Équation du second degré - 2nd

Classe: 
Seconde

I. Trinôme du second degré

I.1 Définition

On appelle trinôme du second degré, toute expression de la forme ax2+bx+c;a, b  et c R;a0

I.2 Forme canonique d'un trinôme du second degré

Soit f(x)=ax2+bx+c avec a0. On a :
 
f(x)=a[x2+bax+ca]  or x2+bax=(x+b2a)2b24a2
 
Donc,
 
f(x)=a[(x+b2a)2b24a2+ca]=a[(x+b2a)2b24a2+4ac4a2]=a[(x+b2a)2(b24ac4a2)]
 
Ainsi, la forme canonique de f(x) est donnée par a[(x+b2a)2(b24ac4a2)]

Exercice d'application 

Déterminer les formes canoniques de 
 
f(x)=3x24x+5
 
g(x)=2x2+7x9
 
h(x)=x26x+7
 
m(x)=x2+6x9

Résolution

f(x)=3[x243x+53] or x243x=(x46)21636=3[(x46)21636+53]=3[(x46)2(166036)]=3[(x23)2+(119)]
 
g(x)=2[x272x+92] or x272x=(x74)24916=2[(x74)24916+92]=2[(x74)2(497216)]=2[(x74)2+(2316)]
 
h(x)=x26x+7 or x26x=(x3)29=(x3)29+7=[(x3)22]
 
m(x)=1[x26x+9] or x26x=(x3)29=1[(x3)29+9]=(x3)2

I.3 Résolution de ax2+bx+c=0 et factorisation

Soit f(x)=ax2+bx+c
 
 f(x)=a[(x+b2a)2(b24ac4a2)]
 
Posons Δ=b24ac. Δ est appelé le discriminant du trinôme ax2+bx+c
 
Par suite, f(x)=a[(x+b2a)2Δ4a2]
 
Cherchons les solutions de f(x)=0 suivant Δ puis factorisons f(x).
 
1e cas Δ<0
 
Si Δ<0 alors, Δ4a2>0  or, (x+b2a)20
 
Donc (x+b2a)2Δ4a2>0  (x+b2a)2Δ4a20   or a0
 
donc f(x)=a[(x+b2a)2Δ4a2]0x
 
D'où si Δ<0 l'équation ax2+bx+c=0 n'a pas de solutions et f(x) n'est pas factorisable. S=
 
2e cas Δ=0
 
Si Δ=0 alors, Δ4a2=0
 
Donc f(x)=a(x+b2a)2
 
f(x)=0 si, et seulement si, a(x+b2a)2=0   or a0
 
Par suite,
 
f(x)=0a(x+b2a)2=0(x+b2a)(x+b2a)=0x=b2a  ou  x=b2a
 
On a donc une racine double x0=b2a et f(x)=a(xx0)2
 
D'où : si Δ=0,  ax2+bx+c=0 a une racine double x0=b2a ; S={b2a} et f(x)=a(xx0)2 est la forme factorisée de f(x).

3e cas Δ>0

Si Δ>0 alors, Δ4a2=(Δ2a)2

 
Ainsi,
 
f(x)=a[(x+b2a)2(Δ2a)2]=a(x+b2aΔ2a)(x+b2a+Δ2a)=a(xb+Δ2a)(xbΔ2a)
 
Comme a0 alors,
 
f(x)=0(xb+Δ2a)=0 ou (xbΔ2a)=0x=b+Δ2a  ou  x=bΔ2a
 
Donc si Δ>0 on a deux solutions distinctes

x1=b+Δ2a  et  x2=bΔ2a et f(x)=a(xx1)(xx2) est la forme factorisée de f(x).

D'où, si Δ>0;ax2+bx+c=0 admet deux racines distinctes

x1=b+Δ2a et x2=bΔ2a

S={x1; x2} et f(x)=a(xx1)(xx2) est la forme factorisée de f(x).

I.4 Le signe de ax2+bx+c

Soit f(x)=ax2+bx+c=a[(x+b2a)2Δ4a2] avec a0 et Δ=b24ac.

Étudions le signe de f(x) suivant celui de Δ

1e cas Δ<0

Si Δ<0 alors, Δ4a2>0  or, (x+b2a)20

Donc, (x+b2a)2Δ4a2>0

a>0  f(x)>0.

Ainsi, pour  Δ<0 le trinôme ax2+bx+c est toujours du signe de a.

D'où, a<0  f(x)<0.

2e cas Δ=0

Si Δ=0 alors, f(x)=a(x+b2a)2 or, (x+b2a)20

Et donc,

si x=b2a alors, f(x)=0

si xb2a alors, f(x) a même signe que a

Ainsi, pour Δ=0,  f(x) est toujours du signe de a sauf pour x=b2a

3e cas Δ>0

Si Δ>0 alors, le trinôme f(x)=ax2+bx+c est factorisable et admet deux racines distinctes x1 et x2. On a alors :

f(x)=a(xb+Δ2a)(xbΔ2a)=a(xx1)(xx2)

Exploitons le tableau de signe ci-après

xx1x2+xx10+|+xx2|0+(xx1)(xx2)+||+f(x)=a(xx1)(xx2)signe de a0signe de a0signe de a

Nous observons donc que si Δ>0 alors, f(x) est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de a à l'intérieur des racines.

Exercice d'application

Donner la forme factorisée de f(x) et g(x) et déterminer leur signe suivant les valeurs de x.
 
f(x)=2x2+2x24
 
g(x)=x2+x+2

Résolution

Factorisation de f(x)
 
f(x)=2x2+2x24
 
On a Δ=224(2)(24)=196=142
 
Donc, x1=2144=4etx2=2+144=3
 
D'où, f(x)=2(x+4)(x3)
 
Signe de f(x)
 
x43+||f(x)+00+||
 
Ainsi, d'après le tableau de signe on a :
 
f(x)0 si x]; 4][3; +[
 
f(x)0 si x[4; 3]
 
Factorisation de g(x)
 
g(x)=x2+x+2
 
Soit Δ=(1)24(1)(2)=9=32
 
Alors, x1=132=2etx2=1+32=1
 
D'où g(x)=(x+1)(x2)
 
Signe de g(x)
 
x12+||g(x)0+0||
 
Donc, d'après le tableau de signe on a :
 
g(x)0 si x]; 1][2; +[
 
g(x)0 si x[1; 2] 

Remarque : Discriminant réduit

Soit le trinôme du second degré ax2+bx+c ; avec a0.
 
On a : Δ=b24ac et soit bR tel b=2b
 
Alors,
 
Δ=(2b)24ac=4b24ac=4(b2ac)
 
Posons Δ=b2ac donc Δ=4Δ
 
Δ est appelé discriminant réduit.
 
Si Δ>0 alors on a deux racines qui sont de la forme 
 
x1=bΔaetx2=b+Δa

Exemple 

Soit f(x)=3x26x+2
 
On a 3x26x+2=3x2+2(3)x+2 donc Δ=(3)23×2=96=3
 
Ainsi, x1=333etx2=3+33

I.5 Théorème

Soit le trinôme f(x)=ax2+bx+c avec a0, de discriminant Δ=b24ac. L'étude de ce trinôme est récapitulée dans les tableaux ci-après.

Δ<0Pas de racines S=ax2+bx+c non factorisable ax2+bx+c est toujours du signe de a

Δ=0 On a une racine double; x0=b2aS={x0}f(x)=a(xx0)2ax2+bx+c est du signe de a sauf pour x=x0=b2a

Δ>0 On a deux racines distinctes x1=b+Δ2a et x2=bΔ2aS={x1; x2}f(x)=a(xx1)(xx2)ax2+bx+c est du signe de a à l'extérieur des reacines, et du signe de a à l'intérieur des racines 

I.6 Somme et produit des racines d'un trinôme du second degré

Soit le trinôme f(x)=ax2+bx+c avec a0, de discriminant Δ=b24ac. Supposons que f(x) admette deux racines distinctes (c'est-à-dire Δ>0) x1 et x2. On a :
x1=b+Δ2aetx2=bΔ2a
Exprimons la somme des racines S=x1+x2 et le produit des racines P=x1.x2 en fonction de a,  b et c.

On a :

S=x1+x2=b+Δ2a+bΔ2a=2b2a=ba

D'où, S=x1+x2=ba

et

P=x1.x2=(b+Δ2a)(bΔ2a)=(b)2(Δ)24a2=b2Δ4a2=b2(b24ac)4a2=b2b2+4ac4a2=4ac4a2=ca

D'où, P=x1.x2=ca

Exercice d'application 

1) Sans chercher les solutions de l'équation 2x2(75)x9=0

déterminer la somme et le produit des racines.
 
2) Soit l'équation 2x2+3x2342=0

Sachant que 2 est racine déterminer l'autre racine sans calculer Δ

Résolution

1) S=x1+x2=ba=752  et  P=x1.x2=ca=92
 
2) 2 est racine de 2x2+3x2342=0
 
On a : S=x1+x2=2+x2=32 donc x2=322
 
Ainsi, x2=622
 
On a aussi P=2x2=23422
 
Ce qui donne : x2=234222=622

Remarque :

Si x1 et x2 sont solutions de ax2+bx+c=0 avec a0 alors, x1 et x2 sont solutions de a(x2+bax+ca)=0

Donc, x1 et x2 sont solutions de x2+bax+ca=0  or S=ba et P=ca

D'où, x1 et x2 sont solutions de x2Sx+P=0

Exercice d'application 

1) Trouver 2 nombres de somme 31 et de produit 240.
 
2) Résoudre dans R2 
 
{x+y=9xy=14 

Résolution 

1) Soient x et y ces deux nombres 
 
On a {x+y=31xy=240 
 
x et y sont solutions de l'équation x231x+240=0
 
Δ=(31)24(1)(240)=961960=1
 
Donc, x=x1=3112=15ety=x2=31+12=16
 
2) Soit à résoudre dans R2 le système {x+y=9xy=14 
 
On a :
 
x et y solutions de l'équation t29t+14=0
 
Δ=(9)24(1)(14)=8156=25
 
Donc, t1=952=2ett2=9+52=7
 
Ainsi, x=2 et y=7 ou x=7 et y=2
 
D'où, S={(2; 7), (7; 2)}

II. Équations se ramenant à une équation du second degré

II.1 Équations bicarrées

Une équation bicarrée est une équation de la forme ax4+bx2+c=0 avec a0 Pour la résoudre on fait un changement de variable en posant X=x2

Exemple :

Résoudre dans R  x45x2+6=0 (1)
 
Posons X=x2, donc l'équation (1) devient X25X+6=0 (2).
 
Résolvons l'équation (2). On a :
 
Δ=2524=1X1=512etX2=5+12X1=2=x2etX2=3=x2{x1=2 ou x1=2x2=3 ou x2=3
 
D'où, S={3; 2; 2; 3}

II.2 Équations symétriques

Les équations symétriques sont les équations de la forme ax4+bx3+cx2+bx+a=0. Pour résoudre ces types d'équations, on fait un changement de variable de la forme X=x+1x après une première factorisation par x2.

Exemple :

Soit f(x)=6x45x313x25x+6
 
1) Montrer que 0 n'est pas solution de f(x)=0
 
2) Déterminer g(x) telle que f(x)=x2.g(x)
 
3) Montrer que f(x)=0 si, et seulement si, g(x)=0
 
4) Résoudre dans R  g(x)=0. On pose X=x+1x

Résolution :

1) Montrons que 0 n'est pas solution de f(x)=0
 
On a f(0)=60 donc 0 n'est pas solution de f(x)=0
 
2) Déterminons g(x) pour que f(x)=x2.g(x)Nous avons :
 
f(x)=6x45x313x25x+6=x2(6x25x135x+6x2)=x2.g(x)
 
avec g(x)=6x25x135x+6x23) Montrons que f(x)=0 si, et seulement si, g(x)=0
 
   si g(x)=0 alors f(x)=x2.0=0.
 
   si f(x)=0 montons que g(x)=0. Soit f(x)=0 alors, x2.g(x)=0. Et donc, x2=0  ou  g(x)=0
 
Ce qui revient à dire x=0  ou  g(x)=0   or x0  car 0 n'est pas solution, donc g(x)=0
 
4) Résolvons dans R  g(x)=0
 
On a : g(x)=6x25x135x+6x2. Posons X=x+1x
 
Alors, on a  x2+1x2=X22
 
Ainsi,
 
g(x)=6x25x135x+6x2=6(x2+1x2)5(x+1x)13=6(X22)5X13=6X25X25

Soit Δ=524(6)(25)=25+600=625, et donc Δ=25

 X1=52512 et X2=5+2512

 X1=53 et X2=52

En faisant un retour sur le changement de variable, on obtient :

  53=x+1x  53=x2+1x

Ce qui donne 5x=3x2+3  3x2+5x+3=0

Soit Δ=2536=11<0; et donc pas de solutions

  52=x+1x  52=x2+1x

Donc, 5x=2x2+2  2x25x+2=0

Δ=2516=9  Δ=3

Ainsi, x1=534 et x2=5+34

 x1=12 et x2=2

S={12; 2}

III. Équations paramétriques

Une équation paramétrique est une équation comportant des paramètres.
 
Par exemple 2x2+(m+3)x4m+1=0 et (λ2)x2+λx+3λ=0 sont des équations paramétriques avec m et λ comme paramètres respectifs.

Exemple :

Déterminons suivant les valeurs du paramètre m les solutions de x2++3x+m1=0
 
On a :  Δ=324(1)(m1)=94m+4
 
Donc, Δ=134mÉtudions le signe de Δ
 
Nous avons : 134m0  m134
 
Et donc,

   si m]; 134[  Δ>0 on a deux racines distinctes

x1=3134m2 et x2=3+134m2,   S={x1; x2}

   si m=134  Δ=0 l'équation admet une racine double x0=32;  S={32}

   si m]134; +[  Δ<0 l'équation n'admet pas de racines, et donc S=

 

Auteur: 
Diny Faye & Seyni Ndiaye

Commentaires

J'aime beaucoup

tres intéressant

شكرا جزيلا

Très bon supports

Très intéressant J’aime beaucoup

Ajouter un commentaire