Théorème de Thalès - 3e
Classe:
Troisième
I. Activité
Soient (Δ) et (Δ′) deux droites sécantes en O, A, B et C trois points de (Δ) et A′, B′ et C′ trois points de (Δ′) tels que (AA′)∥(BB′)∥(CC′).
Soient I, J et K les projetés orthogonaux respectifs du point O sur les droites (AA′), (BB′) et (CC′).
a) Démontrer que ^OAI=^OBJ=^OCK et ^OA′I=^OB′J=^OC′K
b) Calculer sin^OAI, sin^OBJ, sin^OA′I et sin^OB′J
Démontrer que OAOB=OA′OB′
En déduire que OAOC=OA′OC′ et OBOC=OB′OC′
c) Démontrer que ABAC=A′B′A′C′; ABBC=A′B′B′C′; BCAC=B′C′A′C′
a) Démontrons que ^OAI=^OBJ=^OCK et ^OA′I=^OB′J=^OC′K
On a : (AA′)∥(BB′); (Δ)∩(AA′)=A et (Δ)∩(BB′)=B
Alors, ^OAA′=^OBB′
Or, ^OAA′=^OAI et ^OBB′=^OBJ
Donc, ^OAI=^OBJ
De même on aura : ^OAI=^OCK
D'où, ^OAI=^OBJ=^OCK
De manière alignée on aura : ^OA′I=^OB′J=^OC′K
b) On a : sin^OAI=OIOA, sin^OBJ=OJOB, sin^OA′I=OIOA′ et sin^OB′J=OJOB′
Démontrons que OAOB=OA′OB′
On a : sin^OAI=OIOA, sin^OBJ=OJOB et ^OAI=^OBJ
Alors, OIOA=OJOB
Donc, OIOJ=OAOB
De même on a : sin^OA′I=OIOA′, sin^OB′J=OJOB′ et ^OA′I=^OB′J
Alors, OIOA′=OJOB′
Donc, OIOJ=OA′OB′
D'où, OAOB=OA′OB′
Déduisons que OAOC=OA′OC′ et OBOC=OB′OC′
Par analogie à la démonstration de OAOB=OA′OB′
on aura : OAOC=OA′OC′ et OBOC=OB′OC′
c) Démontrons que ABAC=A′B′A′C′
On a : sin^ABJ=IJAB, sin^ACK=IKAC et ^ABJ=^ACK
Alors, IJAB=IKAC
Donc, IJIK=ABAC
De même on a : sin^A′B′J=IJA′B′, sin^A′C′K=IKA′C′ et ^A′B′J=^A′C′K
Alors, IJA′B′=IKA′C′
Donc, IJIK=A′B′A′C′
D'où, ABAC=A′B′A′C′
Démontrons que ABBC=A′B′B′C′
On a : sin^ABJ=IJAB, sin^BCK=IKBC et ^ABJ=^BCK
Alors, IJAB=IKBC
Donc, IJIK=ABBC
De même on a : sin^A′B′J=IJA′B′, sin^B′C′K=IKB′C′ et ^A′B′J=^B′C′K
Alors, IJA′B′=IKB′C′
Donc, IJIK=A′B′B′C′
D'où, ABBC=A′B′B′C′
Démontrons que BCAC=B′C′A′C′
On a : sin^BCK=JKBC, sin^ACK=IKAC et ^BCK=^ACK
Alors, JKBC=IKAC
Donc, JKIK=BCAC
De même on a : sin^B′C′K=IJB′C′, sin^A′C′K=IKA′C′ et ^B′C′K=^A′C′K
Alors, IJB′C′=IKA′C′
Donc, IJIK=B′C′A′C′
D'où, BCAC=B′C′A′C′
II. Théorème de Thalès
II.1 Énoncé du théorème
Si on coupe deux droites sécantes par trois droites parallèles alors on obtient sur les deux droites sécantes des segments de longueurs correspondants proportionnelles.
Traduction mathématique :
Si {A, B et C alignés ABAC=A′B′A′C′(1)A′, B′ et C′ alignés , alors ABBC=A′B′B′C′(2)(AA′)∥(BB′)∥(CC′)BCAC=B′C′A′C′(3)
II.2 Application du théorème de Thalès aux triangles
II.2.1 Activité
Soient AMN et ABC deux triangles obtenus en coupant deux droites sécantes en A par deux droites parallèles (MN) et (BC).
Soit N′ le projeté de N sur la droite (BC) parallèlement à la droite (AB).
Démontrons que AMAB=ANAC=MNBC
On a : les droites sécantes (AB) et (AC) coupées par les parallèles (MN) et (BC), alors AMN et ABC sont deux triangles en position de Thalès.
D'après le théorème de Thalès on aura : AMAB=ANAC
De même on a : les droites sécantes (CA) et (CB) coupées par les parallèles (NN′) et (AB), alors CNN′ et CAB sont deux triangles en situation de Thalès.
D'après le théorème de Thalès on aura : ANAC=BN′BC
Or, on a BMNN′ un parallélogramme, alors MN=BN′
Donc, ANAC=MNBC
D'où, AMAB=ANAC=MNBC
II.2.2 Énoncé du théorème
Si deux triangles sont en position de Thalès alors les longueurs des cotés correspondants sont proportionnelles.
Si {{M∈[AB]N∈[AC]ou{A∈[BM]A∈[CN] AMAB=ANAC=MNBC (1) alors AMMB=ANNC(2)(MN)∥(BC)MBAB=NCAC(3)
II.2.3 Propriétés : agrandissement et réduction
Si deux triangles sont en position de Thalès alors l'un est un agrandissement (ou réduction) de l'autre.
Si le coefficient d'agrandissement (ou de réduction) est k alors le coefficient d'agrandissement des aires est k2.
On a ABC un agrandissement de AMN.
Si AB=k×AM alors A(ABC)=k2A(AMN)
III. Réciproque du théorème de Thalès
III.1 Activité
Soient A, M et B trois points alignés d'une part, A, N et C trois points alignés d'autre part, dans le même ordre tels que AMAB=ANAC.
Démontrons que (MN)∥(BC)
Soit N′ le projeté du point M sur [AC] parallèlement à (BC).
On aura AMN et ABC deux triangles en position de Thalès.
D'après le théorème de Thalès on aura AMAB=AN′AC.
Or, on a AMAB=ANAC, alors AN′=AN
Donc, N=N′
D'où, (MN)∥(BC)
III.2 Énoncé de la réciproque
Si A, M et B trois points alignés d'une part, A, N et C trois points alignés d'autre part, dans le même ordre tels que AMAB=ANAC( ou AMMB=ANNC ou MBAB=NCAC) alors, les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
IV. Application au construction
Soit [AB] un segment de longueur 5cm, M un point de ce segment, N un point de la demi-droite [AB) tels que AM=23AB et AN=53AB.
Plaçons les points M et N
Auteur:
Abdoulaye Ba
Commentaires
Abdoulaye Ba (non vérifié)
sam, 09/29/2018 - 09:45
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Contribution
mndiaye
dim, 09/30/2018 - 00:03
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Je vous remercie de votre
Je vous remercie de votre commentaire. On va en prendre compte pour mieux améliorer. Pour les figures, on va regarder pour améliorer.
Sur quel support vous vous connectez au site? Smartphone ou ordinateur?
Sall (non vérifié)
lun, 11/05/2018 - 00:43
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Un grand merci pour le
Diatta (non vérifié)
sam, 01/30/2021 - 02:10
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Comment télécharger les cours
Diatta (non vérifié)
sam, 01/30/2021 - 02:14
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Sont bonnes
Diatta (non vérifié)
sam, 01/30/2021 - 02:12
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Télécharger gratuitement
Anonyme (non vérifié)
ven, 11/24/2023 - 20:35
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je n'ai pas très bien compris
Fatima solly (non vérifié)
ven, 07/19/2024 - 23:23
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Extraordinaire
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