Bac Maths D, Niger 2010

 

On considère, dans $\mathbb{C}$, l'équation : $$(E)\ :\ z^{3}-3\sqrt{3}\mathrm{i} z^{2}-(9-3\sqrt{3}\mathrm{i})z+8=0$$     

 

1. Montrer que $(E)$ possède une solution réelle $z_{1}$ que l'on déterminera. 

 

2. Résoudre $(E).$ 

 

3. Écrire les trois solutions $z_{1}$,  $z_{2}$, $z_{3}$ sous forme trigonométrique. 

$$\left(\left|z_{2}\right|<\left|z_{3}\right|\right)$$ 

 

4. Dans le plan $\mathcal{P}$ muni d'un repère orthonormé direct $\left(O\;,\ \vec{I}\;,\ \vec{J}\right)$, on considère les trois points : 

 

$M_{1}$ d'affixe $z_{1}$, $M_{2}$ d'affixe $z_{2}$ et $M_{3}$ d'affixe $Z_{3}.$ 

 

Soit $S$ la similitude plane directe transformant $M_{1}$ en $M_{2}$ et $M_{2}$ en $M_{3}.$ 

 

Préciser les éléments caractéristiques de $S.$ 

On considère l'équation différentielle : $$y''+4y=3\sin(x)\quad (1)$$

 

1. Déterminer le réel $\alpha$ pour que la fonction $g$, définie par $g(x)=\alpha\sin(x)$ soit une solution de (1). 

 

2. a) Démontrer qu'une fonction $f$, deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$, est solution de (1) si et seulement si la fonction $f-g$ est solution de l'équation différentielle :   $$y''+4y=0\quad (2).$$ 

 

b) Résoudre l'équation différentielle (2). 

 

C) En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (1). 

 

d) Trouver la solution de (1) vérifiant les conditions : $$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\quad\text{et}\quad f'(\pi)=0.$$ 

A. On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : 

$$f(x)=|x+1|+\dfrac{1}{x-1}$$

                                                                                                       

1. Donner le domaine de définition de  $f$ et écrire $f(x)$ sans le symbole de valeur absolue. 

 

2. Étudier les limites aux bornes du domaine de définition de $f.$ 

 

3. Étudier la dérivabilité de $f$ en $-1.$ 

 

4. Étudier la variation de $f$ et dresser son tableau de variation. 

 

5. Montrer que la courbe représentative $(\mathfrak{C})$ de $f$ admet trois asymptotes dont on donnera les équations. 

 

6. Construire la courbe représentative $\left(\mathfrak{C}_{f}\right)$ dans un repère orthonormé $\left(O\;,\ \vec{I}\;,\ \vec{J}\right)$ $($unité : $2\,cm).$ 

 

7. Montrer que la restriction de $f$ à $[0\;,\ 1[$ est une bijection de $[0\;,\ 1[$ sur un intervalle $J$ que l'on précisera. 

 

Tracer la courbe représentative de cette bijection sur le même graphique que $(\mathfrak{C}).$ 

 

8. a) Calculer les intégrales : $$S_{1}=\int_{-\sqrt{2}}^{-1}f(x)\mathrm{d}x\quad\text{et}\quad S_{2}=\int_{-1}^{0}f(x)\mathrm{d} x.$$ 

 

b) En déduire l'aire de la portion du plan limitée par la courbe $(\mathfrak{C})$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=-\sqrt{2}$ et $x=0.$ 

 

B. a) A toute suite $\left(U_{n}\right)n\in\mathbb{N^{\ast}}$, de nombres réels strictement supérieurs à 1, on associe la suite $\left(V_{n}\right) n\in\mathbb{N^{\ast}}$ définie par $V_{n}=\ln\left(U_{n}-1\right).$ 

 

Sachant que $\left(V_{n}\right)$ est une suite arithmétique, de raison $(r \neq 0)$ et de premier terme $V_{1}=0$, donner l'expression du terme général $U_{n}$ en fonction de $n$ et de $r.$ 

 

b) Comment choisir le réel $r$ pour que la suite $\left(U_{n}\right)n\in\mathbb{N^{\ast}}$ soit convergente ? 

 

Donner la limite. 

 

c) Calculer, en fonction de $U_{n}$, l'aire de la partie du plan limitée par la courbe $(\mathfrak{C})$ de $f$, les droites d'équations $y=x+1$, $x=2$ et $x=U_{n}.$