Corrigé BFEM Maths 2022

 

Exercice 1

Dans le tableau ci-dessous nous porterons le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie.
NQuestionsRéponsesOn considère deux angles ˆA et ˆB tels que :1ˆA=90ˆBBQuelle relation a-t-on ?Soit MNP un triangle rectangle en N tel que :2MN=6cm et ^MPN=30BQuelle est la mesure de la longueur de [MP] ?On donne une droite (D) d'équation :33y=6x+2 dans un repère orthonormal.CQuel est le coefficient directeur de la droite (D) ?Soient u(31) et v(2y) deux vecteurs du plan.4Pour quelle valeur de y les vecteurs u et vAsont-ils colinéaires ?Dans un repère orthonormal, pour quelles valeurs de5n, les vecteurs u(n1) et v(n4)Csont-ils orthogonaux ?Quelle est l'aire latérale Al d'un cône de révolution6de génératrice g, de hauteur hCet de rayon de base r ?
Ce qui peut encore s'écrire :
 
1) On considère deux angles ˆA  et  ˆB tels que : ˆA=90ˆB alors, on a la relation suivante : cosˆA=sinˆB.
 
2) Soit MNP un triangle rectangle en N tel que : MN=6cm  et  ^MPN=30 alors, la mesure de la longueur de [MP] est de 12cm.
 
3) On donne une droite (D) d'équation : 3y=6x+2 dans un repère orthonormal. Le coefficient directeur de la droite (D) est donc égal à 2.
 
4) Soient u(31)  et  v(2y) alors, les vecteurs u  et  v sont colinéaires si, et seulement si, y=23.
 
5) Dans un repère orthonormal, les vecteurs u(n1)  et  v(n4) sont orthogonaux si, et seulement si, n=2  ou  n=2.
 
6) L'aire latérale Al d'un cône de révolution de génératrice g, de hauteur h et de rayon de base r est égale à : rgπ.

Exercice 2

1) Résolvons dans R l'équation :
6x24x+5=x24x+9
En effet, en regroupant d'un côté les termes avec x et de l'autre côté, les termes sans x, on obtient :
 
6x24x+5=x24x+96x24x+x2+4x=956x2+x24x+4x=47x2=4x2=47x2=47|x|=47x=47oux=47
 
D'où, l'ensemble S des solutions est donné par :
S={47; 47}
2) On considère l'inéquation :
2(x3)(2x+3)0
a) Déterminons le signe de 12183 puis, déduisons-en que le réel 33 est une solution de cette inéquation.
 
Pour déterminer le signe de (12183) nous comparons les nombres 12  et  183.
 
En effet, comme 12  et  183 sont deux nombre réels positifs alors, le plus grand est celui dont le carré est le plus grand.
 
Soit alors : 122=144  et  (183)2=324×3=972
 
Or, 144<972
 
Par conséquent, 12<183
 
D'où, 12183<0
 
Déduisons-en que le réel 33 est une solution de cette inéquation.
 
En effet, le réel 33 est une solution de cette inéquation si, et seulement si, il vérifie l'inéquation.
 
Alors, en remplaçant x par le réel 33, dans l'inéquation, on obtient :
 
2(x3)(2x+3)02[(33)3][2(33)+3]02(333)(623+3)02(3+33)(23+6+3)0(23)(23+9)0(23)(23)+(23)(9)0121830
 
Or, on vient juste de montrer que 12183 est négatif.
 
Donc, l'écriture 121830 est toujours vraie.
 
Par conséquent, le réel 33 vérifie l'inéquation 2(x3)(2x+3)0
 
D'où, 33 est une solution de cette inéquation.
 
b) Résolvons dans R l'inéquation :
2(x3)(2x+3)0
Pour cela, nous cherchons d'abord le signe de chacun des termes de l'expression 2(x3)(2x+3).
 
En effet, on sait que 2 est strictement positif.
 
Donc, 2(x3)(2x+3)=0 si, et seulement si,
x3=0ou2x+3=0
Ce qui donne : x=3 ou x=32
 
Ainsi, on a : 
 
2 est partout positif
 
(x3) est positif pour tout x>3 et négatif pour x<3.
 
(2x+3) est positif pour tout x>32 et négatif pour x<32.
 
Considérons ensuite le tableau de signes suivant :
x3/23+2+|+|+x3|0+2x+30+|+2(x3)(2x+3)+00+
Alors, nous constatons que l'expression 2(x3)(2x+3) est inférieure ou égale à zéro pour les x appartenant à l'intervalle [32; 3]. 
 
D'où, l'inéquation 2(x3)(2x+3)0 a pour solution :
S=[32; 3]
3) Montrons que :
43275+41227+9=33
Alors, mettons d'abord les termes 75, 12  et  27 sous une forme plus simple.
 
On a :
 
75=25×3=25×3=53
 
12=4×3=4×3=23
 
27=9×3=9×3=33
 
Remplaçons ensuite 75, 12  et  27 par leur écriture simplifiée puis, calculons.
 
On obtient :
 
43275+41227+9=432(53)+4(23)33+3=43103+8333+3=3+3=33
 
D'où, 43275+41227+9=33
 
4) Donnons un encadrement de 33  à  102 près.
 
On a : 1.732<3<1.733
 
Alors, en multipliant chaque membre par 1 tout en changeant le sens des inégalités, on obtient :
1.732>3>1.733
En ajoutant 3 à chaque membre, on obtient :
31.732>33>31.733
Ce qui donne alors :
1.268>33>1.267
Ce qui peut encore s'écrire :
1.267<33<1.268
D'où, un encadrement de 33  à  102 prés est donné par : 
1.26<33<1.27

Exercice 3

A la suite des brillants résultats obtenus par ses enfants, un père de famille décide d'organiser une fête en leur honneur.
 
Connaissant les vertus de la viande, il décide d'acheter des pintades et des pigeons.
 
Sur le marché, un pigeon coute 2000F et une pintade coute 5000F.
 
On désigne par x le nombre de pigeons et y celui de pintades.
 
1) Le père veut acheter 10 volailles avec une somme de 32000F.
 
a) Traduisons cette situation par un système d'équations.
 
En effet, on sait que ce père de famille veut acheter 10 volailles dont x pigeons et y pintades.
 
Cela se traduit alors par :
x+y=10(équation 1)
Par ailleurs, ce père de famille a dépensé 32000F pour acheter ces 10 volailles.
 
Ce qui peut encore s'écrire :
2000×x+5000×y=32000
Simplifions en divisant chaque terme de cette égalité par 1000.
 
On obtient alors :
2x+5y=32(équation 2)
Ainsi, le système d'équations suivant, formé des équations (1)  et  (2) traduit cette situation.
 
Soit :
{x+y=102x+5y=32
b) Calculons x  et  y.
 
D'après le résultat de la question a), on a :
{x+y=10(1)2x+5y=32(2)
Donc, en résolvant ce système, nous trouvons x  et  y.
 
Alors, en multipliant l'équation (1) par 2, on obtient le système suivant :
{2x2y=20(3)2x+5y=32(2)
En additionnant ensuite, membre à membre, les équations (3)  et  (2), on obtient :
2x2y+2x+5y=20+32
En calculant, on trouve :
3y=12
Par suite, y=123=4
 
Ainsi, y=4
 
En remplaçant cette valeur de y dans l'équation (1), on trouve :
x+4=10
Ce qui entraine : x=104=6
 
D'où, x=6
 
On peut donc dire que ce père de famille peut acheter 6 pigeons et 4 pintades, avec une somme de 32000F.
 
2) Voyant que le nombre d'invités peut augmenter, le père décide d'acheter plus de 12 volailles mais ne compte pas dépenser plus de 36000F.
 
a) Traduisons cette situation par un système d'inéquations.
 
En effet, comme le père décide d'acheter plus de 12 volailles alors, cela signifie que le nombre total de volailles achetées est strictement supérieur à 12.
 
Ce qui se traduit par :
x+y>12(inéquation 1)
Par ailleurs, on sait aussi que ce père de famille ne compte pas dépenser plus de 36000F pour acheter ces volailles. Ce qui veut alors dire que la somme dépensée est inférieure ou égale à 36000F.
 
Cela se traduit par :
2000×x+5000×y36000
Simplifions en divisant chaque terme de cette inégalité par 1000.
 
On obtient alors :
2x+5y36(inéquation 2)
Le système d'inéquations suivant, formé des inéquations (1)  et  (2) traduit ainsi cette situation.
 
Soit :
{x+y>122x+5y36
b) Résolvons graphiquement ce système d'inéquations.
 
En effet, ce système d'inéquation peut encore s'écrire :
{x+y12>0(1)2x+5y360(2)
Pour résoudre graphiquement ce système, nous cherchera d'abord, pour chacune des inéquations du système, le demi-plan solution.
 
Soit les droites (D1)  et  (D2) d'équations respectives :
 
(D1) : x+y12=0
 
(D2) : 2x+5y36=0
 
Représentons alors ces deux droites.
 
Soit A  et  B deux points appartenant à la droite (D1).
 
On a :
ABx610y62
(D1) est donc la droite passant par les points A(6; 6)  et  B(10; 2).
 
Soit C  et  D deux points appartenant à la droite (D2).
 
On a :
CDx11/28y54
(D2) est donc la droite passant par les points C(112; 5)  et  D(8; 4).
 
Nous constatons que le point O(0; 0) n'appartient ni à (D1) ni à (D2).
 
Donc, choisissons le point O origine du repère comme point de vérification.
 
Alors, remplaçons les coordonnées du point O dans l'inéquation x+y12>0.
 
On a :
 
0+012>0 si, et seulement si, 12>0. Ce qui est impossible.
 
Donc, les coordonnées de O ne vérifient pas l'inéquation x+y12>0.
 
Ainsi, O n'appartient pas au demi-plan solution de cette inéquation.
 
Cette solution est alors représentée par la partie du graphique non hachurée en bleu et privée de la droite (D1).
 
Ensuite, en remplaçant les coordonnées du point O dans l'inéquation 2x+5y360, on obtient :
 
2×0+5×0360 si, et seulement si, 360. Ce qui est toujours vrai.
 
Donc, les coordonnées de O vérifient l'inéquation 2x+5y360
 
Ce qui signifie que le point O appartient au demi-plan solution de cette inéquation.
 
Cette solution est représentée par la partie du graphique non hachurée en rouge.
 
Par conséquent, l'ensemble des solutions du système d'inéquations {x+y>122x+5y36 est la partie non hachurée du graphique ci-dessous privée de la droite (D1).
 
 
En se servant du graphique, déterminons :
 
i) les nombres possibles de pintades qu'il peut avoir s'il décide d'acheter 13 pigeons.
 
Il peut avoir 0; 1  ou  2 pintades s'il décide d'acheter 13 pigeons.
 
En effet, il suffit de regarder les points d'abscisse x=13 et d'ordonnée y0 et qui se situent dans la partie solution.
 
En observant le graphique, on obtient alors trois points dont les coordonnées sont :
(13; 0), (13; 1), (13; 2)
Ainsi, ces points ont respectivement pour ordonnée :
y=0; y=1; y=2
Ce qui signifie que les nombres possibles de pintades qu'il peut avoir s'il décide d'acheter 13 pigeons sont : 0; 1  ou  2.
 
ii) toutes les possibilités d'achat de ces volailles.
 
En effet, les possibilités d'achat de ces volailles sont déterminés par les points situés dans la partie solution et dont les coordonnées sont des entiers naturels. 
 
D'après le graphique, on peut décompter 14 points.
 
Ce qui signifie qu'on a 14 possibilités d'achat données par :
 
(10; 3) : 10 pigeons et 3 pintades
 
(11; 2) : 11 pigeons et 2 pintades
 
(12; 1) : 12 pigeons et 1 pintade
 
(12; 2) : 12 pigeons et 2 pintades
 
(13; 0) : 13 pigeons
 
(13; 1) : 13 pigeons et 1 pintade
 
(13; 2) : 13 pigeons et 2 pintades
 
(14; 0) : 14 pigeons
 
(14; 1) : 14 pigeons et 1 pintade
 
(15; 0) : 15 pigeons
 
(15; 1) : 15 pigeons et 1 pintade
 
(16; 0) : 16 pigeons
 
(17; 0) : 17 pigeons
 
(18; 0) : 18 pigeons

Exercice 4

On considère une pyramide régulière SABCD, de sommet S et de base ABCD.
 
On sectionne cette pyramide par un plan parallèle à sa base passant par O comme indiqué sur la figure ci-dessous.
 
La pyramide SABCD a une hauteur SO=6dm et un volume V1=32dm3.
 
Le carré KLMN a pour côté 3dm.
 
 
1) Justifions que l'aire de la base ABCD est égale à 16dm2.
 
En effet, on sait que le volume V1 de cette pyramide de base ABCD est donné par :
V1=Aire de la base ABCD×hauteur3
Donc,
Aire de la base ABCD×SO=3×V1
Par suite,
Aire de la base ABCD=3×V1SO
Alors, en remplaçant V1  et  SO par leur valeur, on trouve :
 
Aire de la base ABCD=3×326=966=16
 
D'où, Aire de la base ABCD=16dm2
 
2) Montrons que le coefficient de réduction de la pyramide SABCD en la pyramide SKLMN est 34.
 
Calculons d'abord le côté c du carré ABCD.
 
D'après le résultat de la question 1), on a : Aire de la base ABCD=16dm2
 
Par ailleurs, Aire de la base ABCD=c2
 
Donc, on a :
 
c2=16c=16  ou  c=16c=4  ou  c=4
 
Comme la distance est toujours positive alors, on prend : c=4dm
 
Donc, Côté du carré ABCD=4dm
 
Ensuite, le coefficient de réduction k de la pyramide SABCD en la pyramide SKLMN est donné par :
k=Côté du carré KLMNCôté du carré ABCD=34
D'où, k=34
 
3) Calculons le volume V2 de la pyramide SKLMN.
 
En effet, on sait que dans le cas d'une réduction, le volume de la pyramide réduite est obtenu en multipliant le volume de la pyramide initiale par le cube du coefficient de réduction.
 
Soit V1 le volume de la pyramide SABCD  et  V2 le volume de la pyramide SKLMN alors, on a :
V2=(34)3×V1
Ainsi, en remplaçant V1 par sa valeur, on trouve :
 
V2=(34)3×V1=3343×32=27×3264=86464=13.5
 
Donc, V2=13.5dm3
 
4) Un entrepreneur veut fabriquer des bornes en béton identiques ayant la même forme et les mêmes dimensions que le solide ABCDKLMN.
 
Déterminons le nombre de bornes qu'il pourrait en faire s'il dispose d'une quantité de 1.85m3 de béton.
 
 
Calculons d'abord le volume du solide ABCDKLMN.
 
Soit V3 le volume du solide ABCDKLMN. alors, on a :
 
V3=V1V2=3213.5=18.5
 
D'où, V3=18.5dm3
 
Ensuite, convertissons en dm3, le volume de béton disponible.
 
On a : 1.85m3=1850dm3
 
Enfin, le nombre de bornes est donné par :
 
Nombre de bornes=Volume de béton disponibleV3=185018.5=100
 
Ainsi, cet entrepreneur pourrait fabriquer 100 bornes en béton identiques ayant la même forme et les mêmes dimensions que le solide ABCDKLMN.

Commentaires

Où est la correction de l'épreuve

Mai matière les plus faible son..PC.MATHE

Con ou cone la correction est là

Je vous dit de nous aider pour avoi de befem

Ajouter un commentaire