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Corrigé BFEM Maths 2022

Exercice 1

Dans le tableau ci-dessous nous porterons le numéro de la question suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie.

$$\begin{array}{|c|l|c|} \hline N^{\circ}&\qquad\qquad\qquad\text{Questions}&\text{Réponses}\\\hline&\text{On considère deux angles }\widehat{A}\text{ et }\widehat{B}\text{ tels que :}&\\1&\widehat{A}=90-\widehat{B}&B\\&\text{Quelle relation a-t-on ?}&\\\hline&\text{Soit }MNP\text{ un triangle rectangle en }N\text{ tel que :}&\\2&MN=6\;cm\text{ et }\widehat{MPN}=30^{\circ}&B\\&\text{Quelle est la mesure de la longueur de }[MP]\ ?& \\\hline &\text{On donne une droite }(D)\text{ d'équation :}&\\3&3y=6x+2\text{ dans un repère orthonormal.}&C\\&\text{Quel est le coefficient directeur de la droite }(D)\ ?&\\\hline&\text{Soient }\vec{u}\begin{pmatrix} -3\\1\end{pmatrix}\text{ et }\vec{v}\begin{pmatrix} 2\\y\end{pmatrix}\text{ deux vecteurs du plan.}&\\4&\text{Pour quelle valeur de }y\text{ les vecteurs }\vec{u}\text{ et }\vec{v}&A\\&\text{sont-ils colinéaires ?}&\\\hline&\text{Dans un repère orthonormal, pour quelles valeurs de}&\\5&n\text{, les vecteurs }\vec{u}\begin{pmatrix} n\\1\end{pmatrix}\text{ et }\vec{v}\begin{pmatrix} n\\-4\end{pmatrix}&C\\&\text{sont-ils orthogonaux ?}&\\\hline&\text{Quelle est l'aire latérale }A_{l}\text{ d'un cône de révolution}&\\6&\text{de génératrice }g,\text{ de hauteur }h&C\\&\text{et de rayon de base }r\ ?&\\ \hline \end{array}$$

Ce qui peut encore s'écrire :

1) On considère deux angles $\widehat{A}\ $ et $\ \widehat{B}$ tels que : $\widehat{A}=90-\widehat{B}$ alors, on a la relation suivante : $\cos\widehat{A}=\sin\widehat{B}.$

2) Soit $MNP$ un triangle rectangle en $N$ tel que : $MN=6\;cm\ $ et $\ \widehat{MPN}=30^{\circ}$ alors, la mesure de la longueur de $[MP]$ est de $12\;cm.$

3) On donne une droite $(D)$ d'équation : $3y=6x+2$ dans un repère orthonormal. Le coefficient directeur de la droite $(D)$ est donc égal à $2.$

4) Soient $\vec{u}\begin{pmatrix} -3\\1\end{pmatrix}\ $ et $\ \vec{v}\begin{pmatrix} 2\\y\end{pmatrix}$ alors, les vecteurs $\vec{u}\ $ et $\ \vec{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, $y=-\dfrac{2}{3}.$

5) Dans un repère orthonormal, les vecteurs $\vec{u}\begin{pmatrix} n\\1\end{pmatrix}\ $ et $\ \vec{v}\begin{pmatrix} n\\-4\end{pmatrix}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $n=2\ $ ou $\ n=-2.$

6) L'aire latérale $A_{l}$ d'un cône de révolution de génératrice $g$, de hauteur $h$ et de rayon de base $r$ est égale à : $rg\pi.$

Exercice 2

1) Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'équation :

$$6x^{2}-4x+5=-x^{2}-4x+9$$

En effet, en regroupant d'un côté les termes avec $x$ et de l'autre côté, les termes sans $x$, on obtient :

$\begin{array}{rcl} 6x^{2}-4x+5=-x^{2}-4x+9&\Leftrightarrow&6x^{2}-4x+x^{2}+4x=9-5\\\\&\Leftrightarrow&6x^{2}+x^{2}-4x+4x=4\\\\&\Leftrightarrow&7x^{2}=4\\\\&\Leftrightarrow&x^{2}=\dfrac{4}{7}\\\\&\Leftrightarrow&\sqrt{x^{2}}=\sqrt{\dfrac{4}{7}}\\\\&\Leftrightarrow&|x|=\sqrt{\dfrac{4}{7}}\\\\&\Leftrightarrow&x=\sqrt{\dfrac{4}{7}}\quad\text{ou}\quad x=-\sqrt{\dfrac{4}{7}}\end{array}$

D'où, l'ensemble $S$ des solutions est donné par :

$$\boxed{S=\left\lbrace\sqrt{\dfrac{4}{7}}\;;\ -\sqrt{\dfrac{4}{7}}\right\rbrace}$$

2) On considère l'inéquation :

$$2(x-3)(2x+3)\leq 0$$

a) Déterminons le signe de $12-18\sqrt{3}$ puis, déduisons-en que le réel $3-\sqrt{3}$ est une solution de cette inéquation.

Pour déterminer le signe de $(12-18\sqrt{3})$ nous comparons les nombres $12\ $ et $\ 18\sqrt{3}.$

En effet, comme $12\ $ et $\ 18\sqrt{3}$ sont deux nombre réels positifs alors, le plus grand est celui dont le carré est le plus grand.

Soit alors : $12^{2}=144\ $ et $\ (18\sqrt{3})^{2}=324\times 3=972$

Or, $144<972$

Par conséquent, $12<18\sqrt{3}$

D'où, $12-18\sqrt{3}<0$

Déduisons-en que le réel $3-\sqrt{3}$ est une solution de cette inéquation.

En effet, le réel $3-\sqrt{3}$ est une solution de cette inéquation si, et seulement si, il vérifie l'inéquation.

Alors, en remplaçant $x$ par le réel $3-\sqrt{3}$, dans l'inéquation, on obtient :

$\begin{array}{rcl} 2(x-3)(2x+3)\leq 0&\Leftrightarrow&2[(3-\sqrt{3})-3][2(3-\sqrt{3})+3]\leq 0\\\\&\Leftrightarrow&2(3-\sqrt{3}-3)(6-2\sqrt{3}+3)\leq 0\\\\&\Leftrightarrow&2(-\sqrt{3}+3-3)(-2\sqrt{3}+6+3)\leq 0\\\\&\Leftrightarrow&(-2\sqrt{3})(-2\sqrt{3}+9)\leq 0\\\\&\Leftrightarrow&(-2\sqrt{3})(-2\sqrt{3})+(-2\sqrt{3})(9)\leq 0\\\\&\Leftrightarrow&12-18\sqrt{3}\leq 0\end{array}$

Or, on vient juste de montrer que $12-18\sqrt{3}$ est négatif.

Donc, l'écriture $12-18\sqrt{3}\leq 0$ est toujours vraie.

Par conséquent, le réel $3-\sqrt{3}$ vérifie l'inéquation $2(x-3)(2x+3)\leq 0$

D'où, $3-\sqrt{3}$ est une solution de cette inéquation.

b) Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'inéquation :

$$2(x-3)(2x+3)\leq 0$$

Pour cela, nous cherchons d'abord le signe de chacun des termes de l'expression $2(x-3)(2x+3).$

En effet, on sait que $2$ est strictement positif.

Donc, $2(x-3)(2x+3)=0$ si, et seulement si,

$$x-3=0\quad\text{ou}\quad 2x+3=0$$

Ce qui donne : $x=3\quad$ ou $\quad x=-\dfrac{3}{2}$

Ainsi, on a :

$2$ est partout positif

$(x-3)$ est positif pour tout $x>3$ et négatif pour $x<3.$

$(2x+3)$ est positif pour tout $x>-\dfrac{3}{2}$ et négatif pour $x<-\dfrac{3}{2}.$

Considérons ensuite le tableau de signes suivant :

$$\begin{array}{|c|lclclcr|}\hline x&-\infty& &-3/2& &3& &+\infty\\\hline 2& &+&|&+&|&+&\\\hline x-3& &-&|&-&0&+&\\\hline 2x+3& &-&0&+&|&+&\\\hline 2(x-3)(2x+3)& &+&0&\boxed{-}&0&+&\\\hline\end{array}$$

Alors, nous constatons que l'expression $2(x-3)(2x+3)$ est inférieure ou égale à zéro pour les $x$ appartenant à l'intervalle $\left[-\dfrac{3}{2}\;;\ 3\right].$

D'où, l'inéquation $2(x-3)(2x+3)\leq 0$ a pour solution :

$$\boxed{S=\left[-\dfrac{3}{2}\;;\ 3\right]}$$

3) Montrons que :

$$4\sqrt{3}-2\sqrt{75}+4\sqrt{12}-\sqrt{27}+\sqrt{9}=3-\sqrt{3}$$

Alors, mettons d'abord les termes $\sqrt{75}\;,\ \sqrt{12}\ $ et $\ \sqrt{27}$ sous une forme plus simple.

On a :

$\begin{array}{rcl} \sqrt{75}&=&\sqrt{25\times 3}\\\\&=&\sqrt{25}\times\sqrt{3}\\\\&=&5\sqrt{3}\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \sqrt{12}&=&\sqrt{4\times 3}\\\\&=&\sqrt{4}\times\sqrt{3}\\\\&=&2\sqrt{3}\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \sqrt{27}&=&\sqrt{9\times 3}\\\\&=&\sqrt{9}\times\sqrt{3}\\\\&=&3\sqrt{3}\end{array}$

Remplaçons ensuite $\sqrt{75}\;,\ \sqrt{12}\ $ et $\ \sqrt{27}$ par leur écriture simplifiée puis, calculons.

On obtient :

$\begin{array}{rcl} 4\sqrt{3}-2\sqrt{75}+4\sqrt{12}-\sqrt{27}+\sqrt{9}&=&4\sqrt{3}-2(5\sqrt{3})+4(2\sqrt{3})-3\sqrt{3}+3\\\\&=&4\sqrt{3}-10\sqrt{3}+8\sqrt{3}-3\sqrt{3}+3\\\\&=&-\sqrt{3}+3\\\\&=&3-\sqrt{3}\end{array}$

D'où, $\boxed{4\sqrt{3}-2\sqrt{75}+4\sqrt{12}-\sqrt{27}+\sqrt{9}=3-\sqrt{3}}$

4) Donnons un encadrement de $3-\sqrt{3}\ $ à $\ 10^{-2}$ près.

On a : $1.732<\sqrt{3}<1.733$

Alors, en multipliant chaque membre par $-1$ tout en changeant le sens des inégalités, on obtient :

$$-1.732>-\sqrt{3}>-1.733$$

En ajoutant $3$ à chaque membre, on obtient :

$$3-1.732>3-\sqrt{3}>3-1.733$$

Ce qui donne alors :

$$1.268>3-\sqrt{3}>1.267$$

Ce qui peut encore s'écrire :

$$1.267<3-\sqrt{3}<1.268$$

D'où, un encadrement de $3-\sqrt{3}\ $ à $\ 10^{-2}$ prés est donné par :

$$\boxed{1.26<3-\sqrt{3}<1.27}$$

Exercice 3

A la suite des brillants résultats obtenus par ses enfants, un père de famille décide d'organiser une fête en leur honneur.

Connaissant les vertus de la viande, il décide d'acheter des pintades et des pigeons.

Sur le marché, un pigeon coute $2\,000\;F$ et une pintade coute $5\,000\;F.$

On désigne par $x$ le nombre de pigeons et $y$ celui de pintades.

1) Le père veut acheter $10$ volailles avec une somme de $32\,000\;F.$

a) Traduisons cette situation par un système d'équations.

En effet, on sait que ce père de famille veut acheter $10$ volailles dont $x$ pigeons et $y$ pintades.

Cela se traduit alors par :

$$x+y=10\qquad(\text{équation 1})$$

Par ailleurs, ce père de famille a dépensé $32\,000\;F$ pour acheter ces $10$ volailles.

Ce qui peut encore s'écrire :

$$2\,000\times x+5\,000\times y=32\,000$$

Simplifions en divisant chaque terme de cette égalité par $1\,000.$

On obtient alors :

$$2x+5y=32\qquad(\text{équation 2})$$

Ainsi, le système d'équations suivant, formé des équations $(1)\ $ et $\ (2)$ traduit cette situation.

Soit :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&=&10\\\\2x+5y&=&32\end{array}\right.$$

b) Calculons $x\ $ et $\ y.$

D'après le résultat de la question $a)$, on a :

$$\left\lbrace\begin{array}{rclr} x+y&=&10&\qquad(1)\\\\2x+5y&=&32&\qquad(2)\end{array}\right.$$

Donc, en résolvant ce système, nous trouvons $x\ $ et $\ y.$

Alors, en multipliant l'équation $(1)$ par $-2$, on obtient le système suivant :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcrr} -2x-2y&=&-20&\qquad(3)\\\\2x+5y&=&32&\qquad(2)\end{array}\right.$$

En additionnant ensuite, membre à membre, les équations $(3)\ $ et $\ (2)$, on obtient :

$$-2x-2y+2x+5y=-20+32$$

En calculant, on trouve :

$$3y=12$$

Par suite, $y=\dfrac{12}{3}=4$

Ainsi, $\boxed{y=4}$

En remplaçant cette valeur de $y$ dans l'équation $(1)$, on trouve :

$$x+4=10$$

Ce qui entraine : $x=10-4=6$

D'où, $\boxed{x=6}$

On peut donc dire que ce père de famille peut acheter $6$ pigeons et $4$ pintades, avec une somme de $32\,000\;F.$

2) Voyant que le nombre d'invités peut augmenter, le père décide d'acheter plus de $12$ volailles mais ne compte pas dépenser plus de $36\,000\;F.$

a) Traduisons cette situation par un système d'inéquations.

En effet, comme le père décide d'acheter plus de $12$ volailles alors, cela signifie que le nombre total de volailles achetées est strictement supérieur à $12.$

Ce qui se traduit par :

$$x+y>12\qquad(\text{inéquation 1})$$

Par ailleurs, on sait aussi que ce père de famille ne compte pas dépenser plus de $36\,000\;F$ pour acheter ces volailles. Ce qui veut alors dire que la somme dépensée est inférieure ou égale à $36\,000\;F.$

Cela se traduit par :

$$2\,000\times x+5\,000\times y\leq 36\,000$$

Simplifions en divisant chaque terme de cette inégalité par $1\,000.$

On obtient alors :

$$2x+5y\leq 36\qquad(\text{inéquation 2})$$

Le système d'inéquations suivant, formé des inéquations $(1)\ $ et $\ (2)$ traduit ainsi cette situation.

Soit :

$$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&>&12\\\\2x+5y&\leq&36\end{array}\right.$$

b) Résolvons graphiquement ce système d'inéquations.

En effet, ce système d'inéquation peut encore s'écrire :

$$\left\lbrace\begin{array}{rclr} x+y-12&>&0&\qquad(1)\\\\2x+5y-36&\leq&0&\qquad(2)\end{array}\right.$$

Pour résoudre graphiquement ce système, nous cherchera d'abord, pour chacune des inéquations du système, le demi-plan solution.

Soit les droites $(D_{1})\ $ et $\ (D_{2})$ d'équations respectives :

$(D_{1})\ :\ x+y-12=0$

$(D_{2})\ :\ 2x+5y-36=0$

Représentons alors ces deux droites.

Soit $A\ $ et $\ B$ deux points appartenant à la droite $(D_{1}).$

On a :

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline&A&B\\\hline x&6&10\\\hline y&6&2\\\hline\end{array}$$

$(D_{1})$ est donc la droite passant par les points $A(6\;;\ 6)\ $ et $\ B(10\;;\ 2).$

Soit $C\ $ et $\ D$ deux points appartenant à la droite $(D_{2}).$

On a :

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline&C&D\\\hline x&11/2&8\\\hline y&5&4\\\hline\end{array}$$

$(D_{2})$ est donc la droite passant par les points $C\left(\dfrac{11}{2}\;;\ 5\right)\ $ et $\ D(8\;;\ 4).$

Nous constatons que le point $O(0\;;\ 0)$ n'appartient ni à $(D_{1})$ ni à $(D_{2}).$

Donc, choisissons le point $O$ origine du repère comme point de vérification.

Alors, remplaçons les coordonnées du point $O$ dans l'inéquation $x+y-12>0.$

On a :

$0+0-12>0$ si, et seulement si, $-12>0.$ Ce qui est impossible.

Donc, les coordonnées de $O$ ne vérifient pas l'inéquation $x+y-12>0.$

Ainsi, $O$ n'appartient pas au demi-plan solution de cette inéquation.

Cette solution est alors représentée par la partie du graphique non hachurée en bleu et privée de la droite $(D_{1}).$

Ensuite, en remplaçant les coordonnées du point $O$ dans l'inéquation $2x+5y-36\leq 0$, on obtient :

$2\times 0+5\times 0-36\leq 0$ si, et seulement si, $-36\leq 0.$ Ce qui est toujours vrai.

Donc, les coordonnées de $O$ vérifient l'inéquation $2x+5y-36\leq 0$

Ce qui signifie que le point $O$ appartient au demi-plan solution de cette inéquation.

Cette solution est représentée par la partie du graphique non hachurée en rouge.

Par conséquent, l'ensemble des solutions du système d'inéquations $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y&>&12\\\\2x+5y&\leq&36\end{array}\right.$ est la partie non hachurée du graphique ci-dessous privée de la droite $(D_{1}).$

En se servant du graphique, déterminons :

i) les nombres possibles de pintades qu'il peut avoir s'il décide d'acheter $13$ pigeons.

Il peut avoir $0\;;\ 1\ $ ou $\ 2$ pintades s'il décide d'acheter $13$ pigeons.

En effet, il suffit de regarder les points d'abscisse $x=13$ et d'ordonnée $y\geq 0$ et qui se situent dans la partie solution.

En observant le graphique, on obtient alors trois points dont les coordonnées sont :

$$(13\;;\ 0)\;,\ (13\;;\ 1)\;,\ (13\;;\ 2)$$

Ainsi, ces points ont respectivement pour ordonnée :

$$y=0\;;\ y=1\;;\ y=2$$

Ce qui signifie que les nombres possibles de pintades qu'il peut avoir s'il décide d'acheter $13$ pigeons sont : $0\;;\ 1\ $ ou $\ 2.$

ii) toutes les possibilités d'achat de ces volailles.

En effet, les possibilités d'achat de ces volailles sont déterminés par les points situés dans la partie solution et dont les coordonnées sont des entiers naturels.

D'après le graphique, on peut décompter $14$ points.

Ce qui signifie qu'on a $14$ possibilités d'achat données par :

$(10\;;\ 3)\ :\ 10$ pigeons et $3$ pintades

$(11\;;\ 2)\ :\ 11$ pigeons et $2$ pintades

$(12\;;\ 1)\ :\ 12$ pigeons et $1$ pintade

$(12\;;\ 2)\ :\ 12$ pigeons et $2$ pintades

$(13\;;\ 0)\ :\ 13$ pigeons

$(13\;;\ 1)\ :\ 13$ pigeons et $1$ pintade

$(13\;;\ 2)\ :\ 13$ pigeons et $2$ pintades

$(14\;;\ 0)\ :\ 14$ pigeons

$(14\;;\ 1)\ :\ 14$ pigeons et $1$ pintade

$(15\;;\ 0)\ :\ 15$ pigeons

$(15\;;\ 1)\ :\ 15$ pigeons et $1$ pintade

$(16\;;\ 0)\ :\ 16$ pigeons

$(17\;;\ 0)\ :\ 17$ pigeons

$(18\;;\ 0)\ :\ 18$ pigeons

Exercice 4

On considère une pyramide régulière $SABCD$, de sommet $S$ et de base $ABCD.$

On sectionne cette pyramide par un plan parallèle à sa base passant par $O'$ comme indiqué sur la figure ci-dessous.

La pyramide $SABCD$ a une hauteur $SO=6\;dm$ et un volume $V_{1}=32\;dm^{3}.$

Le carré $KLMN$ a pour côté $3\;dm.$

1) Justifions que l'aire de la base $ABCD$ est égale à $16\;dm^{2}.$

En effet, on sait que le volume $V_{1}$ de cette pyramide de base $ABCD$ est donné par :

$$V_{1}=\dfrac{\text{Aire de la base }ABCD\times\text{hauteur}}{3}$$

Donc,

$$\text{Aire de la base }ABCD\times SO=3\times V_{1}$$

Par suite,

$$\text{Aire de la base }ABCD=\dfrac{3\times V_{1}}{SO}$$

Alors, en remplaçant $V_{1}\ $ et $\ SO$ par leur valeur, on trouve :

$\begin{array}{rcl} \text{Aire de la base }ABCD&=&\dfrac{3\times 32}{6}\\\\&=&\dfrac{96}{6}\\\\&=&16\end{array}$

D'où, $\boxed{\text{Aire de la base }ABCD=16\;dm^{2}}$

2) Montrons que le coefficient de réduction de la pyramide $SABCD$ en la pyramide $SKLMN$ est $\dfrac{3}{4}.$

Calculons d'abord le côté $c$ du carré $ABCD.$

D'après le résultat de la question $1)$, on a : $\text{Aire de la base }ABCD=16\;dm^{2}$

Par ailleurs, $\text{Aire de la base }ABCD=c^{2}$

Donc, on a :

$\begin{array}{rcl} c^{2}=16&\Leftrightarrow&c=\sqrt{16}\ \text{ ou }\ c=-\sqrt{16}\\\\&\Leftrightarrow&c=4\ \text{ ou }\ c=-4\end{array}$

Comme la distance est toujours positive alors, on prend : $\boxed{c=4\;dm}$

Donc, $\boxed{\text{Côté du carré }ABCD=4\;dm}$

Ensuite, le coefficient de réduction $k$ de la pyramide $SABCD$ en la pyramide $SKLMN$ est donné par :

$$k=\dfrac{\text{Côté du carré }KLMN}{\text{Côté du carré }ABCD}=\dfrac{3}{4}$$

D'où, $\boxed{k=\dfrac{3}{4}}$

3) Calculons le volume $V_{2}$ de la pyramide $SKLMN.$

En effet, on sait que dans le cas d'une réduction, le volume de la pyramide réduite est obtenu en multipliant le volume de la pyramide initiale par le cube du coefficient de réduction.

Soit $V_{1}$ le volume de la pyramide $SABCD\ $ et $\ V_{2}$ le volume de la pyramide $SKLMN$ alors, on a :

$$V_{2}=\left(\dfrac{3}{4}\right)^{3}\times V_{1}$$

Ainsi, en remplaçant $V_{1}$ par sa valeur, on trouve :

$\begin{array}{rcl} V_{2}&=&\left(\dfrac{3}{4}\right)^{3}\times V_{1}\\\\&=&\dfrac{3^{3}}{4^{3}}\times 32\\\\&=&\dfrac{27\times 32}{64}\\\\&=&\dfrac{864}{64}\\\\&=&13.5\end{array}$

Donc, $\boxed{V_{2}=13.5\;dm^{3}}$

4) Un entrepreneur veut fabriquer des bornes en béton identiques ayant la même forme et les mêmes dimensions que le solide $ABCDKLMN.$

Déterminons le nombre de bornes qu'il pourrait en faire s'il dispose d'une quantité de $1.85\;m^{3}$ de béton.