Série d'exercices : Calcul dans ℝ 2nd L

Classe: 
Seconde

Exercice 1 :

1. Calculer les nombres suivants en présentant les résultats sous forme d'une fraction irréductible :
 
$A=\dfrac{1}{\dfrac{2}{3}}$ ; 
 
$B=\dfrac{1}{\dfrac{2}{3}}$ ; 
 
$C=\dfrac{4}{3}\times\left(-\dfrac{9}{12}\right)$ ; 
 
$D=-\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{3}$ ;  
 
$E=\dfrac{2}{\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{5}}$ ; 
 
$F=\dfrac{1\dfrac{4}{5}}{3+\dfrac{2}{5}}$ ;
 
$G=\dfrac{\dfrac{7}{2}+\dfrac{1}{3}}{8}$ ;
 
$H=\dfrac{\dfrac{4}{3}-\dfrac{6}{7}}{\dfrac{3}{8}}$ ; 
 
$I=\dfrac{\dfrac{3}{2}-\dfrac{2}{5}}{4+\dfrac{2}{5}}/\dfrac{\dfrac{4}{5}-\dfrac{6}{7}}{\dfrac{7}{5}+\dfrac{3}{7}}$
 
$J=\left(\dfrac{5}{7}-\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{2}\right)$

Exercice 2 :

1. Rentre rationnel le dénominateur de chacune des fractions suivantes
 
$A=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ ; 
 
$B=\dfrac{2}{1+\dfrac{2}{1+\sqrt{2}}}$ ; 
 
$C=\dfrac{3}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$ ; 
 
$D=\dfrac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$ ;
 
2. Simplifier les expressions suivantes : 
 
$A=-2\sqrt{8}-5\sqrt{32}+5\sqrt{16}-\sqrt{18}$ ; 
 
$B=\dfrac{\sqrt{20}+\sqrt{45}-\sqrt{80}}{\sqrt{135}-\sqrt{35}}$ ; 
 
$C=\sqrt{3(\left(3\sqrt{3}-2\right)^{2}}-\sqrt{4\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}}$

Exercice 3:

1.Développer et réduire en utilisant les identités remarquables :
 
$A=\left(x-\sqrt{2}\right)^{3}$ ;
 
$B=\left(\dfrac{x+y}{2}\right)^{2}-\left(\dfrac{x-y}{2}\right)^{2}$ ; 
 
$C=(x+1)^{3}-(x-1)^{3})$ 
 
$D=(x-3)^{2}+(2x+1)(2x-1 )+1)$
 
2. Factoriser les expressions suivantes :
 
$E(3x+1)(3x-2)-(3x-5)^{2}$ ;
 
$F=(x+1)^{3}-x^{2}+1$ ; 
 
$G=4(x-1)^{2}-1$ ;
 
$H=x^{3}+1$ ; 
 
$I=\left(x^{2}-6x\right)^{3}-\left(x^{2}-6x\right)$ ; 
 
$J=x^{3}+3x^{2}+3x-\left(x^{2}-1\right)+1$

Exercice 4 :

1. Écrire les nombres réels suivants sans le symbole de la valeur absolue :
 
$A=|-100|$ ;
 
$B=|100|$ ;
 
$=C|\sqrt{2}-1|$ ;
 
$=D=|2-\sqrt{2-\sqrt{5}}|$ ;
 
$=E|\pi-3.2|$ ; 
 
$G=\left|\dfrac{5-\sqrt{17}}{2}\right|$
 
2. Écrire les nombres réels suivants sans le radical
 
$I=\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}}$ ; 
 
$J=\sqrt{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{2}}+\sqrt{(1-\sqrt{2})^{2}}$

Exercice 5 :

Résoudre dans $\mathcal{R}$ les équations suivantes :
 
a. $|x-6|=3$ ;
 
b. $|x-4|+1=5$ ;
 
c. $|\dfrac{3}{5}x-1|=|x+\dfrac{1}{3}$ ;
 
d. $\left|\dfrac{x+3}{x+1}\right|=3$ 
 
e. $\sqrt{(3x+2)^{2}}=1$

Exercice 6 :

1. Déterminer $|\cap J$ et $I\cup$ dans les cas suivants
 
a. $I=]-2\ ;\ 6]$ et $J=[-3\ ;\ +\infty[$
 
b. $I=]1\ ;\ 4[$ et $J=[5\ ;\ 10]$
 
c. $I=]1\ ;\ 4]$ et $J=[4\ ;\ +\infty[$ 
 
d. $I=]-\infty\ ;\ 7]$ et $J=[-4\ ;\ +\infty[$
 
2. Traduire chacune des inégalités en termes d'intervalles :
 
a. $x\leq 3$ ; 
 
b. $x>-2$ ; 
 
c. $-3\leq x\leq 6$ ; 
 
d. $2\leq x< 5$
 
3. Traduire chacun des intervalles en une inégalité
 
a. $x\in[-1\;,3]$
 
b. $x\in]-\infty\ ;\ 1]$ 
 
3. $x\in]2\ ;\ +\infty[$

Exercice 7 :

1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacune des inéquations suivantes :
 
a. $|6-x|\leq 3$ ; 
 
b. $|2+x|\geq 5$ ; 
 
c. $|x-3|-1<0$ ; 
 
d. $|x+4|+1>5$ ;
 
e. $|1-x|-2\leq-1$ ; 
 
f. $f\sqrt{(1-x)^{2}}<7$
 
2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ chacun des systèmes d'inéquations suivantes
 
a. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+2>5\\ x-3<2 \end{array}\right.$
 
b. $\left\lbrace\begin{array}{rcl} 2x+3\leq 5\\ -x-3<2 \end{array}\right.$

Exercice 8 :

1. Une mère a $15$ ans de plus que sa fille, dans $10$ ans l'âge de la mère sera le double de l'âge de la fille.
 
Quel est l'âge de la mère et celui de la fille ?
 
2. Un Commerçant a dit qu'il a acheté avec le quart d'une somme décaissée pour acheter du ciment et les deux cinquièmes pour acheter du fer. 
 
Il lui reste $49000\,F$ CFA pour les autres dépenses.
 
Aider ce commerçant à retrouver la somme décaissée.

Exercice 9 :

Traduire sous forme d'une équation puis résoudre :
 
1. La somme des $\dfrac{3}{4}$ d'un nombre et de $\dfrac{-1}{5}$ est plus petit que le double de ce nombre augmenté $5.$
 
2. Le double d'un nombre diminué de $\dfrac{2}{5}$ est plus grand que le triple de ce nombre.
 

Exercice 10

Résoudre dans $\mathbb{R}$, les équations et inéquations suivantes : 
 
1. $\sqrt{2x^{2}-8}=x-2$
 
2. $\sqrt{2x^{2}-x+1}=\sqrt{3x+1}$
 
3. $\sqrt{-2x^{2}+5x+3}\leq 2x+1$
 
4. $\sqrt{2x^{2}-3x-5}>5-x$

Exercice 11

1. Résoudre le système d'inéquations :
 
$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x\geq 0\\ y\geq 0\\ 3x+2y\leq 75\\ x+2y\leq 36\\ 2x+3y\leq 60 \end{array}\right.$
 
2. Un fleuriste décide de fabriquer deux types de bouquets. 
 
Les bouquets $A$ sont composées de $6$ roses, de $3$ gerberas et de $2$ branches de gypsophiles ; les bouquets B sont composées de $4$ roses, de $6$ gerberas et de $3$ branches de gypsophiles. 
 
Il rapporte chaque jour des halles $150$ roses, $108$ gerberas et $60$ branches de gypsophiles. 
 
Il réalise un bénéfice de $18\,F$ par bouquet.
 
A vendu et de $30\,F$ par bouquet $B$ vendu. 
 
On appelle $x$ le nombre de bouquets $A$ et $y$ le nombre de bouquets $B$ vendus par jour.
 
a. Écrire un système d'inéquations correspondant au problème que se pose le fleuriste puis montrer que ce système est équivalent à celui de la question $.$
 
b. Exprimer le bénéfice en fonction de $x$ et $y$ 
 
c. Déterminer le nombre de bouquets $A$ et le nombre de bouquets $B$ qu'il doit fabriquer par jour pour réaliser un bénéfice maximal en supposant qu'il vend chaque jour toute sa production

Exercice 13

Partie A :

Recopie et complète : Soit $f$ une application définie de $A$ vers $B$
 
1. Si $f(A)=B$ alors $f$ est $\ldots\ldots\ldots\ldots$
 
2. Si $\forall\alpha\in A\;,f(a)=f(b)\Longrightarrow a=b$ alors $f$ est $\ldots \ldots\ldots\ldots$

Partie B :

1. On considère les applications $f$ et $g$ définies par :
 
$f\ :\ \mathbb{R}\longrightarrow$ ; 
 
$x\rightarrowtail f(x)=\dfrac{1-x^{2}}{1+x^{2}}$ et 
 
$g\ :\ ]-\infty\ ;\ ]-\infty\ ;\ 2]\longrightarrow\mathbb{R}\ ;\ x\mapsto g(x)=\sqrt{2-x}$
 
a. $f$ est-elle injective ? surjective ? justifier
 
b. calculer $gof(x)$
 
2. Soit $k$ l'application définie par :
 
$k\ :\ [0\ ;\ +\infty[\rightarrow]-1\ ;\ ]\,;x\mapsto k(x)=\dfrac{1-x^{2}}{1+x^{2}}$
 
a. Montrer que $k$ est bijective 
 
b. Déterminer la bijection réciproque $k^{-1}$ de l'application $k$ 

Exercice 14

Soit $ABCD$ n parallélogramme tel que $AB=7\,cm$, $AD=5\,cm$ et $\widehat{ABD}=50°$
 
1. Construire les points $E$ et $F$ tels que : $E$ est le barycentre du système ${(A\;,4)\ ;\ (B\;,5)\ ;\ (C\;,-2)\ ;\ (D\;,-1)}$ et $F$ 
est le barycentre du système ${(A\;,6)\ ;\ (B\;,-5)\ ;\ (C\;,2)\ ;\ (D\;,-1)}$
 
2. Démontrer que les points $A$, $E$ et $F$ sont alignés
 
3. Déterminer et construire l'ensemble des points M du plan tels que 
 
a. $\left(E_{1}\right)$ :
 
$\dfrac{2}{3}||4\overline{MA}+5\overline{MB}-2\overline{MC}-\overline{MD}||=||6\overline{MA}-5\overline{MB}+2\overline{MC}+\overline{MD}||$
 
b. $\left(E_{2}\right)$ : 
 
$4\overline{MA}+5\overline{MB}-2\overline{MC}-\overline{MD}$ soit colinéaire à $\overline{AB}+\overline{AD}$
 
c. $\left(E_{3}\right)$ :
 
$6\leq||4\overline{MA}+5\overline{MB}-2\overline{MC}-\overline{MD}||\leq 24$
 

Commentaires

Anonyme (non vérifié)

dim, 11/10/2024 - 20:39

Merci bcp ! ❤️

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