Bac Maths D, Burkina 2012
Exercice 1
1. Déterminer la solution de l'équation (E1) dont la courbe représentative dans un repère orthonormal (O ; →i, →j) passe par le point A(0 ; −2) et admet en ce point une tangente horizontale
2. Déterminer la solution g de l'équation (E2) vérifiant : (π2)=−1 et g′(π2)=−1
3. Soit (C) la courbe définie par le système d'équations paramétriques :
{x(t)=−2cos2t ; t∈Ry(t)=cost−sint}
a) Déterminer la période commune des fonctions x et y ; comparer la position des points (t) et (t+π), puis en déduire un élément de symétrie de (C).
Justifier le choix de [0 ; π] comme ensemble d'étude.
b) Étudier les fonctions x et y sur [0 ; π] et dresser leur tableau de variations conjoint.
c) Représenter la courbe (C) dans un repère orthonormal (O ; →i, →j) (unité graphique 2cm)
On précisera les tangentes particulières ainsi que les tangentes en O.
N.B :
Exercice 2
On s'intéresse au nombre porté par la face cachée.
Pour k∈1, 2, 3, 4, on note Pk la probabilité d'obtenir le nombre k sur la face cachée.
Le dé est déséquilibré de telle sorte que les nombres P1, P2, P3 et P4 dans cet ordre forment une progression arithmétique
1. Sachant que P4=0.4 ; montrer que P1=0.1 ; P2=0.2 et P3=0.3
2. On lance le dé trois (3) fois de suite.
On suppose que les lancers sont deux à deux indépendants
a) Quelle est la probabilité d'obtenir dans l'ordre les nombres 1, 2, 4 ?
b) Quelle est la probabilité d'obtenir trois nombres distincts rangés dans l'ordre croissant ?
3. On lance dix (10) fois de suite le dé.
On suppose les lancers deux à deux indépendants.
On note X la variable aléatoire qui décompte le nombre de fois où le chiffre 4 est obtenu.
a) Pour 0≤i≤10, exprimer en fonction de i la probabilité de l'évènement (X=i)
b) Calculer l'espérance mathématique de X.
Interpréter le résultat obtenu.
c) Calculer la probabilité de l'évènement (X≥1).
On donnera une valeur arrondie au millième
4. On lance n fois le dé, les lancers étant supposés indépendants.
On note un la probabilité d'obtenir pour la première fois le nombre 4 au nième lancer.
a) Montrer que (un) est une suite géométrique et qu'elle converge.
b) Calculer Sn=u1+u2+…+un en fonction de n puis étudier la convergence de la suite Sn
c) Déterminer le plus petit entier n tel que Sn≥0.999
N.B :
ln(0.001)≃−6.90 ;
ln(0.6)≃−0.51.
Exercice 3 Problème
Partie A
En déduire les asymptotes à (C)
2. Soit f′ la fonction dérivée de f, calculer f′(x) puis étudier son signe.
En déduire le sens de variation de f
3. Dresser le tableau de variations de f
4. Montrer que le point (1 ; −1) est un centre de symétrie pour (C)
5. Tracer (C) et les asymptotes.
Partie B
1. Déterminer une primitive de chacune des fonctions u et v sur ]1 ; +∞[
2. Vérifier que pour tout réel x>1 ; −1−(x)=(x)+(x)
3. Calculer, en cm2, la valeur exacte de l'aire S du domaine plan compris entre (C) et les droites d'équations respectives y=−1, x=2 et x=3
Partie C
{u0un+1=4−e−un} pour tout n∈N.
1. Montrer, par récurrence, que pour tout entier non nul n, 3<un<4
2. a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, un+1−un et un−un−1 sont de même signe
b) Étudier le sens de variation de la suite (un)
3. Étudier la convergence de la suite (un)
N.B :
On donne : e−3≃0.05 et e−4≃0.0
Commentaires
Puyol (non vérifié)
ven, 02/09/2024 - 17:24
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