Bac Maths D, Mali 2015

Exercice 1

Un paysan possède un champ où il plante des arbres fruitiers.

Pour mieux les entretenir il décide de vendre chaque année les 5% des pieds existants et planter 3 000 nouveaux.

Il démarre avec 50 000 pieds en 2015.

En désignant par Xn le nombre de pieds d'arbres se trouvant dans le champ au cours de l'année (2015+n).  

1. a) Détermine le nombre d'arbres qu'il aura en 2016 et en 2017.  

b) Exprime Xn+1 en fonction de Xn.

2. On considère la suite (un) définie par un=60000Xn.  

a) Montre que la suite (un) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.  

b) Exprime un en fonction de n puis en déduire Xn en fonction de n.  

c) Ce paysan aura combien d'arbres fruitiers en 20 ans ?  

d) Calcule la limite de la suite Xn puis conclus.

Exercice 2

Soit f une fonction numérique à variable réelle x satisfaisant aux conditions suivantes :

 f est définie et dérivable sur R.  

 f(1)=f(3)=0 ;

f(2)=1 ;

f(0)=1 ;

f(0)=f(2)=0.
   
 x] ; 0[]2 ; +[, f(x)>0 ;

et x]0 ; 2[, f(x)<0.

 lim ;     

\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-x+2]=0^{−}  

1. Dresse le tableau de variation de f.  

2. (\mathcal{C}) représentant la courbe de f, précise les équations des asymptotes à (\mathcal{C}).  

3. Précise le signe de (x) suivant les valeurs de x.  

4. Donne le domaine de définition des fonctions définies par : [(x)] et \dfrac{1}{f(x)}\ln désigne le logarithme népérien.  

I. Soient les nombres complexes Z_{1}=\dfrac{1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{2} et Z_{2}=-\sqrt{3}+\mathrm{i}.  

1. Écris Z_{1} ; Z_{2} et \dfrac{Z_{2}}{Z_{1}} sous forme trigonométrique.  

2. Montre qu'il existe deux suites géométriques (u) et (v) telles que u_{2}=v_{2}=Z_{1} et u_{4}=v_{4}=Z_{2} dont on déterminera les premiers termes u_{0} et v_{0} ainsi que la raison de chacune d'elle.

Exercice 3 

Soit la fonction numérique f à variable réelle x définie par : x+\dfrac{2(1+\ln x)}{x}.

1. a) Détermine l'ensemble \mathcal{D_{f}} de définition de la fonction f et les limites aux bornes de \mathcal{D_{f}}.      

b) On considère la fonction h définie sur  ]0\ ;\ +\infty[ par h(x)=x^{2}-2\ln x.        

\bullet\ Étudie les variations de h sur ]0\ ;\ +\infty[.        

\bullet\ En déduis le signe de h(x) sur ]0\ ;\ +\infty[.  

c) Étudie les variations de f puis dresse son tableau de variation.  

d) Prouve que la droite \Delta d'équation y=x est une asymptote à la courbe (\mathcal{C}) de f dans le plan muni d'un repère orthonormé (O\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).

2. a) Tracer la courbe (\mathcal{C}) de f et ses asymptotes dans le même repère.  

b) On désigne par (K) l'aire exprimée en unité d'aire de la partie du plan limitée par (\mathcal{C}), \Delta et les droites d'équations x=1  et x=k.

Calcule (k).  

c) pour quelle valeur de k a-t-on \mathcal{A}(k)=8 ?
 

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