Bac Maths D, Mali 2015

Exercice 1

Un paysan possède un champ où il plante des arbres fruitiers.

Pour mieux les entretenir il décide de vendre chaque année les 5% des pieds existants et planter 3 000 nouveaux.

Il démarre avec 50 000 pieds en 2015.

En désignant par Xn le nombre de pieds d'arbres se trouvant dans le champ au cours de l'année (2015+n).  

1. a) Détermine le nombre d'arbres qu'il aura en 2016 et en 2017.  

b) Exprime Xn+1 en fonction de Xn.

2. On considère la suite (un) définie par un=60000Xn.  

a) Montre que la suite (un) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.  

b) Exprime un en fonction de n puis en déduire Xn en fonction de n.  

c) Ce paysan aura combien d'arbres fruitiers en 20 ans ?  

d) Calcule la limite de la suite Xn puis conclus.

Exercice 2

Soit f une fonction numérique à variable réelle x satisfaisant aux conditions suivantes :

 f est définie et dérivable sur R.  

 f(1)=f(3)=0 ;

f(2)=1 ;

f(0)=1 ;

f(0)=f(2)=0.
   
 x] ; 0[]2 ; +[, f(x)>0 ;

et x]0 ; 2[, f(x)<0.

 limxf(x)=0+ ;     

limx+[f(x)x+2]=0  

1. Dresse le tableau de variation de f.  

2. (C) représentant la courbe de f, précise les équations des asymptotes à (C).  

3. Précise le signe de (x) suivant les valeurs de x.  

4. Donne le domaine de définition des fonctions définies par : [(x)] et 1f(x)ln désigne le logarithme népérien.  

I. Soient les nombres complexes Z1=1+i32 et Z2=3+i.  

1. Écris Z1 ; Z2 et Z2Z1 sous forme trigonométrique.  

2. Montre qu'il existe deux suites géométriques (u) et (v) telles que u2=v2=Z1 et u4=v4=Z2 dont on déterminera les premiers termes u0 et v0 ainsi que la raison de chacune d'elle.

Exercice 3 

Soit la fonction numérique f à variable réelle x définie par : x+2(1+lnx)x.

1. a) Détermine l'ensemble Df de définition de la fonction f et les limites aux bornes de Df.      

b) On considère la fonction h définie sur  ]0 ; +[ par h(x)=x22lnx.        

  Étudie les variations de h sur ]0 ; +[.        

  En déduis le signe de h(x) sur ]0 ; +[.  

c) Étudie les variations de f puis dresse son tableau de variation.  

d) Prouve que la droite Δ d'équation y=x est une asymptote à la courbe (C) de f dans le plan muni d'un repère orthonormé (O ; i, j).

2. a) Tracer la courbe (C) de f et ses asymptotes dans le même repère.  

b) On désigne par (K) l'aire exprimée en unité d'aire de la partie du plan limitée par (C), Δ et les droites d'équations x=1  et x=k.

Calcule (k).  

c) pour quelle valeur de k a-t-on A(k)=8 ?
 

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