimer un en fonction de Vn et tn.

Pour quelles valeurs de p la suite (un) est-elle convergente ?

Commentaires

Je veux le corrigé de tout ces exos svp !!!

Je suis un élève de 1erSje voulais le corrigé de la série d'exercices sur les suites numériques

Je veux des corrigés pour améliorer mes compétences

Je veux être fort dans tous les martiere

Ajouter un commentaire