Devoir n° 5 - 2nd s

1) Écrire sous la forme $2^{m}3^{n}5^{p}\ (m\;,\ n\;,\ p$ entiers relatifs) l'expression suivante : $$A=\dfrac{(0.09)^{-3}\times(0.16)^{2}\times 25}{(0.0075)^{-1}\times 810^{3}}$$

2) Simplifier l'expression suivante : $$B=\dfrac{a^{8}\times(b^{2}c^{3}d^{-1})^{5}}{-b^{4}c^{2}(ad^{-2})^{3}}$$  

Soient 4 entiers consécutifs $n-1\;,\ n\;,\ n+1\;,\ n+2\ (n>0).$

 

1) a) Démontrer que : $n(n+1)=(n-1)(n+2)+2.$

 

b) On pose : $n(n+1)= a.$

 

Exprimer en fonction de $a$ le produit $p=(n-1)n(n+1)(n+2).$

 

c) En déduire que $(p+1)$ est le carré d'un entier.

 

2) Déterminer $n$ sachant que $p=12430.$

On donne les expressions $A=\sqrt{7+4\sqrt{3}}$ et $B=\sqrt{7-4\sqrt{3}}$.

 

1) Calculer $A\times B$.

 

2) On pose $X=A+B$ et $Y=A-B$.

 

a) Vérifier que : $X>0$ et $Y>0$.

 

b) Calculer $X^{2}$ et $Y^{2}.$

 

c) En déduire les valeurs de $X$ et $Y.$

 

d) en déduire une écriture simple de $A$ et $B.$

$a$ et $b$ sont deux réels tels que : $a>b\geq 0$.

 

a) Montrer que : $$\dfrac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a-b}}$$

b) Montrer que : $$\left(\sqrt{a+\sqrt{a^{2}-b^{2}}}-\sqrt{a-\sqrt{a^{2}-b^{2}}}\right)^{2}=2(a-b)$$

Montrer que si $a\;,\ a'\;,\ b\;,\ b'\;,\ c$ et $c'$ sont positifs et tels que : $\dfrac{a}{a}=\dfrac{b}{b'}=\dfrac{c}{c'}\;$, alors : $$\sqrt{aa'}+\sqrt{bb'}+\sqrt{cc'}=\sqrt{(a+b+c)(a'+b'+c')}$$

1) Factoriser les expressions suivantes :

 

$A=a^{4}-b^{4}+2ab(a^{2}-b^{2})-(a^{3}-b^{3})+ab^{2}-a^{2}b.$

 

$B=9x^{2}-12x+4+(x-3)^{2}-(2x+1)^{2}$.

 

$C=4x^{2}y^{2}-(x^{2}+y^{2}-z^{2})^{2}.$

 

2) Simplifier l'expression suivante : $$D=\dfrac{a}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{b}{(b-c)(b-a)}+\dfrac{c}{(c-a)(c-b)}$$

 

 

$$\text{Durée : 2 h 30}$$