Bac Maths D, Niger 2016

 

Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{I}\;,\ \vec{J}).$ 

 

On considère la transformation ponctuelle $F$, qui au point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ défini par :

$$z'=m^{3}z+m(m+1)\;,\quad m\in\mathbb{C^{\ast}}$$

 

1) Donner la nature de la transformation $F.$

 

2) On suppose $m=1+\mathrm{i}.$ 

 

Donner dans ce cas les éléments géométriques de $F.$

 

3) Déterminer l'ensemble des nombres complexes $m$ pour lesquels $F$ est une translation.

 

4) Déterminer l'ensemble des nombres complexes $m$ pour lesquels $F$ est une homothétie de rapport $8.$

1) Linéariser l'expression $f(x)=\sin^{3}x\cos x$

 

2) Chercher une primitive de $f(x)-\dfrac{1}{4}\sin 2x$

A) On considère l'équation différentielle : $$y''+y'-2y=-3\mathrm{e}^{x}\quad (1).$$

 

1) Déterminer le réel $a$ pour que la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=a x\mathrm{e}^{x}$ soit solution de l'équation différentielle $(1).$

 

2) a) Démontrer qu'une fonction $h$ deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ est solution de $(1)$ si et seulement si la fonction $h-g$ est solution de l'équation différentielle :

$$y''+y'-2y=0\quad (2).$$

 

b) Résoudre l'équation différentielle $(2).$

 

c) En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(1).$

 

d) Trouver la solution de $(1)$ vérifiant les conditions $h(0)=1$  et $h'(0)=0.$

 

B) Le plan est muni d'un repère orthonormé $(O\;,\ \vec{I}\;,\ \vec{J})$  $($unité : $1\,cm).$

 

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(1-x)\mathrm{e}^{x}$  et $(\mathcal{C})$ sa courbe représentative dans le repère orthonormé $(O\;,\ \vec{I}\;,\ \vec{J}).$ 

 

1) Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation.

 

2) Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ à $(\mathbb{C})$ au point d'abscisse $x=-1.$

 

3) Tracer la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère $(O\;,\ \vec{I}\;,\ \vec{J}).$ 

 

4) a) Soit $\alpha$ un réel supérieur à $1.$ 

 

Calculer l'aire $\mathcal{A}(\alpha)$ de la partie du plan comprise entre la courbe $(\mathcal{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations :

$$x=1\quad\text{et}\quad x=\alpha$$

 

b) Calculer $\lim\,_{\alpha\rightarrow+\infty}\;\mathcal{A}(\alpha).$

 

5) a) Montrer que la restriction de $f$ à $]-\infty\;,\ 0]$ est une bijection de $]-\infty\;,\ 0]$ sur un intervalle $J$ que l'on précisera.

 

b) Tracer la courbe représentative $(\Gamma)$ de la réciproque de cette bijection sur le même graphique que $(\mathcal{C}).$

 

6) Déterminer graphiquement, suivant les valeurs du réel $m$, le nombre de points d'intersection de $(\mathcal{C})$ avec la droite $(\Delta m)$ d'équation $y=m.$