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Solution des exercices : Énergie cinétique - 1er s

Classe:

Première

Exercice 1

1. Exprimons, puis calculons l'énergie cinétique de l'autoporteur en $A.$

\begin{array}{rcl} E_{C_{A}} & = & \frac{1}{2} m V_{A}^{2} \\ = & \frac{1}{2} \times 600 \cdot 10^{- 3} \times 6^{2} \\ \Rightarrow E_{C_{A}} & = & 10.8 J \end{array}

2. Inventaire des forces extérieures agissant sur l'autoporteur au cours de la phase $AB.$

Les forces extérieures sont : $\overrightarrow{P}$ et $\overrightarrow{R}$

3. a) Définition d'un système pseudo-isolé ;

Un système pseudo-isolé est un système soumis à des forces qui se compensent.

b) L'autoporteur est pseudo-isolé au cours de la phase $AB$, car, pendant cette phase les forces se compensent.

Par contre, pendant la phase $BD$, les forces ne se compensent plus, et le système n'est plus pseudo-isolé

c) Déduction de la vitesse du centre d'inertie du mobile en $B$

Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit :

\begin{array}{rcl} Δ B C & = & \sum W ({\vec{F}}_{e x t é r i e u r s}) \\ \Rightarrow E_{C B} - E_{C A} & = & W_{A B} (\vec{P}) + W_{A B} (\vec{R}) \\ \Rightarrow \frac{1}{2} m V_{B}^{2} - \frac{1}{2} m V_{A}^{2} & = & 0 + 0 \\ \Rightarrow \frac{1}{2} m V_{A}^{2} & = & \frac{1}{2} m V_{B}^{2} \\ \Rightarrow V_{B}^{2} & = & V_{A}^{2} \\ \Rightarrow V_{B} & = & V_{A} \\ \Rightarrow V_{B} & = & 6 m \cdot s^{- 1} \end{array}

4. Calcul du travail du poids de l'autoporteur et le travail de l'action $R$ du plan sur l'autoporteur au cours du déplacement $BC_{1}$

\begin{matrix} \begin{array}{rcl} W_{B C_{1}} (\vec{P}) & = & \vec{P} \cdot \vec{B C_{1}} \\ = & - m g B C_{1} \sin α \\ = & - 600 \cdot 10^{- 3} \times 10 \times 1 \times \sin 30^{\circ} \\ \Rightarrow W_{B C_{1}} (\vec{P}) & = & - 3.0 J \end{array} \end{matrix}

$W_{BC_{1}}\left(\overrightarrow{R}\right)=\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{BC_{1}}=0\left(\overrightarrow{R}\perp\overrightarrow{BC_{1}}\right)$

5. Déduction de $V_{c_{1}}$

Le théorème de l'énergie cinétique au solide entre les instants $t_{B}$ et $t_{C_{1}}$ s'écrit :

\begin{array}{rcl} E_{C_{c_{1}}} - E_{C_{B}} & = & W_{B C_{1}} (\vec{P}) + W_{B C_{1}} (\vec{R}) \\ \Rightarrow \frac{1}{2} m V_{C_{1}}^{2} - \frac{1}{2} m V_{B}^{2} & = & - m g B C_{1} \sin α + 0 \\ \Rightarrow V_{C_{1}}^{2} - V_{B}^{2} & = & - 2 g B C_{1} \sin α \\ \Rightarrow V_{C_{1}}^{2} & = & V_{B}^{2} - 2 g B C_{1} \sin α \\ \Rightarrow V_{C_{1}} & = & \sqrt{V_{B_{1}} - 2 g B C_{1} \sin α} \\ \Rightarrow V_{C_{1}} & = & \sqrt{6^{2} - 2 \times 10 \times 1 \times \sin 30^{\circ}} \\ \Rightarrow V_{C_{1}} & = & 5.1 m \cdot s^{- 1} \end{array}

6. Déduction de $BC_{2}$ la distance parcourue par le mobile avant de rebrousser chemin en $C_{2}.$

\begin{array}{rcl} E_{C_{c_{1}}} - E_{C_{B}} & = & W_{B C_{2}} (\vec{P}) + W_{B C_{2}} (\vec{R}) \\ \Rightarrow 0 - \frac{1}{2} m V_{B}^{2} & = & - m g B C_{2} \sin α + 0 \\ \Rightarrow - V_{B}^{2} & = & - 2 g B C_{2} \sin α \\ \Rightarrow 2 g B C_{2} \sin α & = & V_{B}^{2} \\ \Rightarrow B C_{2} & = & \frac{V_{B}^{2}}{2 g \sin α} \\ \Rightarrow B C_{2} & = & \frac{6^{2}}{2 \times 10 \sin 30^{\circ}} \\ \Rightarrow B C_{2} & = & 3.6 m \end{array}

Exercice 2

1.1. Bilan des forces qui s'appliquant sur le mobile au point $M$ sont : $\overrightarrow{P}$ et $\overrightarrow{R}.$

1.2. Expression du travail de chacune des forces, au point $M$, en fonction de $m$, $g$, $r$ et $\theta.$

$W_{AM}\left(\overrightarrow{P}\right)=\overrightarrow{P}\cdot\overrightarrow{AM}=mgr\cos\theta$

$W_{AM}\left(\overrightarrow{R}\right)=\overrightarrow{R}\cdot\overrightarrow{AB}=0\quad\text{car}\quad\overrightarrow{R}\perp\overrightarrow{AB}$

1.3. Établissement de l'expression littérale de la vitesse $V_{M}$ du mobile en fonction de $V_{A}$, $g$, $r$ et $\theta.$

Appliquons le théorème de l'énergie cinétique au point $M$ et

\begin{array}{rcl} E_{C_{M}} - E_{C_{A}} & = & W_{A M} (\vec{P}) + W_{A M} (\vec{R}) \\ \Rightarrow \frac{1}{2} m V_{M}^{2} & = & m g r \cos θ + 0 \\ \Rightarrow \frac{1}{2} m V_{M}^{2} & = & \frac{1}{2} m V_{A}^{2} + m g r \cos θ \\ \Rightarrow V_{M}^{2} & = & V_{A}^{2} + 2 g r \cos θ \\ \Rightarrow V_{M} & = & \sqrt{V_{A}^{2} + 2 g r \cos θ} \end{array}

1.4. Calcul de $V_{M}$ en $B$ $($pour $\theta=0).$

\begin{array}{rcl} V_{M} & = & \sqrt{V_{A}^{2} + 2 g r \cos θ}; pour θ = 0 \\ \Rightarrow V_{M} & = & \sqrt{V_{A}^{2} + 2 g r \cos 0} \\ \Rightarrow V_{B} & = & \sqrt{V_{A}^{2} + 2 g r} \\ \Rightarrow V_{B} & = & \sqrt{5^{2} + 2 \times 10 \times 1} \\ \Rightarrow V_{B} & = & 6.71 m \cdot s^{- 1} \end{array}

2. Détermination de l'expression littérale et numérique de $f.$

\begin{array}{rcl} E_{C_{C}} - E_{C_{B}} & = & W_{B C} (\vec{P}) + W_{B C} (\vec{R}) + W_{B C} (\vec{f}) \\ \Rightarrow \frac{1}{2} m V_{C}^{2} - \frac{1}{2} m V_{B}^{2} & = & 0 + 0 - f \times B C \\ \Rightarrow f & = & \frac{m (V_{B}^{2})}{2 B C} \\ \Rightarrow f & = & \frac{0.1 \times ({6.71}^{2} - 5)}{2 \times 1} \\ \Rightarrow f & = & 1 N \end{array}

Exercice 3 Voiture tremplin

1. Dans le référentiel terrestre supposé galiléen, les forces s'exerçant sur le système {ensemble automobile-pilote} sont :

$-\ $dans la phase $BO$ : son poids $\overrightarrow{P}$, la réaction $\overrightarrow{R}$ du support, les frottements $\overrightarrow{f}$ et la traction $\overrightarrow{T}$ du système.

$-\ $dans la phase $OE$ : son poids $\overrightarrow{P}.$

$-\ $dans la phase $EH$ : son poids $\overrightarrow{P}$, la réaction normale $\overrightarrow{R}$ du support, les frottements $\overrightarrow{f}$ et la force de freinage $\overrightarrow{F}$

2. Si on suppose que le système est soumis à des forces qui ne se compensent pas dans la phase $BO$, alors le système n'est pas pseudo isolé (d'après le principe d'inertie).

Si on suppose qu'il évolue à vitesse constante et à trajectoire rectiligne, alors le système est pseudo isolé (d'après le principe d'inertie).

Dans la phase $OE$, le système n'est soumis qu'à son poids ; il n'est donc pas pseudo isolé.

Dans la phase $EH$, le système freine donc(les forces ne se compensent plus), d'après le principe d'inertie, il n'est pas pseudo isolé.

3. Détermination du travail de chaque force de chacune des phases :

$-\ $Phase $BO$

\begin{array}{rcl} W_{B O} (\vec{P}) & = & - m g \cdot O C \\ = & - 1.00 \cdot 10^{3} \times 9.81 \times 8.00 \\ = & - 78.5 \cdot 10^{3} J \end{array}

$W_{BO}\left(\overrightarrow{R}\right)=0\quad\text{car}\quad\overrightarrow{R}\perp\overrightarrow{BO}$

\begin{array}{rcl} W_{B O} (\vec{f}) & = & \vec{f} \cdot B O \\ = & - \frac{500 \times 8.00}{\sin {15.5}^{\circ}} \\ \Rightarrow W_{B O} (\vec{f}) & = & - 15.5 \cdot 10^{3} J \end{array}

\begin{array}{rcl} W_{B O} (\vec{T}) & = & \vec{T} \cdot \vec{B O} \\ = & \frac{T \times O C}{\sin α} \end{array}

$-\ $Phase $OE$

\begin{array}{rcl} W_{B O} (\vec{P}) & = & - m g (E D - O C) \\ = & - 1.00 \cdot 10^{3} \times 9.81 \times (10.0 - 8.00) \\ = & - 19.6 \cdot 10^{3} J \end{array}

$-\ $Phase $EH$

$W_{EH}\left(\overrightarrow{P}\right)=0J\ (\overrightarrow{P}\perp\overrightarrow{BH})$

$W_{EH}\left(\overrightarrow{f}\right)=0J\ (\overrightarrow{R}\perp\overrightarrow{EH})$

\begin{array}{rcl} W_{E H} (\vec{f}) & = & - 500 \times 100 \\ \Rightarrow W_{E H} (\vec{f}) & = & - 50.0 \cdot 10^{3} J \end{array}

4. D'après le théorème de l'énergie cinétique (dans un référentiel galiléen, la variation d'énergie cinétique d'un système en translation entre deux points est égale à la somme des travaux des forces qui s'exercent sur ce système entre ces deux points.) entre $O$ et $E$, on a :

\frac{1}{2} m v_{1}^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = W_{O E} (\vec{P})

\begin{array}{rcl} soit \frac{1}{2} m v_{1}^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} & = & m g (O C - E D) \\ \Rightarrow v_{0} & = & \sqrt{v_{1}^{2} + 2 g (D E - O C)} \\ \Rightarrow v_{0} & = & \sqrt{24^{2} + 2 \times 9.81 (10.0 - 8.00)} \\ \Rightarrow v_{0} & = & 24.8 m \cdot s^{- 1} \end{array}

5. D'après le théorème de l'énergie cinétique entre $E$ et $H$, on a :

$\dfrac{1}{2}mv_{H}^{2}-\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2} =W_{EH}\left(\overrightarrow{F}\right)+W_{EH}\left(\overrightarrow{f}\right).$

Or $v_{H}=0\,m\cdot s^{-1}$

d'où il vient : $-\dfrac{1}{2}mv_{1}^{2}=-f\times EH-F\times EH.$

Donc $F=\dfrac{mv_{1}^{2}}{2EH}-f=\dfrac{1.00\cdot 10^{3}\times 24^{2}}{2\times 10.00}-500=23.8\cdot 10^{3}.$

6. La puissance du travail de la force $\overrightarrow{F}$

\begin{array}{rcl} P & = & \frac{W_{E H} (\vec{F})}{t} \\ = & \frac{- F \times E H}{t} \\ = & \frac{- 23.8 \cdot 10^{3} \times 10.00}{8.00} \\ = & - 29.8 \cdot 10^{3} W . \end{array}

Exercice 4

1. Calcul des vitesses $V_{B}$ et $V_{C}$ avec lesquelles le skieur passe en $B$ et en $C.$

$\bullet\ $Système étudié : le skieur

$\bullet\ $Référentiel d'étude : référentiel terrestre supposé galiléen

$\bullet\ $Bilan des forces appliquées : $\overrightarrow{P}$ et $\overrightarrow{R}$

Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit :

$-\ $entre $A$ et $B$

\begin{array}{rcl} E_{c_{B}} - E_{c_{A}} & = & W_{A B} (\vec{P}) + W_{A B} (\vec{R}) \\ \Rightarrow \frac{1}{2} m V_{B^{2}} - 0 & = & m g r (1 - \cos α) + 0 \\ \Rightarrow \frac{1}{2} m V_{B^{2}} & = & m g r (1 - \cos α) \\ \Rightarrow V_{B^{2}} & = & 2 g r (1 - \cos α) \\ \Rightarrow V_{B} & = & \sqrt{2 g r (1 - \cos α)} \\ = & \sqrt{2 \times 10 \times 5 (1 - \cos 60^{\circ})} \\ \Rightarrow V_{B} & = & 7.07 m \cdot s^{- 1} \end{array}

$-\ $entre $B$ et $C$

\begin{array}{rcl} E_{c_{C}} - E_{c_{B}} & = & W_{B C} (\vec{P}) + W_{B C} (\vec{R}) \\ \Rightarrow \frac{1}{2} m V_{C}^{2} - \frac{1}{2} m V_{B}^{2} & = & 0 + 0 \\ \Rightarrow V_{C}^{2} & = & V_{B}^{2} \\ \Rightarrow V_{C} & = & V_{B} \\ \Rightarrow V_{C} & = & 7.07 m \cdot s^{- 1} \end{array}

2.1 Expression de $V_{B}$ en fonction de $m$, $r$, $f$, et $g.$

Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit :

$-\ $entre $A$ et $B$

\begin{array}{rcl} E_{c_{B}} - E_{c_{A}} & = & W_{A B} (\vec{P}) + W_{A B} (\vec{R}) + W_{A B} (\vec{f}) \\ \Rightarrow \frac{1}{2} m V_{B}^{2} - 0 & = & m g r (1 - \cos α) + 0 - f r α avec (α = \frac{π}{3}) \\ \Rightarrow \frac{1}{2} m V_{B}^{2} & = & m g r (1 - \cos α) - f \times \frac{π}{3} r \\ \Rightarrow V_{B}^{2} & = & 2 g r (1 - \cos α) - 2 f \times \frac{π}{3} r \\ \Rightarrow V_{B} & = & \sqrt{2 g r (1 - \cos α) - 2 f \times \frac{π}{3} r} \end{array}

2.2 Expression de $V_{c}$ en fonction de $m$, $r$, $f$ et $V_{B}$

Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit :

$-\ $entre $B$ et $C$

\begin{array}{rcl} E_{c_{C}} - E_{c_{B}} & = & W_{B C} (\vec{P}) + W_{B C} (\vec{R}) + W_{B C} (\vec{f}) \\ \Rightarrow \frac{1}{2} m V_{C}^{2} - \frac{1}{2} m V_{B}^{2} & = & 0 + 0 - f r \\ \Rightarrow V_{C}^{2} & = & 2 V_{B}^{2} - \frac{2 f r}{m} \\ \Rightarrow V_{C} & = & \sqrt{2 (V_{B}^{2} - \frac{f r}{m})} \end{array}

2.3 Calcul de l'intensité de la force de frottement

\begin{array}{rcl} V_{c} & = & \sqrt{2 (V_{B}^{2} - \frac{f r}{m})} \\ = & 0 \\ \Rightarrow 2 (V_{B}^{2} - \frac{f r}{m}) & = & 0 \\ \Rightarrow \frac{f r}{m} & = & V_{B}^{2} \\ \Rightarrow f & = & \frac{m V_{B}^{2}}{r} \\ = & \frac{80 \times {7.07}^{2}}{5} \\ \Rightarrow f & = & 8.0 \cdot 10^{2} N \end{array}

3.1 Expression de la vitesse $V_{E}$ en fonction de $g$, $r$ et $\theta$

Le théorème de l'énergie cinétique s'écrit :

$-\ $entre $C$ et $E$

\begin{array}{rcl} E_{c_{E}} - E_{c_{C}} & = & W_{C E} (\vec{P}) + W_{C E} (\vec{R}) \\ \Rightarrow \frac{1}{2} m V_{E}^{2} - 0 & = & m g r (1 - \sin θ) \\ \Rightarrow V_{E}^{2} & = & 2 g r (1 - \sin θ) \\ \Rightarrow V_{E} & = & \sqrt{2 g r (1 - \sin θ)} \end{array}

3.2 Calcul de la valeur de l'angle $\theta$

\begin{array}{rcl} V_{E}^{2} & = & 2 g r (1 - \sin θ) \\ \Rightarrow (1 - \sin θ) & = & \frac{V_{E}^{2}}{2 g r} \\ \Rightarrow \sin θ & = & 1 - \frac{V_{E}^{2}}{2 g r} \\ \Rightarrow θ & = & \sin^{- 1} (1 - \frac{V_{E}^{2}}{2 g r}) \\ \Rightarrow θ & = & \sin^{- 1} (1 - \frac{{5.77}^{2}}{2 \times 10 \times 5}) \\ \Rightarrow θ & = & 60^{\circ} \end{array}

4. vitesse avec laquelle le skireur atterrit sur la piste de réception en un point $G$

\begin{array}{rcl} V_{E} & = & \sqrt{2 g r (1 - \sin θ)}, au point G, θ = 0 \\ \Rightarrow V_{E} & = & \sqrt{2 g r (1 - \sin 0)} \\ \Rightarrow V_{E} & = & \sqrt{2 g r} \\ = & \sqrt{2 \times 10 \times 5} \\ \Rightarrow V_{E} & = & 10 m \cdot s^{- 1} \end{array}

Commentaires

Ndiaye Badara (non vérifié)

dim, 03/20/2022 - 15:04

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