Bac Maths D, Benin 2019

Contexte :

Une démarche originale vers l'extension d'un maquis-bar. Pour le compte du maquis-bar de M.
 
Sokéo, une enquête a été mené pendant dix mois au sujet du nombre X de clients par mois et la recette mensuelle Y en millions de francs CFA.

Les résultats sont résumés dans le tableau ci-après :
xi1000150025005000400045002000150030003500yi23.55.5118.5104.536.58

Têtê, fils de Sokéo, s'intéresse à la série statistique double (X, Y), X correspondant aux valeurs de xi et Y correspondant aux valeurs de yi ainsi définies.

Par ailleurs, Têtê offre ses services à son père pour quelques constructions mathématiques en vue de la décoration d'un autre maquis-bar en projet.

Tache :

Tu es invité à apporter des réponses adéquates aux préoccupations de Têtê en résolvant les trois problèmes suivants :

Problème 1 :

1. a) Représenter le nuage de points de la série double de caractère (X ; Y).

(On prendra 1cm pour 1000 clients sur l'axe des abscisses et 1cm pour un million de FCFA sur l'axe des ordonnées).

b) Écrire une équation cartésienne de la droite de régression de Y en X.

2. a) Calculer le coefficient de corrélation linéaire.

b) Interpréter ce coefficient.

Problème 2 :

Dans le plan complexe (P) muni d'un repère orthonormé direct (O, i ; j) on considère l'équation cartésienne suivant d'inconnue z :(E) : z2(1+3+2i)z+31+i(1+3)=0.

dont les solutions u et v sont les affixes respectives des points A et B tels que Re(u)>Re(v).

On désigne par r la rotation de centre C et d'angle π4 qui transforme A en B.

Une première décoration proposée par Têtê est composée du cercle (Γ) circonscrit au triangle ABC et de son image (Γ) par r.

3. a) Calculer (13)2

b) Résous dans C l'équation (E)

c) Déterminer une écriture complexe de la rotation r.

4. a) Justifier que le point C a pour affixe w=2(1i)1i3.

b) Écrire w sous forme exponentielle.

c) Préciser la nature du triangle ABC.

d) Construire l'image (Γ) du cercle (Γ) par la rotation r.

Problème 3 :

Une autre décoration proposée par Têtê est le domaine (Δ) délimité par les courbes représentatives (Γf) et (Γg) de deux fonctions f et g et l'axe des abscisses.

La fonction f est la primitive sur R prenant la valeur 1 en 0 de la fonction x1+(1+x)ex

La fonction g est définie par : g(x)=1xxex.

1. a) A l'aide d'un intégration par partie, justifier que x0(1+t)etdt=xex.

b) Démontrer que pour tout nombres réel x, f(x)=x+1+xex.

2. a) Justifier que la dérivée f de la fonction f admet un minimum que tu préciseras.

b) Déduis-en le signe de f(x) pour tout x élément de R.

3. Achève l'étude des variations de f.

4. Démontrer que l'équation f(x)=0 admet dans R une solution unique α et que 1<α<12

5. a) Étudier les branches infinies de (Γf).

b) Tracer la courbe (Γf)

6. a) Vérifier que : xR, g(x)=f(x)

b) Déduis-en que (Γg) est l'image de (Γf) par une transformation que tu caractériseras.

c) Construire (Γg) sur la même figure que (Γf)

7. a) Justifier que 0αg(x)dx=0αf(x)dx.

b) Calculer 0αf(x)dx.
 

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