Théorème de Thalès - 3e

Classe: 
Troisième

I. Activité

Soient (Δ) et (Δ) deux droites sécantes en O, A, B et C trois points de (Δ) et A, B et C trois points de (Δ) tels que (AA)(BB)(CC).
 
Soient I, J et K les projetés orthogonaux respectifs du point O sur les droites  (AA), (BB) et (CC).
 
a) Démontrer que ^OAI=^OBJ=^OCK et ^OAI=^OBJ=^OCK
 
b) Calculer sin^OAI, sin^OBJ, sin^OAI et  sin^OBJ
 
Démontrer que OAOB=OAOB
 
En déduire que OAOC=OAOC et OBOC=OBOC
 
c) Démontrer que ABAC=ABAC; ABBC=ABBC; BCAC=BCAC

 

 
a) Démontrons que ^OAI=^OBJ=^OCK et ^OAI=^OBJ=^OCK
 
On a : (AA)(BB); (Δ)(AA)=A et (Δ)(BB)=B
 
Alors, ^OAA=^OBB
 
Or, ^OAA=^OAI et ^OBB=^OBJ
 
Donc, ^OAI=^OBJ
 
De même on aura : ^OAI=^OCK
 
D'où, ^OAI=^OBJ=^OCK
 
De manière alignée on aura : ^OAI=^OBJ=^OCK
 
b) On a : sin^OAI=OIOA, sin^OBJ=OJOB, sin^OAI=OIOA et  sin^OBJ=OJOB
 
Démontrons que OAOB=OAOB
 
On a : sin^OAI=OIOA, sin^OBJ=OJOB et ^OAI=^OBJ
 
Alors, OIOA=OJOB
 
Donc, OIOJ=OAOB
 
De même on a : sin^OAI=OIOA, sin^OBJ=OJOB et ^OAI=^OBJ
 
Alors, OIOA=OJOB
 
Donc, OIOJ=OAOB
 
D'où, OAOB=OAOB
 
Déduisons que OAOC=OAOC et OBOC=OBOC
 
Par analogie à la démonstration de OAOB=OAOB
 
on aura : OAOC=OAOC et OBOC=OBOC
 
c) Démontrons que ABAC=ABAC
 
On a : sin^ABJ=IJAB, sin^ACK=IKAC et ^ABJ=^ACK
 
Alors, IJAB=IKAC
 
Donc, IJIK=ABAC
 
De même on a : sin^ABJ=IJAB, sin^ACK=IKAC et ^ABJ=^ACK
 
Alors, IJAB=IKAC
 
Donc, IJIK=ABAC
 
D'où, ABAC=ABAC
 
Démontrons que ABBC=ABBC
 
On a : sin^ABJ=IJAB, sin^BCK=IKBC et ^ABJ=^BCK
 
Alors, IJAB=IKBC
 
Donc, IJIK=ABBC
 
De même on a : sin^ABJ=IJAB, sin^BCK=IKBC et ^ABJ=^BCK
 
Alors, IJAB=IKBC
 
Donc, IJIK=ABBC
 
D'où, ABBC=ABBC
 
Démontrons que BCAC=BCAC
 
On a : sin^BCK=JKBC, sin^ACK=IKAC et ^BCK=^ACK
 
Alors, JKBC=IKAC
 
Donc, JKIK=BCAC
 
De même on a : sin^BCK=IJBC, sin^ACK=IKAC et ^BCK=^ACK
 
Alors, IJBC=IKAC
 
Donc, IJIK=BCAC
 
D'où, BCAC=BCAC

II. Théorème de Thalès

II.1 Énoncé du théorème

Si on coupe deux droites sécantes par trois droites parallèles alors on obtient sur les deux droites sécantes des segments de longueurs correspondants proportionnelles. 
 
Traduction mathématique :
 
Si {A, B et C  alignés  ABAC=ABAC(1)A, B et C  alignés , alors ABBC=ABBC(2)(AA)(BB)(CC)BCAC=BCAC(3)  

 

 

II.2 Application du théorème de Thalès aux triangles

II.2.1 Activité

Soient AMN et ABC deux triangles obtenus en coupant deux droites sécantes en A par deux droites parallèles (MN) et (BC).
 
Soit N le projeté de N sur la droite (BC) parallèlement à la droite (AB).
 
Démontrons que AMAB=ANAC=MNBC

 

 
On a : les droites sécantes (AB) et (AC) coupées par les parallèles (MN) et (BC), alors AMN et ABC sont deux triangles en position de Thalès.
 
D'après le théorème de Thalès on aura : AMAB=ANAC
 
De même on a : les droites sécantes (CA) et (CB) coupées par les parallèles (NN) et (AB), alors CNN et CAB sont deux triangles en situation de Thalès.
 
D'après le théorème de Thalès on aura : ANAC=BNBC
 
Or, on a BMNN un parallélogramme, alors MN=BN
 
Donc, ANAC=MNBC
 
D'où, AMAB=ANAC=MNBC

II.2.2 Énoncé du théorème 

Si deux triangles sont en position de Thalès alors les longueurs des cotés correspondants sont proportionnelles.
 
Si {{M[AB]N[AC]ou{A[BM]A[CN] AMAB=ANAC=MNBC (1) alors AMMB=ANNC(2)(MN)(BC)MBAB=NCAC(3) 

II.2.3 Propriétés : agrandissement et réduction

Si deux triangles sont en position de Thalès alors l'un est un agrandissement (ou réduction) de l'autre.
 
Si le coefficient d'agrandissement (ou de réduction) est k alors le coefficient d'agrandissement des aires est k2.

 

 
On a ABC un agrandissement de AMN.
 
Si AB=k×AM alors A(ABC)=k2A(AMN)

III. Réciproque du théorème de Thalès

III.1 Activité 

Soient A, M et B trois points alignés d'une part, A, N et C trois points alignés d'autre part, dans le même ordre tels que AMAB=ANAC.
 
Démontrons que (MN)(BC)

 

 
Soit N le projeté du point M sur [AC] parallèlement à (BC).
 
On aura AMN et ABC deux triangles en position de Thalès.
 
D'après le théorème de Thalès on aura AMAB=ANAC.
 
Or, on a AMAB=ANAC, alors AN=AN
 
Donc, N=N
 
D'où, (MN)(BC)

III.2 Énoncé de la réciproque 

Si A, M et B trois points alignés d'une part, A, N et C trois points alignés d'autre part, dans le même ordre tels que AMAB=ANAC( ou AMMB=ANNC ou MBAB=NCAC) alors, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

IV. Application au construction

Soit [AB] un segment de longueur 5cm, M un point de ce segment, N un point de la demi-droite [AB) tels que AM=23AB et AN=53AB.
 
Plaçons les points M et N

 

 

Auteur: 
Abdoulaye Ba

Commentaires

Salam vos cours sont bien fat mais les figures ne sont pas visibles.Améliorer ou par quel application peut on les visualiser?

Je vous remercie de votre commentaire. On va en prendre compte pour mieux améliorer. Pour les figures, on va regarder pour améliorer.
Sur quel support vous vous connectez au site? Smartphone ou ordinateur?

Un grand merci pour le travail qui était fourni

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Sont bonnes

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je n'ai pas très bien compris

Extraordinaire

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