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Exercices : Calcul algébrique 3e

Classe:

Troisième

Exercice 1 "Identités remarquables"

1) Développer, réduire et ordonner les expressions suivantes en utilisant les propriétés des identités remarquables.

$A=(2x+3)^{2}\qquad B=\left(\dfrac{2}{3}x+\dfrac{3}{4}\right)^{2}$

$C=\left(x-\dfrac{1}{3}\right)^{2}\qquad D=\left(7x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}$

$E=(3x-4)(3x+4)\qquad F=\left(\dfrac{2}{3}x+1\right)\left(\dfrac{2}{3}x-1\right)$

2) Factoriser les expressions suivantes en utilisant les propriétés des identités remarquables.

$A=9x^{2}+6x+1\qquad B=16x^{2}+9+24x$

$C=\dfrac{4}{9}x^{2}-1\qquad D=25x^{2}-10x+1$

$E=36-12x+x^{2}\qquad F=4x^{2}-9$

Exercice 2

Développer réduire puis ordonner chacune des expressions suivantes :

$a(x)=(3x+1)^{2}-(x-5)^{2}$

$b(x)=(4x-3)(4x-3)+(6x-5)^{2}$

$c(x)=(x-9)(3x+5)^{2}$

$d(x)=(2x-\sqrt{7})(2x+\sqrt{7})-(3x+\sqrt{5})(x+2\sqrt{5})$

$e(x)=7x(2x\sqrt{3}-3)^{2}+8x^{3}-7x^{2}\sqrt{3}$

Exercice 3

Factoriser chacune des expressions suivantes :

$f(x)=(3x+1)^{2}-15(3x+1)$

$g(x)=2x(\sqrt{8}-2x)-(\sqrt{2}-x)(x-1)$

$h(x)=x^{3}-x-(x+1)(2x+10)$

$j(x)=x^{2}+6x+8$

$k(x)=(2x+1)^{2}-4+8x+12$

$l(x)=3x^{2}+18x+27$

$m(x)=9x^{2}-6x\sqrt{2}+2x(3x-\sqrt{2})+2$

$n(x)=16(x-3)^{2}-49(2x+1)^{2}$

$p(x)=(4x-\sqrt{3})^{2}-2x(4x-\sqrt{3})+x^{2}$

Exercice 4

Factoriser chacune des expressions suivantes :

$A(x)=(7x-1)(4x-2)-(1-7x)(3x-1)$

$B(x)=9x^{2}-1-(6x+2)(9x-1)$

$C(x)=4(4x+1)^{2}-9(3x+2)^{2}$

$D(x)=25x^{3}-9x$

$E(x)=(9x^{2}-24x+16)+(-4x^{2}-4x-1)+(x+3)(10x-6)+(3-5x)$

Exercice 5 "BFEM 2e groupe"

Répondre vrai ou faux en justifiant la réponse

1) En développant, $5(2x-3)-4(x+2)-10x^{2}$ on trouve $-19x+8.$

2) "Choisir un nombre $a$ , ajouter 2 au triple de $a$, élevé au carré le nombre obtenu, puis retranché 7" correspond à l'expression : $a+(2a+3)^{2}-7$

3) L'expression $-9x^{2}+4=(3x-2)(3x+2).$

Exercice 6 "BFEM 2009"

On donne : $f(x)=5x^{2}-20+(-3x+6)(4x+3)$ et $g(x)=(x-2)(1-7x).$

1) Développer , réduire et ordonner chacune des expressions suivantes $f(x)$ et $g(x)$

2) En déduire une factorisation de $f(x).$

Exercice 7

On pose : $f(x)=4x^{2}-12x–7$ et $g(x)=4x^{2}-1+(2x+1)(2-3x)$

1) Factoriser $g(x)$.

2) Soit $a$ un nombre réel tel que $f(x)=(2x-3)^{2}-a$.

Montrer que $a=16$ et factoriser $f(x)$.

3) Soit $q(x)=\dfrac{(2x+7)(2x-1)}{(x-1)(1-2x)}$

a) Trouver la condition d'existence de $q(x)$.

b) Simplifier $q(x)$.

c) Calculer $q(\sqrt{3})$ sans radical au dénominateur.

d) Encadrer $q(\sqrt{3})$ d'amplitude 0.1 près sachant que $1.732<\sqrt{3}<1.733$

Exercice 8

On donne : $$E=\dfrac{a^{2}}{a+1}\quad\text{et}\quad F=\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{2}{a^{2}-1}$$

1) Donner les valeurs de $a$ pour lesquelles les expressions $E$ et $F$ n'ont pas de sens.

2) Retrouver les expressions simplifiées de $E$ et $F.$

Exercice 9

On donne les expressions suivantes :

$f(x)=x^{2}-(2x+\sqrt{12})(x+3)+x\sqrt{3}$ et

$g(x)=2(x^{2}-36)+(3x-1)(x+6)+(2x-4)(2x+12).$

1) Factoriser $f(x)$ et $g(x)$.

2) On pose $q(x)=\dfrac{-(x+\sqrt{3})(x+6)}{3(x+6)(3x-7)}$.

a) Pour quelles valeurs de $x$ $q(x)$ n'a pas de sens ?

b) Simplifier $q(x)$ puis calculer $q(\sqrt{3})$ sans radical au dénominateur.

3) Calculer $g(\sqrt{3})$ puis l'encadrer à $10^{-2}$ près sachant que $1.73<\sqrt{3}<1.74$

Exercice 10 "BFEM 2007"

On considère les expressions $f(x)$ et $g(x)$ suivantes :

$f(x)=(3x-2)^{2}-3x+2$ et $g(x)=(2x+3)^{2}-(x+4)^{2}.$

1) Développer, réduire et ordonner $f(x)$ et $g(x).$

2) Factoriser $f(x)$ et $g(x).$

3) On pose $h(x)=\dfrac{(3x-3)(3x-2)}{(x-1)(3x+7)}$

a) Dites pourquoi on ne peut pas calculer $h(1).$

b) Donner la condition d'existence de $h(x)$ puis simplifier $h(x).$

c) Calculer $h\left(\dfrac{1}{3}\right)$ puis donner sa valeur approchée à $10^{-1}$ prés par défaut.

Exercice 11 "BFEM 2005"

On donne les expressions suivantes :

$f(x)=(3x-5)^{2}-(2x-1)^{2}$ et $g(x)=x^{2}+(2x+1)(5-x)-25.$

1) Développer, réduire et ordonner $f(x)$ et $g(x).$

2) Factoriser $f(x)$ et $g(x).$

3) Soit $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$

a) Donner la condition d'existence de $h(x).$

b) Simplifier $h(x).$

4) Comparer : $h(0)$ et $h\left(-\dfrac{1}{2}\right).$

Exercice de Synthèse

I. On donne l'expression $E=(3x-4)^{2}-4x^{2}$

1) Développer puis factoriser $E$

2) Calculer $E$ pour $x=0$ et pour $x=-1$

3) Résoudre $(5x-4)(x-4)=0$ et $(5x-4)(x-4)˂0$

II. On donne un triangle $GEO$ rectangle en $E$ tel que selon le cm $GO=4x+3$ et $EO=x+1$

1) Calculer $GE^{2}$

2) a) Pour quelles valeurs de $x$ peut-on écrire $K=\dfrac{GE^{2}}{(3x+2)(5x+1)}$

b) Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $$\left|GO\right|=\left|EO\right|$$

$\begin{array}{c}\blacktriangleright\,\boxed{\text{Correction des exercices}}\end{array}$

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Commentaires

Anonyme (non vérifié)

jeu, 10/24/2019 - 19:18

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Clade (non vérifié)

ven, 02/02/2024 - 17:21