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Devoir n°10 - Ts1

Classe:

Terminale

Exercice 1

Le but de l'exercice est de montrer, à l'aide des nombres complexes, qu'un triangle dans lequel le centre $0$ du cercle circonscrit est aussi isobarycentre est un triangle équilibre.

On suppose le plan muni d'un repère orthonormal direct $\left(o\;,\vec{u}\;,\vec{v}\right).$

On pose $\omega=\mathrm{e}^{i\dfrac{2n}{3}}.$

1.a. Mettre $\omega$ et $\omega^{2}$ sous forme algébrique.

b. Montrer que $1+\omega+\omega^{2}=0$ et que $\omega^{2^{-}}=\omega$

2. On cherche les nombres complexes $z$ tels que : $|z|=|1+z|=1$ $(\ast)$

a. Montrer que $\omega$ satisfait aux conditions $(\ast)$ alors $x=-\dfrac{1}{2}$

En déduire que $\omega$ et $\omega$ sont les seuls complexes satisfaisant

aux conditions $(\ast)$

3. Soient $A$, $B$ et $C$, d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$ trois points du cercle $(T)$ du centre $O$ et de rayon $R.$

On suppose que $O$ est l'isobarycentre des points $A$, $B$ et $C.$

On pose $p=\dfrac{b}{a}$ et $q=\dfrac{c}{a}$

a. Montrer que $|p|=|q|=1$ et que $1+p=-q$

b. Montrer, à l'aide de $2.b$ que $p=\omega$ ou $P=\omega$

Dans ce qui suit, on suppose que $p=\omega$

c. Montrer, à l'aide de $1$, que $q=\omega^{2}.$

d. Montrer que $b-a=(\omega-1)a$ ; $c-b=(\omega-1)b$ ; $c-a=(\omega-1)a$

En déduire que le triangle $ABC$ est équilatéral.

Exercice 2

Cet exercice traite la convergence de la suite $\left(\cup_{2}\right)$ définie pour $n\geq 1$ par :

$\cup_{n}=\dfrac{1}{1^{3}}+\dfrac{1}{2^{3}}\ldots+\dfrac{1}{n^{3}}$ (appelée une série Riemann) par l'application de la formule des accroissements finis.

Soit $|$ fonction $\varphi$ : $X\mapsto\dfrac{1}{X^{2}}$

1. En appliquant à $\varphi$ le théorème des accroissements finis sur

l'intervalle $[P\ ;\ P+1]$, $p$ étant un entier strictement positif, montrer que

$$\dfrac{2}{(p+1)^{3}}<\varphi(p)-\varpi(p+1)<\dfrac{2}{p^{3}}$$

A l'aide de ce résultat, montrer que :

$$\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2n^{2}}<\dfrac{1}{1^{3}}+\dfrac{1}{2^{3}}+\ldots+\dfrac{1}{n^{3}}<\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2n^{2}}$$

2.a. Étudier les variations de la suite $\left(\cup_{n}\right)$ définie par $\cup_{n}=\dfrac{1}{1^{3}}+\dfrac{1}{2^{3}}+\ldots+\dfrac{1}{n^{3}}$ et

démontrer qu'elle est convergente.

b. Donner un encadrement de la limite $L$ de $\left(\cup_{n}\right).$

Exercice 3

Soit $f$ une primitive, sur $\mathbb{R}$ de l'application $\psi$ qui, à tout réel $t$, associe : $\psi(x)=\dfrac{1}{2t^{2}-2t+1}$

$1^{\circ}$ soit $g$ l'application de l'intervalle $s=\left]-\dfrac{\pi}{2}\;,\dfrac{\pi}{2}\right[$ dans $\mathbb{N}$ définie par $g(u)=f\left(\dfrac{1-\tan u}{2}\right)$

Prouver que $g$ est dérivable sur $S$, puis que $g$ et une fonction affine.

$2^{\circ}$ Montrer que : $\int_{0}^{1}\dfrac{dt}{2t^{2}-2t+1}=\dfrac{\pi}{2}$

Problème :

Partie $A$ :

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $\mid=\left[-\dfrac{1}{2}\ ;\ +\infty\right[$ par :

$g(x)=\ln(1+x)-x+\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{x^{3}}{3}.$

On pose $V(x)=g(x)+\dfrac{1}{2} x^{4}\;,\quad\forall x\in\mid.$

1. Étudier les variations de $g$ et de $v$ $(\text{il ne sera pas nécessaire de calculer les limites aux bornes de }g\text{ et de }v)$

2. En déduire que, $\forall x\in\mid\;,\quad-\dfrac{1}{2}x^{4}\leq g(x)\leq 0$

Partie $B$ :

Soit la fonction $f$ définie sue $]-1\ ;\ +\infty[$ par :

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} f(x)&=&\dfrac{x+\ln(1+x)}{x^{2}}\quad\text{Si }x\neq 0\\ f(0)&=&\dfrac{1}{2} \end{array}\right.$

On note $(\mathcal{C}$ la courbe de $f$ dans le plan muni d'un repère $\left(0\;,\vec{i}\;,\vec{j}\right)$ $(\text{unité : }2\,cm)$

1.a. Vérifier, pour tout $x\geq-\dfrac{1}{2}$ et $x\neq 0$, que $f(x)=-\dfrac{g(x)}{x^{2}}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{x}{3}.$

b. En utilisant l'inégalité trouvée en $A.2$, démontrer que $f$ est dérivable en $0$ et donner une équation de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{c}$ au point d'abscisse $0$

c. $f$ est-elle continue en $0$ ? Justifier votre réponse.

2. Soit $h$ la fonction définie sur $]-1\ ;\ +\infty[$ par : $h(x)=\dfrac{-x^{2}-2x}{1+x}+2\ln(1+x)$

a. Étudier le sens de variation de $h$ ; calculer $h(0)$ et en déduire le signe de $h$ sur $]-1\ ;\ +\infty[.$

b. Démontrer que tout $x\in]-1\ ;\ 0[\cup]0\ ;\ +\infty[$, on a $f'(x)=\dfrac{h(x)}{x^{3}}$

c. Dresser le tableau de variation complet de $f.$

3. Construire $(\mathcal{C})$ et la tangente $(T)$ $(\text{On précisera les asymptotes de }(\mathcal{C}))$

Partie $C$ :

1.a. Démontrer que la fonction $w$ définie sur $]-1\ ;\ +\infty[$ par : $w(x)=f(x)-x$ est continue et strictement décroissante.

b. En déduire que l'équation $f(x)=x$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]-1\ ;\ +\infty[$ et que $\dfrac{1}{4}<\alpha<1$

2.a. Sachant que pour tout $x\geq 0$ on a : $x-\dfrac{x^{2}}{2}\leq\ln(1+x)$, démontrer alors que pour tout $x\geq 0$ on a :

$x-\dfrac{-1}{1+x}\leq f(x)\leq 0$ ; puis pour tout $x\in\left[\dfrac{1}{4}\ ;\ 1\right]$ , $|f(x)|\leq \dfrac{4}{5}$ ;

$(\text{On pourra utiliser les résultats de }B.2$

b. Démontrer que si $\dfrac{1}{4}\leq x\leq 1$ alors $\dfrac{1}{4}\leq f(x)1$

3. On définit la suite $\left(v_{n}\right)$ par : $v_{0}=\dfrac{1}{2}$ et par la relation de récurrence $v_{n+1}=f\left(v_{n}\right)$, $\forall n\in\mathbb{N}$

a. Justifier que, $\forall n\in\mathbb{N}$, $\dfrac{1}{4}\leq v_{n}\leq 1$

b. Démontrer que, $\forall n\in\mathbb{N}$, $\left|v_{n+1}-a\right|$ ; puis que, $\forall n\in\mathbb{N}$, $\left|v_{n}-\alpha\right|\leq\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{4}{5}\right)^{n}$

c. En déduire que la suite $\left(v_{n}\right)$ converge et déterminer sa limite.

d. Déterminer un entier $n_{0}$ tel que $\forall n\geq n_{0}$,

$v_{n}$ soit une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.