Bac Maths D, Benin 2019

Une démarche originale vers l'extension d'un maquis-bar. Pour le compte du maquis-bar de $M.$
 
Sokéo, une enquête a été mené pendant dix mois au sujet du nombre $X$ de clients par mois et la recette mensuelle $Y$ en millions de francs $CFA$.

Les résultats sont résumés dans le tableau ci-après :
$$\begin{array}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x_{i}&1000&1500&2500&5000&4000&4500&2000&1500&3000&3500\\ \hline y_{i}&2&3.5&5.5&11&8.5&10&4.5&3&6.5&8\\ \hline \end{array}$$

Têtê, fils de Sokéo, s'intéresse à la série statistique double $(X\;,\ Y)$, $X$ correspondant aux valeurs de $x_{i}$ et $Y$ correspondant aux valeurs de $y_{i}$ ainsi définies.

Par ailleurs, Têtê offre ses services à son père pour quelques constructions mathématiques en vue de la décoration d'un autre maquis-bar en projet.

Tu es invité à apporter des réponses adéquates aux préoccupations de Têtê en résolvant les trois problèmes suivants :

1. a) Représenter le nuage de points de la série double de caractère $(X\ ;\ Y).$

$($On prendra $1\,cm$ pour $1000$ clients sur l'axe des abscisses et $1\,cm$ pour un million de $FCFA$ sur l'axe des ordonnées$).$

b) Écrire une équation cartésienne de la droite de régression de $Y$ en $X.$

2. a) Calculer le coefficient de corrélation linéaire.

b) Interpréter ce coefficient.

Dans le plan complexe $(\mathcal{P})$ muni d'un repère orthonormé direct $(O\;,\ \vec{i}\ ;\ \vec{j})$ on considère l'équation cartésienne suivant d'inconnue $z$ :$$(E)\ :\ z^{2}-(1+\sqrt{3}+2\mathbb{i})z+\sqrt{3}-1+\mathrm{i}(1+\sqrt{3})=0.$$

dont les solutions $u$ et $v$ sont les affixes respectives des points $A$ et $B$ tels que $Re(u)>Re(v).$

On désigne par $r$ la rotation de centre $C$ et d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ qui transforme $A$ en $B.$

Une première décoration proposée par Têtê est composée du cercle $(\Gamma)$ circonscrit au triangle $ABC$ et de son image $(\Gamma')$ par $r.$

3. a) Calculer $(1-\sqrt{3})^{2}$

b) Résous dans $\mathcal{C}$ l'équation $(E)$

c) Déterminer une écriture complexe de la rotation $r.$

4. a) Justifier que le point $C$ a pour affixe $w=\dfrac{2(1−\mathrm{i})}{1- \mathbb{i}\sqrt{3}}.$

b) Écrire $w$ sous forme exponentielle.

c) Préciser la nature du triangle $ABC.$

d) Construire l'image $(\Gamma')$ du cercle $(\Gamma)$ par la rotation $r.$

Une autre décoration proposée par Têtê est le domaine $(\Delta)$ délimité par les courbes représentatives $(\Gamma_{f})$ et $(\Gamma_{g})$ de deux fonctions $f$ et $g$ et l'axe des abscisses.

La fonction $f$ est la primitive sur $\mathbb{R}$ prenant la valeur $1$ en $0$ de la fonction $x\longmapsto 1+(1+x)^{\mathrm{e}^{x}}$

La fonction $g$ est définie par : $g(x)=1−x−\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}.$

1. a) A l'aide d'un intégration par partie, justifier que $$\int_{0}^{x}(1+t)\mathrm{e}^{t}\mathrm{d}t=x\mathrm{e}^{x}.$$

b) Démontrer que pour tout nombres réel $x$, $f(x)=x+1+x\mathrm{e}^{x}.$

2. a) Justifier que la dérivée $f'$ de la fonction $f$ admet un minimum que tu préciseras.

b) Déduis-en le signe de $f'(x)$ pour tout $x$ élément de $\mathbb{R}.$

3. Achève l'étude des variations de $f.$

4. Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet dans $\mathbb{R}$ une solution unique $\alpha$ et que $-1<\alpha<−\dfrac{1}{2}$

5. a) Étudier les branches infinies de $(\Gamma_{f}).$

b) Tracer la courbe $(\Gamma_{f})$

6. a) Vérifier que : $\forall x\in\mathbb{R}\;,\ g(x)=f(−x)$

b) Déduis-en que $(\Gamma_{g})$ est l'image de $(\Gamma_{f})$ par une transformation que tu caractériseras.

c) Construire $(\Gamma_{g})$ sur la même figure que $(\Gamma_{f})$

7. a) Justifier que $$\int_{-\alpha}^{0}g(x)\mathrm{d}x=\int^{0}_{\alpha} f(x)\mathrm{d}x.$$

b) Calculer $$\int_{\alpha}^{0}f(x)\mathrm{d}x.$$