Bac Maths D, Burkina 2012

Exercice 1

On considère les équations différentielles suivantes : (E1) : y+4y=0et(E2) : y+y=0  

1. Déterminer la solution de l'équation (E1) dont la courbe représentative dans un repère orthonormal (O ; i, j) passe par le point A(0 ; 2) et admet en ce point une tangente horizontale

2. Déterminer la solution g de l'équation (E2) vérifiant : (π2)=1 et g(π2)=1

3. Soit (C) la courbe définie par le système d'équations paramétriques :  
{x(t)=2cos2t ; tRy(t)=costsint}
 
a) Déterminer la période commune des fonctions x et y ; comparer la position des points (t) et (t+π), puis en déduire un élément de symétrie de (C).

Justifier le choix de [0 ; π] comme ensemble d'étude.  

b) Étudier les fonctions x et y sur [0 ; π] et dresser leur tableau de variations conjoint.  

c) Représenter la courbe (C) dans un repère orthonormal (O ; i, j) (unité graphique 2cm)

On précisera les tangentes particulières ainsi que les tangentes en O.

N.B :

21.4.

Exercice 2

On lance un dé tétraédrique dont les quatre faces portent les nombres 1, 2, 3 et 4.

On s'intéresse au nombre porté par la face cachée.

Pour k1, 2, 3, 4, on note Pk la probabilité d'obtenir le nombre k sur la face cachée.

Le dé est déséquilibré de telle sorte que les nombres P1, P2, P3 et P4 dans cet ordre forment une progression arithmétique  

1. Sachant que P4=0.4 ; montrer que P1=0.1 ; P2=0.2 et P3=0.3  

2. On lance le dé trois (3) fois de suite.

On suppose que les lancers sont deux à deux indépendants  

a) Quelle est la probabilité d'obtenir dans l'ordre les nombres 1, 2, 4 ?  

b) Quelle est la probabilité d'obtenir trois nombres distincts rangés dans l'ordre croissant ?  

3. On lance dix (10) fois de suite le dé.

On suppose les lancers deux à deux indépendants.

On note X la variable aléatoire qui décompte le nombre de fois où le chiffre 4 est obtenu.  

a) Pour 0i10, exprimer en fonction de i la probabilité de l'évènement (X=i)

b) Calculer l'espérance mathématique de X.

Interpréter le résultat obtenu.  

c) Calculer la probabilité de l'évènement (X1).

On donnera une valeur arrondie au millième

4. On lance n fois le dé, les lancers étant supposés indépendants.

On note un la probabilité d'obtenir pour la première fois le nombre 4 au nième lancer.  

a) Montrer que (un) est une suite géométrique et qu'elle converge.  

b) Calculer Sn=u1+u2++un en fonction de n puis étudier la convergence de la suite Sn  

c) Déterminer le plus petit entier n tel que Sn0.999

N.B :

On donne (0.6)100.00604 ;

ln(0.001)6.90 ;

ln(0.6)0.51.

Exercice 3 Problème

Soit f la fonction définie sur R1 par : f(x)=x+ln|1x|1x et (C) sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal (O ; i, j) d'unité graphique 2cm.  

Partie A 

1. Calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

En déduire les asymptotes à (C)  

2. Soit f la fonction dérivée de f, calculer f(x) puis étudier son signe.

En déduire le sens de variation de f  

3. Dresser le tableau de variations de f  

4. Montrer que le point (1 ; 1) est un centre de symétrie pour (C)  

5. Tracer (C) et les asymptotes.  

Partie B 

Soit les fonctions u et v définies sur ]1 ; +[ par : u(x)=11xetv(x)=ln(x1)x1

1. Déterminer une primitive de chacune des fonctions u et v sur ]1 ; +[

2. Vérifier que pour tout réel x>1 ; 1(x)=(x)+(x)  

3. Calculer, en cm2, la valeur exacte de l'aire S du domaine plan compris entre (C) et les droites d'équations respectives y=1, x=2 et x=3  

Partie C

On considère la suite (Un) définie sur N par :
{u0un+1=4eun} pour tout nN.

1. Montrer, par récurrence, que pour tout entier non nul n, 3<un<4

2. a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, un+1un et unun1 sont de même signe       

b) Étudier le sens de variation de la suite (un)   

3. Étudier la convergence de la suite (un)

N.B :

On donne : e30.05 et e40.0

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