Corrigé Bac Maths S1-S1A-S3 1er groupe 2023

 

 

Nota Bene :

 

Pour la correction des copies, il faudra tenir compte, pour chaque réponse à une question de l'épreuve de :

 

$\surd\ $La justesse du raisonnement pour $50\%$ de la note. 

 

Si le raisonnement est acceptable mais insuffisant, on donne $25\%$ de la note.

 

$\surd\ $L'exactitude des résultats qui doivent être conformes aux résultats attendus et qui sont en adéquation avec le raisonnement pour $50\%$ de la note.

 

Exercice 1 

 

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{u}\ ;\ \vec{v})$ d'unité $1\,cm$, on considère les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixes respectives :

 

$Z_{A}=1$

 

$Z_{B}=1-\mathrm{i}\sqrt{3}$

 

$Z_{C}=\dfrac{1}{4}-\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}$

 

et $Z_{D}=4$

 

1. Soit $f$ la similitude plane directe qui transforme $A$ en $C$ et $D$ en $B.$

 

a) Déterminons les éléments géométriques caractéristiques de $f.$

 

$f\ :\ z'=az+b$

 

$f(A)=C\Rightarrow\;z_{C}=az_{A}+b$

 

$f(D)=B\Rightarrow\;z_{B}=az_{D}+b$

 

On en déduit que : 

 

$\begin{array}{rcl} a&=&\dfrac{z_{C}-z_{B}}{z_{A}-z_{D}}\\&=&\dfrac{\dfrac{1}{4}-\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}-1+\mathrm{i}\sqrt{3}}{1-4}\\&=&\dfrac{1}{4}-\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4} \end{array}$

 

De plus, $z_{C}=az_{A}+b$ donc $b=0.$

 

Par suite $f\ :\ z'=\left(\dfrac{1}{4}-\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)z.$

 

La similitude $f$ a pour :

 

$\blacktriangleright\ $centre $O$ ;

 

$\blacktriangleright\ $rapport $k=\left|\dfrac{1}{4}-\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right|=\dfrac{1}{2}$ ;

 

$\blacktriangl<eright\ $angle $\theta=\text{arg}\left(\dfrac{1}{4}-\mathrm{i}\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)-\dfrac{\pi}{3}[2\pi]$

 

b) Déterminons l'image $(\mathcal{C'})$ du cercle $(\mathcal{C})$ de centre $A$ et de rayon $6$ par $f.$

 

L'image $(\mathcal{C'})$ de $(\mathcal{C})$ est le cercle de centre $f(A)=C$ et de rayon