Factorisation des polynômes - TL

I. Rappels

1. Factorisation d'un trinôme du second degré

 
Le tableau suivant permet de factoriser un trinôme du second degré $ax^{2}+bx+c$

$\begin{array}{|c|c|} \hline\text{Signe du discriminant }&\text{Factorisation du trinôme }\\
\Delta=b^{2}-4ac&ax^{2}+bx+c\\ \hline \Delta<0&ax^{2}+bx+c\\ &\text{ne peut pas se factoriser.}\\ \hline
\Delta=0&ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{0}\right)^{2}\\ &\text{où }x_{0}=-\dfrac{b}{2a}\\ \hline \Delta>0&ax^{2}+bx+c=\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)\\ &\text{où }x_{1}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
&\text{et }x_{2}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\ \hline \end{array}$

$\bullet\ $Exemples : Factorisons les trinômes du second degré suivants :

$\bullet\ f(x)=x^{2}-2x+3$

$\bullet\ g(x)=-9x^{2}+6x-1$

$\bullet\ h(x)=x^{2}-x-6$

2. Signe d'un trinôme du second degré

 
Le signe d'un trinôme du second degré s'obtient généralement à l'aide d'un tableau de signe.
 
$\bullet\ \Delta<0$  alors le trinôme n'a pas de racine et son tableau de signe est le suivant

$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x&-\infty&&&&+\infty\\ \hline ax^{2}+bx+c&&&\text{Signe de }a&&\\
\hline \end{array}$

Exemple : étudions le signe de $-x^{2}+x-2$

$\bullet\ $Si $\Delta=0$ alors le trinôme a une seule racine dite racine double et son tableau de signe  est le suivant :

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline x&-\infty&&&+\infty\\ \hline ax^{2}+bx+c&\text{Signe de }a&&\text{Signe de }a&\\
\hline \end{array}$

Exemple : étudions le signe de $9x^{2}-6x+1$

$\bullet\ $Si $\Delta>0$ alors le trinôme a deux racines distinctes et son tableau de signe est le suivant :

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x&-\infty&&+\infty\\ \hline ax^{2}+bx+c&\text{Signe de }a&\text{Signe de }-a&\text{Signe de }a\\ \hline \end{array}$

Étudions le signe de $2x^{2}-7x+3$

II. Factorisation d'un polynôme de degré $n\geq 3$ connaissant une racine

a. Par la division euclidienne

$\bullet\ $Exemple

Soit le polynôme $x^{2}-2x^{2}-5x+6$
 
1. Vérifier que $-2$ est une racine de ce polynôme.

2. Factoriser ce polynôme en utilisant la méthode de la division euclidienne.
 

b. Par la méthode d'identification

$\bullet\ $Rappels

$\bullet\ $Si $P(x)$ est un polynôme de degré $2$ alors $P(x)$ peut s'écrire sous la forme $P(x)=ax^{2}+bx+c$ avec $a$, $b$ et $c$ des réels constants.

$\bullet\ $Si $P(x)$ est de degré $3$ alors $P(x)$ peut s'écrire sous la forme $P(x)=ax^{3}+bx+cx+d$ avec $a$, $b$, $c$ et $d$ des réels constants.

$\bullet\ $Exemple
 
1. Vérifier que $1$ est racine de $x^{3}-7x+6$
 
2. Factoriser ce polynôme en utilisant la méthode d'identification
 
c. Par la méthode de Horner

$\bullet\ $Exemple : Soit le polynôme $x^{3}-2x^{2}-5x+6$

1. Vérifier que $-2$ est racine de $x^{3}-2x^{2}-5x+6$

2. Factoriser $x^{3}-2x^{2}-5x+6$ en utilisant la méthode de Horner.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Coefficient de }&^{1}\mid&^{-2}\downarrow +&^{-5}\downarrow +&^{6}\downarrow +\\ P(x)\text{  ans l'ordre}&&&&\\ \text{décroissant des }&&&&\\ \text{puissances }&&&&\\ \hline \text{Racine }-2&\downarrow&-2&8&-6\\ &_{x-2}\nearrow&\parallel_{x-2}\nearrow&\Vert_{x-2}\nearrow&\Vert\\
\hline \text{Coefficient de }&1&-4&3&0\\ Q(x)\text{ dans l'ordre }&&&&\\ \text{décroissant des }&&&&\\
\text{puissances }&&&&\\ \hline \end{array}$

$x^{3}-2x^{2}-5x+6=(x+2)\left(x^{2}-4x+3\right)$    

On remarque que $x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3)$

 
Par suite  $x^{3}-2x^{2}-5x+6=(x+2)(x-1)(x-3)$
   
$\bullet\ $Exercice d'application

1. Vérifier que $1$ est racine de $x^{3}-7x+6$

2. Factoriser ce polynôme en utilisant la méthode de Horner.

III. Signe d'un polynôme et résolution d'inéquations

1. Exemple

Soit  $x^{3}-2x^{2}-5x+6$
 
1. Vérifier que $-2$ est une racine de  $x^{3}-2x^{2}-5x+6$

2. Étudier le signe de $x^{3}-2x^{2}-5x+6$

3. En déduire les solutions dans $\mathbb{R}$ de l'inéquation $x^{3}-2x^{2}-5x+6<0$

2. Exercice d'application  

1. Vérifier que $1$ est une racine de $x^{3}-7x+6$

2. Étudier le signe de $x^{3}-2x^{2}-5x+6$
 
3. En déduire les solutions dans de l'inéquation $x^{3}-2x^{2}-5x+6<$

IV. Fraction rationnelle

1. Définition et exemple

$\bullet\ $Une fraction rationnelle est un quotient dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes.

$\bullet\ $L'expression $\dfrac{x^{4}-8x^{2}-3}{2x^{3}-7x^{2}+7x+2}$ est une fraction rationnelle.

2. Signe d'une fraction rationnelle

$\bullet\ $Exemple

$\dfrac{x^{3}-2x^{2}-5x+6}{x^{3}-7x+6}$ est une fraction rationnelle.
 
1. Montrer que $2$ est racine de $x^{3}-2x^{2}-5x+6$ et  que $1$ est racine de $x^{3}-7x+6$

2. Étudier dans un même tableau, les signes de  $x^{3}-2x^{2}-5x+6$ et de $x^{3}-7x+6$

En déduire celui de  $\dfrac{x^{3}-2x^{2}-5x+6}{x^{3}-7x+6}$