Corrigé devoir n° 2 maths - 3e

 

On donne : $A=3-\sqrt{2}\;,\quad B=\dfrac{5\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\ $ et $\ C=\dfrac{1}{11-6\sqrt{2}}$

 

1) Montrons que $B\ $ et $\ C$ sont des inverses.

 

On sait que : $B\ $ et $\ C$ sont des inverses si, et seulement si, $B\times C=1.$

 

Donc, calculons le produit $B\times C$

 

Soit alors :

 

$\begin{array}{rcl} B\times C&=&\left(\dfrac{5\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\right)\times\left(\dfrac{1}{11-6\sqrt{2}}\right)\\\\&=&\dfrac{5\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(11-6\sqrt{2})}\\\\&=&\dfrac{5\sqrt{2}-1}{11\sqrt{2}-12+11-6\sqrt{2}}\\\\&=&\dfrac{5\sqrt{2}-1}{5\sqrt{2}-1}\\\\&=&1\end{array}$

 

D'où, $B\times C=1.$ Ce qui montre que $B\ $ et $\ C$ sont des inverses.

 

2) Calculons $A^{2}$ puis donnons une écriture simplifiée de $\sqrt{C}$

 

Soit : $A=3-\sqrt{2}$

 

Alors,

 

$\begin{array}{rcl} A^{2}&=&(3-\sqrt{2})^{2}\\\\&=&9-6\sqrt{2}+2\\\\&=&11-6\sqrt{2}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{A^{2}=11-6\sqrt{2}}$

 

Donnons une écriture simplifiée de $\sqrt{C}$

 

Soit : $C=\dfrac{1}{11-6\sqrt{2}}$

 

Or, $11-6\sqrt{2}=A^{2}$

 

Donc, en remplaçant $11-6\sqrt{2}$ par $A^{2}$, on obtient : $C=\dfrac{1}{A^{2}}$

 

Par suite,

 

$\begin{array}{rcl} \sqrt{C}&=&\sqrt{\dfrac{1}{A^{2}}}\\\\&=&\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{A^{2}}}\\\\&=&\dfrac{1}{|A|}\\\\&=&\dfrac{1}{|3-\sqrt{2}|}\end{array}$

 

Donc, $\sqrt{C}=\dfrac{1}{|3-\sqrt{2}|}$, mais on sait que $(3-\sqrt{2})>0.$ 

 

Déterminons alors le signe de $(3-\sqrt{2}).$

 

On a : $3\ $ et $\ \sqrt{2}$ sont tous positifs et $3^{2}=9$ est supérieur à $(\sqrt{2})^{2}=2.$ Par conséquent, $3$ est supérieur à $\sqrt{2}.$ Par suite, $(3-\sqrt{2})>0.$

 

Ainsi, $\sqrt{C}=\dfrac{1}{|3-\sqrt{2}|}=\dfrac{1}{3-\sqrt{2}}$

 

Donc, en rendant rationnel le dénominateur, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} \sqrt{C}&=&\dfrac{1}{3-\sqrt{2}}\\\\&=&\dfrac{3+\sqrt{2}}{(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})}\\\\&=&\dfrac{3+\sqrt{2}}{3^{2}-(\sqrt{2})^{2}}\\\\&=&\dfrac{3+\sqrt{2}}{9-2}\\\\&=&\dfrac{3+\sqrt{2}}{7}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{\sqrt{C}=\dfrac{3+\sqrt{2}}{7}}$

 

3) Donnons un encadrement de $\sqrt{C}$ à $10^{-2}$ près.

 

Comme $1.414<\sqrt{2}<1.415$ alors, on a :

 

$\begin{array}{rcccl} 3+1.414&<&3+\sqrt{2}&<&3+1.415\\\\4.414&<&3+\sqrt{2}&<&4.415\\\\\dfrac{4.414}{7}&<&\dfrac{3+\sqrt{2}}{7}&<&\dfrac{4.415}{7}\\\\0.6305&<&\dfrac{3+\sqrt{2}}{7}&<&0.6307\\\\0.6305&<&\sqrt{C}&<&0.6307\end{array}$

 

Ainsi, un encadrement de $\sqrt{C}$ à $10^{-2}$ près sera donné par :

$$0.63<\sqrt{C}<0.64$$

Soit $X=\dfrac{\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-2}{\sqrt{3}-2}-\left(4-3\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)\ $ et $\ Y=30-12\sqrt{6}$

 

1) Montrons que $X$ peut s'écrire sous la forme $a\sqrt{2}+b\sqrt{3}$ où $a\ $ et $\ b$ sont des entiers relatifs.

 

On a :

 

$\begin{array}{rcl} X&=&\dfrac{\dfrac{3\sqrt{2}}{2}-2}{\sqrt{3}-2}-\left(4-3\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)\\\\&=&\dfrac{\dfrac{3\sqrt{2}-4}{2}}{\sqrt{3}-2}-4+3\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{2}-4}{2(\sqrt{3}-2)}-4+3\dfrac{\sqrt{3}\times\sqrt{2}}{2}\\\\&=&\dfrac{(3\sqrt{2}-4)(\sqrt{3}+2)}{2(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)}-4+\dfrac{3\sqrt{6}}{2}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{6}+6\sqrt{2}-4\sqrt{3}-8}{2(3-4)}-4+\dfrac{3\sqrt{6}}{2}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{6}+6\sqrt{2}-4\sqrt{3}-8}{-2}-4+\dfrac{3\sqrt{6}}{2}\\\\&=&\dfrac{-3\sqrt{6}-6\sqrt{2}+4\sqrt{3}+8}{2}-4+\dfrac{3\sqrt{6}}{2}\\\\&=&-\dfrac{3\sqrt{6}}{2}-\dfrac{6\sqrt{2}}{2}+\dfrac{4\sqrt{3}}{2}+4-4+\dfrac{3\sqrt{6}}{2}\\\\&=&-3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\end{array}$

 

Donc, $\boxed{X=2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}$

 

2) Déduisons une écriture plus simplifiée de $X^{2}$

 

On a : $X=2\sqrt{3}-3\sqrt{2}$

 

Alors,

 

$\begin{array}{rcl} X^{2}&=&(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})^{2}\\\\&=&(2\sqrt{3})^{2}-12\sqrt{6}+(-3\sqrt{2})^{2}\\\\&=&12-12\sqrt{6}+18\\\\&=&30-12\sqrt{6}\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{X^{2}=30-12\sqrt{6}}$

 

3) Calculons $\sqrt{Y}$

 

Soit : $Y=30-12\sqrt{6}$

 

Alors, on constate que $Y=X^{2}$

 

Donc, $\sqrt{Y}=\sqrt{X^{2}}=|X|$

 

Déterminons alors le signe de $X$

 

On a : $(2\sqrt{3})\ $ et $\ (3\sqrt{2})$ sont tous positifs.

 

Alors, $(2\sqrt{3})^{2}=12\ $ et $\ (3\sqrt{2})^{2}=18$

 

$12<18$ donc, $(2\sqrt{3})$ est inférieur à $(3\sqrt{2})$

 

Par suite, $X<0$

 

Ainsi, $\sqrt{Y}=|X|=-X$

 

D'où, $\boxed{\sqrt{Y}=-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}$

 

4) On pose : $Z=\dfrac{X}{Y}$

 

Donnons une écriture simplifiée puis un encadrement de $Z$ à $10^{-3}$ près, sachant que $1.414<\sqrt{2}<1.415\ $ et $\ 1.732<\sqrt{3}<1.733$

 

On a : $Z=\dfrac{X}{Y}=\dfrac{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{30-12\sqrt{6}}$

 

On sait que : $Y=30-12\sqrt{6}=X^{2}$

 

Donc, en remplaçant, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} Z&=&\dfrac{X}{X^{2}}\\\\&=&\dfrac{X}{X\times X}\\\\&=&\dfrac{1}{X}\\\\&=&\dfrac{1}{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}\\\\&=&\dfrac{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{(2\sqrt{3}-3\sqrt{2})(2\sqrt{3}+3\sqrt{2})}\\\\&=&\dfrac{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{12-18}\\\\&=&\dfrac{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{-6}\\\\&=&\dfrac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{Z=\dfrac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}}$

 

Donnons un encadrement de $Z$ à $10^{-3}$ près.

 

Comme $1.732<\sqrt{3}<1.733$ alors, en multipliant par $2$ on a :

 

$2\times 1.732<2\times\sqrt{3}<2\times 1.733\ \Rightarrow\ 3.464<2\sqrt{3}<3.466$

 

En multipliant cette dernière relation par $-1$, les inégalités changent de sens.

 

Ainsi : $-3.466<-2\sqrt{3}<-3.464\quad(1)$

 

Par ailleurs, comme $1.414<\sqrt{2}<1.415$ alors, en multipliant par $3$ on obtient :

 

$3\times 1.414<3\times\sqrt{2}<3\times 1.415$

 

Ce qui donne : $4.242<3\sqrt{2}<4.245\quad(2)$

 

En additionnant membre à membre les inégalités $(1)\ $ et $\ (2)$, on obtient :

 

$4.242-3.466<3\sqrt{2}-2\sqrt{3}<4.245-3.464\ \Rightarrow\ 0.776<3\sqrt{2}-2\sqrt{3}<0.781$

 

En divisant par $6$, on trouve :

 

$\dfrac{0.776}{6}<\dfrac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}<\dfrac{0.781}{6}\ \Rightarrow\ 0.129<\dfrac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}<0.130$

 

Donc, un encadrement de $Z$ à $10^{-3}$ près sera donné par :

$$0.129<Z<0.130$$

Exercice 3