Solution des exercices : Inéquation et système d'inéquations du premier degré à une inconnue - 4e
Classe:
Quatrième
Exercice 1
Dans chacun des cas suivants, représentons graphiquement puis écrivons l'ensemble des solutions des inéquations suivantes.
Pour cet exercice, les parties hachurées constituent l'ensemble des solutions.
a) x>−2
Donc, on doit représenter sur un axe l'ensemble des nombres strictement supérieurs à −2.
Ainsi, −2 ne fera pas partie de la solution.
S=]−2; +∞[
b) x<+3
On doit alors représenter sur un axe l'ensemble des nombres strictement inférieurs à +3.
Donc, +3 ne fera pas partie de la solution.
S=]−∞; +3[
c) x≥−4
Pour cela, on va représenter sur un axe l'ensemble des nombres supérieurs ou égaux à −4.
Ce qui signifie que, −4 fera partie de la solution.
S=[−4; +∞[
d) x>0
On doit alors représenter sur un axe l'ensemble des nombres strictement positifs.
S=]0; +∞[
e) x≤6
Pour cela, On représente sur un axe l'ensemble des nombres inférieurs ou égaux à 6
Donc, 6 fera partie de la solution.
S=]−∞; 6]
f) x≥0
C'est l'ensemble des nombres positifs ou nuls.
S=[0; +∞[
g) x≤−23
On doit alors représenter sur un axe l'ensemble des nombres inférieurs ou égaux à −23
Ce qui signifie que −23 fera partie de la solution.
S=]−∞; −23]
k) x<−53
C'est l'ensemble des nombres strictement inférieurs à −53.
Ainsi, −53 ne fait pas partie de la solution.
S=]−∞; −53[
l) x>173
On représente alors, sur un axe l'ensemble des nombres strictement supérieurs à 173
Ce qui signifie que 173 ne fera pas partie de la solution.
S=]173; +∞[
m) x≥−45
C'est la représentation de l'ensemble des nombres supérieurs ou égaux à −45.
Donc, −45 fait partie de la solution.
S=[−45; +∞[
o) x≥197
On doit alors représenter sur un axe l'ensemble des nombres inférieurs ou égaux à 197
Ce qui signifie que 197 fera partie de la solution.
S=[197; +∞[
p) x>−1036
Pour cela, on représente sur un axe l'ensemble des nombres strictement supérieurs à −1036
Ainsi, −1036 ne fera pas partie de la solution.
S=]−1036; +∞[
Exercice 5
On considère les deux cercles ζ1(A; 2.3cm) et ζ2(B; 5.4cm) tel que AB=x+2.
1) Donner toutes les valeurs entières possibles de x pour que les cercles ζ1 et ζ2 soient sécants.
Les deux cercles sont sécants si, et seulement si, |5.4−2.3|<AB<5.4+2.3
En remplaçant AB par x+2, on obtient :
ζ1 et ζ2 sont sécants si, et seulement si, |3.1|<x+2<7.7
Ce qui peut encore s'écrire :
3.1<x+2 et x+2<7.7
En résolvant ces inéquations, on obtient :
3.1−2<x et x<7.7−2
Ce qui donne, x>1.1 et x<5.7
Donc, pour que les cercles ζ1 et ζ2 soient sécants, il faut que x prenne des valeurs supérieures à 1.1 et inférieures à 5.7
Or, les valeurs entières supérieures à 1.1 et inférieures à 5.7 sont : 2; 3; 4 et 5
Par conséquent, les valeurs entières possibles de x pour que les cercles ζ1 et ζ2 soient sécants sont données par :
2; 3; 4; 5
2) Donnons la valeur de x pour que les cercles ζ1 et ζ2 soient tangents extérieurement.
Les cercles ζ1 et ζ2 sont tangents extérieurement si, et seulement si, AB=2.3+5.4
C'est à dire ; x+2=7.7
En résolvant cette équation, on obtient :
x+2=7.7⇔x=7.7−2⇔x=5.7
Ainsi, les cercles ζ1 et ζ2 soient tangents extérieurement si x=5.7
3) Donnons toutes les valeurs de x pour que les cercles ζ1 et ζ2 soient disjoints.
En effet, les cercles ζ1 et ζ2 soient disjoints signifie qu'ils sont soit disjoints extérieurement, soit disjoints intérieurement.
− Les cercles ζ1 et ζ2 sont disjoints extérieurement si, et seulement si, AB>2.3+5.4
Donc, en remplaçant AB par x+2, on obtient : x+2>7.7
Résolvons l'inéquation obtenue :
x+2>7.7⇔x>7.7−2⇔x>5.7
Donc, les valeurs de x pour lesquelles ζ1 et ζ2 soient disjoints extérieurement sont données par :
S1=]5.7; +∞[
− Les cercles ζ1 et ζ2 sont disjoints intérieurement si, et seulement si, AB<|5.4−2.3|
Ce qui donne : x+2<3.1
Résolvons cette inéquation :
x+2<3.1⇔x<3.1−2⇔x<1.1
Donc, les valeurs de x pour lesquelles ζ1 et ζ2 soient disjoints intérieurement sont données par :
S2=[0; 1.1[
Par suite, l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles ζ1 et ζ2 soient disjoints sont donné par :
S=S2∪S1=[0; 1.1[∪]5.7; +∞[
Exercice 6
Dans chacun des cas suivants, représentons graphiquement puis écrivons l'ensemble des solutions des systèmes d'équations suivants.
Dans cet exercice, les parties non hachurées sont représentent les solutions du système.
1) {x≥−4x≤3
Sur une même droite graduée on représente les solutions de chaque inéquation.
On obtient alors :
S=[−4; 3]
En effet, soit S1 l'ensemble des solutions de la première inéquation et S2 celui de la deuxième inéquation.
On a alors : S1=[−4; +∞[ et S2=]−∞; 3]
Par suite, l'ensemble des solutions du système est donné par :
S=S1∩S2=[−4; 3]
2) {x<2x≥3
En représentant graphiquement les solutions de chaque inéquation sur une même droite graduée, on obtient :
S=∅
On remarque qu'il n'existe pas de parties non hachurée.
Par conséquent, l'ensemble des solutions de ce système est l'ensemble vide ; noté :
S=∅
3) {x≤−4x≤−3
Représentons graphiquement les solutions de chaque inéquation du système sur une même droite graduée.
On obtient alors :
S=]−∞; −4]
En effet, soit S1 l'ensemble des solutions de la première inéquation et S2 celui de la deuxième inéquation.
On a alors : S1=]−∞; −4] et S2=]−∞; −3]
Par conséquent, l'ensemble des solutions du système est donné par :
S=S1∩S2=]−∞; −4]
4) {x<−1x≥4
On représente sur une même droite graduée les solutions de chaque inéquation.
On obtient alors :
S=∅
On constate que toutes les parties sont hachurées. Ce qui signifie qu'il n'y a pas de solutions pour ce système.
D'où, S=∅
5) {x<2x≥−5
En représentant graphiquement les solutions des deux inéquations du système sur une même droite graduée, on obtient :
S=[−5; 2[
En effet, soit S1 l'ensemble des solutions de la première inéquation et S2 celui de la deuxième inéquation.
On a alors : S1=]−−∞; 2[ et S2=[−5; +∞[
Ainsi, l'ensemble des solutions du système est donné par :
S=S1∩S2=[−5; 2[
6) {x≥−23x≤25
En représentant graphiquement les solutions des deux inéquations du système sur une même droite graduée, on obtient :
S=]−23; 25]
En effet, soit S1 l'ensemble des solutions de la première inéquation et S2 celui de la deuxième inéquation.
On a alors : S1=[−23; +∞[ et S2=]−∞; 25]
Par conséquent, l'ensemble des solutions du système est donné par :
S=S1∩S2=]−23; 25]
7) {x>−12x≤+4
La représentation graphique des deux inéquations du système sur une même droite graduée donne :
S=]−12; 4]
En effet, soit S1 l'ensemble des solutions de la première inéquation et S2 celui de la deuxième inéquation.
On a alors : S1=]−12; +∞[ et S2=]−∞; 4]
D'où, l'ensemble des solutions du système est donné par :
S=S1∩S2=]−12; 4]
Auteur:
Diny Faye
Commentaires
baye maguette diaw (non vérifié)
mer, 03/22/2023 - 14:26
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c'est bon
Anonyme (non vérifié)
sam, 05/18/2024 - 14:19
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Oui
Dorreus Medjina (non vérifié)
mer, 12/13/2023 - 22:00
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Bonsoir, ou est la correction
Anonyme (non vérifié)
dim, 04/13/2025 - 19:20
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c'est aussi ma question
Anonyme (non vérifié)
lun, 03/04/2024 - 21:04
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La solution des exercices n
Modou (non vérifié)
jeu, 04/25/2024 - 18:54
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MATHS
MARIAMA SARR (non vérifié)
jeu, 05/30/2024 - 20:45
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ORDINATEUR
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