Bac Maths D, Burkina 2011

Dans le tableau suivant figurent les résultats d'une enquête réalisée dans un magasin pour déterminer le nombre d'acheteurs potentiels d'un modèle de chaussures, en fonction de son prix de vente.

Prix en francs :
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Prix en francs : }x_{i}&350&400&450&500&550&600\\ \hline \text{Nombre d'acheteurs}&&&&&&\\ \text{potentiels }y_{i} &140&120&100&90&80&55\\ \hline \end{array} $$

1. Représenter le nuage de points $\left(x_{i}\right)$, correspondant à cette série statistique dans un repère orthonormal $(O\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ tel que $1\,cm$ représente $100$ francs sur l'axe des abscisses et $1\,cm$ représente $20$ acheteurs sur l'axe des ordonnées.  

2. On appelle $G_{1}$ et $G_{2}$ les points moyens des sous nuages constitués d'une part par les trois premiers points et d'autre part par les trois derniers points.     

a) Calculer les coordonnées de $G_{1}$ et $G_{2}.$     

b) Placer les points $G_{1}$ et $G_{2}$ sur la figure tracer la droite  $\left(G_{1}G_{2}\right).$     

c) Déterminer une équation de la forme $y=mx+p$ de la droite $\left(G_{1}G_{2}\right).$  

3. Déduire du 2. c) une équation :     

a) du nombre d'acheteurs potentiels d'un modèle de chaussures vendu $650\ F.$     

b) du prix d'un modèle dont le nombre d'acheteurs potentiel est $150.$

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal $(O\ ;\ \vec{u}\;,\ \vec{v}).$  

Soient les nombres complexes $a=\dfrac{\sqrt{3}+1}{4}+\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}-1}{4}$ et $z_{0}=6+6\mathrm{i}.$

On note $A_{0}$ le point d'affixe $z_{0}$ et pour tout $n$ entier non nul, on désigne par $A_{n}$ le point d'affixe $z_{n}$ définie par $z_{n}=a^{n}z_{0}.$   

1. a) Exprimer $z_{1}$ et $a_{2}$ sous forme algébrique.

Écris $z_{1}$ sous forme exponentielle et montrer que $a_{2}=\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\dfrac{\pi}{6}}.$      

b) Exprimer $z_{3}$ et $z_{7}$ en fonction de $z_{1}$ et $a_{2}$ ; en déduire $z_{3}$ et $z_{7}$ sous forme exponentielle.  

2. Pour tout $n$ entier naturel, on pose $|z_{n}|=r_{n}.$  

a) Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}\;,\ r_{n}=12\cdot\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{n}.$

b) En déduire que la suite $\left(r_{n}\right)\;n\in\mathbb{N}$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.  

c) Déterminer la limite de la suite $\left(r_{n}\right)$ et interpréter géométriquement le résultat obtenu.

Soit $f$ la fonction numérique définie par $f(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{x}}$ et de courbe représentative $(\mathcal{C})$ dans un repère orthonormal $(O\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j})$ du plan $($unité graphique $4\,cm).$  

1. a) Déterminer l'ensemble de définition de $f.$  

b) Calculer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $−\infty.$  

2. Étudier le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation.  

3. Soit $A$ le point de $(\mathcal{C})$ d'abscisse $0.$  

a) Déterminer l'équation réduite de la tangente $(T)$ à $(\mathcal{C})$ en $A.$

b) Montrer que $A$ est un centre de symétrie pour $(\mathcal{C}).$  

4. Tracer $(T)$ et $(\mathcal{C})$ dans le repère $(O\ ;\ \vec{i}\;,\ \vec{j}).$  

Soit $n$ un entier naturel.

On désigne par $\mathcal{D}_{n}$ le domaine du plan délimité par la courbe $(\mathcal{C})$ et les droites d'équations $y=1$, $x=0$, $x=n.$

$\mathcal{A}_{n}$ désigne l'aire de la région $\mathcal{D}_{n}$ exprimer en unité d'aire.  

1. Hachurer la région $\mathcal{D}_{2}$ sur le graphique $($pour $n=2).$  

2. Montrer que $\mathcal{A}_{n}=\ln 2-\ln(1+\mathrm{e}^{n})+n.$  

3. Calculer $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\mathcal{A}_{n}.$  

1. Déterminer les nombres réels $a$ et $b$ tels que :$$\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{(1+\mathrm{e}^{x})^{2}}=\dfrac{a\mathrm{e}^{x}}{(1+\mathrm{e}^{x})}+\dfrac{b\mathrm{e}^{x}}{(1+\mathrm{e}^{x})}.$$  

2. Soit $\alpha$ un réel négatif.

On note $(\alpha)$ le volume du solide engendré par la rotation autour de l'axe des abscisses de la portion de la courbe $(\mathcal{C})$ obtenue pour $\alpha\leq x\leq 0.$  

a) Exprimer $(\alpha)$ en fonction de $\alpha.$  

b) Déterminer la limite de $(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers $−\infty.$

Soit $(\Gamma)$ la courbe paramétrée de représentation paramétrique :  
$$\left\lbrace\begin{array}{lcl} x(t)&=&\ln t\quad t\geq 1\\\\ y(t)&=&\dfrac{1}{1+t}-1 \end{array}\right\rbrace$$

1. Déterminer une équation cartésienne de $(\Gamma).$

2. Expliquer comment à partir de $(\mathcal{C})$) on obtient $(\Gamma).$

Construire $(\Gamma)$ en pointillés.

On donne :

$(1n 2)\simeq 0.62$ ;   

$f(1)\simeq 0.73$ ;  

$f(2)\simeq 0.88.$