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Devoir n°10 - Ts1

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Terminale

Exercice 1

Le but de l'exercice est de montrer, à l'aide des nombres complexes, qu'un triangle dans lequel le centre

$0$ du cercle circonscrit est aussi isobarycentre est un triangle équilibre.

On suppose le plan muni d'un repère orthonormal direct

$\left(o\;,\vec{u}\;,\vec{v}\right).$

On pose

$\omega=\mathrm{e}^{i\dfrac{2n}{3}}.$

1.a. Mettre

$\omega$ et

$\omega^{2}$ sous forme algébrique.

b. Montrer que

$1+\omega+\omega^{2}=0$ et que

$\omega^{2^{-}}=\omega$

2. On cherche les nombres complexes

$z$ tels que :

$|z|=|1+z|=1$

$(\ast)$

a. Montrer que

$\omega$ satisfait aux conditions

$(\ast)$ alors

$x=-\dfrac{1}{2}$

En déduire que

$\omega$ et

$\omega$ sont les seuls complexes satisfaisant

aux conditions

$(\ast)$

3. Soient

$A$ ,

$B$ et

$C$ , d'affixes respectives

$a$ ,

$b$ et

$c$ trois points du cercle

$(T)$ du centre

$O$ et de rayon

$R.$

On suppose que

$O$ est l'isobarycentre des points

$A$ ,

$B$ et

$C.$

On pose

$p=\dfrac{b}{a}$ et

$q=\dfrac{c}{a}$

a. Montrer que

$|p|=|q|=1$ et que

$1+p=-q$

b. Montrer, à l'aide de

$2.b$ que

$p=\omega$ ou

$P=\omega$

Dans ce qui suit, on suppose que

$p=\omega$

c. Montrer, à l'aide de

$1$ , que

$q=\omega^{2}.$

d. Montrer que

$b-a=(\omega-1)a$ ;

$c-b=(\omega-1)b$ ;

$c-a=(\omega-1)a$

En déduire que le triangle

$ABC$ est équilatéral.

Exercice 2

Cet exercice traite la convergence de la suite

$\left(\cup_{2}\right)$ définie pour

$n\geq 1$ par :

$\cup_{n}=\dfrac{1}{1^{3}}+\dfrac{1}{2^{3}}\ldots+\dfrac{1}{n^{3}}$ (appelée une série Riemann) par l'application de la formule des accroissements finis.

Soit

$|$ fonction

$\varphi$ :

$X\mapsto\dfrac{1}{X^{2}}$

1. En appliquant à

$\varphi$ le théorème des accroissements finis sur

l'intervalle

$[P\ ;\ P+1]$ ,

$p$ étant un entier strictement positif, montrer que

$\dfrac{2}{(p+1)^{3}}<\varphi(p)-\varpi(p+1)<\dfrac{2}{p^{3}}$

A l'aide de ce résultat, montrer que :

$\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2n^{2}}<\dfrac{1}{1^{3}}+\dfrac{1}{2^{3}}+\ldots+\dfrac{1}{n^{3}}<\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2n^{2}}$

2.a. Étudier les variations de la suite

$\left(\cup_{n}\right)$ définie par

$\cup_{n}=\dfrac{1}{1^{3}}+\dfrac{1}{2^{3}}+\ldots+\dfrac{1}{n^{3}}$ et

démontrer qu'elle est convergente.

b. Donner un encadrement de la limite

$L$ de

$\left(\cup_{n}\right).$

Exercice 3

Soit

$f$ une primitive, sur

$\mathbb{R}$ de l'application

$\psi$ qui, à tout réel

$t$ , associe :

$\psi(x)=\dfrac{1}{2t^{2}-2t+1}$

$1^{\circ}$ soit

$g$ l'application de l'intervalle

$s=\left]-\dfrac{\pi}{2}\;,\dfrac{\pi}{2}\right[$ dans

$\mathbb{N}$ définie par

$g(u)=f\left(\dfrac{1-\tan u}{2}\right)$

Prouver que

$g$ est dérivable sur

$S$ , puis que

$g$ et une fonction affine.

$2^{\circ}$ Montrer que :

$\int_{0}^{1}\dfrac{dt}{2t^{2}-2t+1}=\dfrac{\pi}{2}$

Problème :

Partie $A$ :

On considère la fonction

$g$ définie sur l'intervalle

$\mid=\left[-\dfrac{1}{2}\ ;\ +\infty\right[$ par :

$g(x)=\ln(1+x)-x+\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}.$

On pose

$V(x)=g(x)+\dfrac{1}{2} x^{4}\;,\quad\forall x\in\mid.$

1. Étudier les variations de

$g$ et de

$v$

$(\text{il ne sera pas nécessaire de calculer les limites aux bornes de }g\text{ et de }v)$

2. En déduire que,

$\forall x\in\mid\;,\quad-\dfrac{1}{2}x^{4}\leq g(x)\leq 0$

Partie $B$ :

Soit la fonction

$f$ définie sue

$]-1\ ;\ +\infty[$ par :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} f(x)&=&\dfrac{x+\ln(1+x)}{x^{2}}\quad\text{Si }x\neq 0\\ f(0)&=&\dfrac{1}{2} \end{array}\right.$

On note

$(\mathcal{C}$ la courbe de

$f$ dans le plan muni d'un repère

$\left(0\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$

$(\text{unité : }2\,cm)$

1.a. Vérifier, pour tout

$x\geq-\dfrac{1}{2}$ et

$x\neq 0$ , que

$f(x)=-\dfrac{g(x)}{x^{2}}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}.$

b. En utilisant l'inégalité trouvée en

$A.2$ , démontrer que

$f$ est dérivable en

$0$ et donner une équation de la tangente

$(T)$ à

$(\mathcal{c}$ au point d'abscisse

$0$

$f$ est-elle continue en

$0$ ? Justifier votre réponse.

2. Soit

$h$ la fonction définie sur

$]-1\ ;\ +\infty[$ par :

$h(x)=\dfrac{-x^{2}-2x}{1+x}+2\ln(1+x)$

a. Étudier le sens de variation de

$h$ ; calculer

$h(0)$ et en déduire le signe de

$h$ sur

$]-1\ ;\ +\infty[.$

b. Démontrer que tout

$x\in]-1\ ;\ 0[\cup]0\ ;\ +\infty[$ , on a

$f'(x)=\dfrac{h(x)}{x^{3}}$

c. Dresser le tableau de variation complet de

$f.$

3. Construire

$(\mathcal{C})$ et la tangente

$(T)$

$(\text{On précisera les asymptotes de }(\mathcal{C}))$

Partie $C$ :

1.a. Démontrer que la fonction

$w$ définie sur

$]-1\ ;\ +\infty[$ par :

$w(x)=f(x)-x$ est continue et strictement décroissante.

b. En déduire que l'équation

$f(x)=x$ admet une unique solution

$\alpha$ dans

$]-1\ ;\ +\infty[$ et que

$\dfrac{1}{4}<\alpha<1$

2.a. Sachant que pour tout

$x\geq 0$ on a :

$x-\dfrac{x^{2}}{2}\leq\ln(1+x)$ , démontrer alors que pour tout

$x\geq 0$ on a :

$x-\dfrac{-1}{1+x}\leq f(x)\leq 0$ ; puis pour tout

$x\in\left[\dfrac{1}{4}\ ;\ 1\right]$ ,

$|f(x)|\leq \dfrac{4}{5}$ ;

$(\text{On pourra utiliser les résultats de }B.2$

b. Démontrer que si

$\dfrac{1}{4}\leq x\leq 1$ alors

$\dfrac{1}{4}\leq f(x)1$

3. On définit la suite

$\left(v_{n}\right)$ par :

$v_{0}=\dfrac{1}{2}$ et par la relation de récurrence

$v_{n+1}=f\left(v_{n}\right)$ ,

$\forall n\in\mathbb{N}$

a. Justifier que,

$\forall n\in\mathbb{N}$ ,

$\dfrac{1}{4}\leq v_{n}\leq 1$

b. Démontrer que,

$\forall n\in\mathbb{N}$ ,

$\left|v_{n+1}-a\right|$ ; puis que,

$\forall n\in\mathbb{N}$ ,

$\left|v_{n}-\alpha\right|\leq\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}$

c. En déduire que la suite

$\left(v_{n}\right)$ converge et déterminer sa limite.

d. Déterminer un entier

$n_{0}$ tel que

$\forall n\geq n_{0}$ ,

$v_{n}$ soit une valeur approchée de

$\alpha$ à

$10^{-1}$ près.

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