I. Trinôme du second degré
I.1 Définition
On appelle trinôme du second degré, toute expression de la forme ax2+bx+c;a, b et c ∈R;a≠0
I.2 Forme canonique d'un trinôme du second degré
Soit f(x)=ax2+bx+c avec a≠0. On a :
f(x)=a[x2+bax+ca] or x2+bax=(x+b2a)2−b24a2
Donc,
f(x)=a[(x+b2a)2−b24a2+ca]=a[(x+b2a)2−b24a2+4ac4a2]=a[(x+b2a)2−(b2−4ac4a2)]
Ainsi, la forme canonique de f(x) est donnée par a[(x+b2a)2−(b2−4ac4a2)]
Exercice d'application
Déterminer les formes canoniques de
f(x)=3x2−4x+5
g(x)=−2x2+7x−9
h(x)=x2−6x+7
m(x)=−x2+6x−9
Résolution
f(x)=3[x2−43x+53] or x2−43x=(x−46)2−1636=3[(x−46)2−1636+53]=3[(x−46)2−(16−6036)]=3[(x−23)2+(119)]
g(x)=−2[x2−72x+92] or x2−72x=(x−74)2−4916=2[(x−74)2−4916+92]=2[(x−74)2−(49−7216)]=2[(x−74)2+(2316)]
h(x)=x2−6x+7 or x2−6x=(x−3)2−9=(x−3)2−9+7=[(x−3)2−2]
m(x)=−1[x2−6x+9] or x2−6x=(x−3)2−9=−1[(x−3)2−9+9]=−(x−3)2
I.3 Résolution de ax2+bx+c=0 et factorisation
Soit f(x)=ax2+bx+c
⇒ f(x)=a[(x+b2a)2−(b2−4ac4a2)]
Posons Δ=b2−4ac. Δ est appelé le discriminant du trinôme ax2+bx+c
Par suite, f(x)=a[(x+b2a)2−Δ4a2]
Cherchons les solutions de f(x)=0 suivant Δ puis factorisons f(x).
1e cas Δ<0
Si Δ<0 alors, −Δ4a2>0 or, (x+b2a)2≥0
Donc (x+b2a)2−Δ4a2>0 ⟹ (x+b2a)2−Δ4a2≠0 or a≠0
donc f(x)=a[(x+b2a)2−Δ4a2]≠0∀x
D'où si Δ<0 l'équation ax2+bx+c=0 n'a pas de solutions et f(x) n'est pas factorisable. S=∅
2e cas Δ=0
Si Δ=0 alors, −Δ4a2=0
Donc f(x)=a(x+b2a)2
f(x)=0 si, et seulement si, a(x+b2a)2=0 or a≠0
Par suite,
f(x)=0⇔a(x+b2a)2=0⇔(x+b2a)(x+b2a)=0⇔x=−b2a ou x=−b2a
On a donc une racine double x0=−b2a et f(x)=a(x−x0)2
D'où : si Δ=0, ax2+bx+c=0 a une racine double x0=−b2a ; S={−b2a} et f(x)=a(x−x0)2 est la forme factorisée de f(x).
3e cas Δ>0
Si Δ>0 alors, Δ4a2=(√Δ2a)2
Ainsi,
f(x)=a[(x+b2a)2−(√Δ2a)2]=a(x+b2a−√Δ2a)(x+b2a+√Δ2a)=a(x−−b+√Δ2a)(x−−b−√Δ2a)
Comme a≠0 alors,
f(x)=0⇔(x−−b+√Δ2a)=0 ou (x−−b−√Δ2a)=0⇔x=−b+√Δ2a ou x=−b−√Δ2a
Donc si Δ>0 on a deux solutions distinctes
x1=−b+√Δ2a et
x2=−b−√Δ2a et
f(x)=a(x−x1)(x−x2) est la forme factorisée de
f(x).
D'où, si Δ>0;ax2+bx+c=0 admet deux racines distinctes
x1=−b+√Δ2a et x2=−b−√Δ2a
S={x1; x2} et f(x)=a(x−x1)(x−x2) est la forme factorisée de f(x).
I.4 Le signe de ax2+bx+c
Soit
f(x)=ax2+bx+c=a[(x+b2a)2−Δ4a2] avec
a≠0 et
Δ=b2−4ac.
Étudions le signe de f(x) suivant celui de Δ
1e cas Δ<0
Si Δ<0 alors, −Δ4a2>0 or, (x+b2a)2≥0
Donc, (x+b2a)2−Δ4a2>0
a>0 ⟹ f(x)>0.
Ainsi, pour Δ<0 le trinôme ax2+bx+c est toujours du signe de a.
D'où, a<0 ⇒ f(x)<0.
2e cas Δ=0
Si Δ=0 alors, f(x)=a(x+b2a)2 or, (x+b2a)2≥0
Et donc,
si x=−b2a alors, f(x)=0
si x≠−b2a alors, f(x) a même signe que a
Ainsi, pour Δ=0, f(x) est toujours du signe de a sauf pour x=−b2a
3e cas Δ>0
Si Δ>0 alors, le trinôme f(x)=ax2+bx+c est factorisable et admet deux racines distinctes x1 et x2. On a alors :
f(x)=a(x−−b+√Δ2a)(x−−b−√Δ2a)=a(x−x1)(x−x2)
Exploitons le tableau de signe ci-après
x−∞x1x2+∞x−x1−0+|+x−x2−|−0+(x−x1)(x−x2)+|−|+f(x)=a(x−x1)(x−x2)signe de a0−signe de a0signe de a
Nous observons donc que si Δ>0 alors, f(x) est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de −a à l'intérieur des racines.
Exercice d'application
Donner la forme factorisée de f(x) et g(x) et déterminer leur signe suivant les valeurs de x.
f(x)=2x2+2x−24
g(x)=−x2+x+2
Résolution
Factorisation de f(x)
f(x)=2x2+2x−24
On a Δ=22−4(2)(−24)=196=142
Donc, x1=−2−144=−4etx2=−2+144=3
D'où, f(x)=2(x+4)(x−3)
Signe de f(x)
x−∞−43+∞||f(x)+0−0+||
Ainsi, d'après le tableau de signe on a :
f(x)≥0 si x∈]−∞; −4]∪[3; +∞[
f(x)≤0 si x∈[−4; 3]
Factorisation de g(x)
g(x)=−x2+x+2
Soit Δ=(1)2−4(−1)(2)=9=32
Alors, x1=−1−3−2=2etx2=−1+3−2=−1
D'où g(x)=−(x+1)(x−2)
Signe de g(x)
x−∞−12+∞||g(x)−0+0−||
Donc, d'après le tableau de signe on a :
g(x)≤0 si x∈]−∞; −1]∪[2; +∞[
g(x)≥0 si x∈[−1; 2]
Remarque : Discriminant réduit
Soit le trinôme du second degré ax2+bx+c ; avec a≠0.
On a : Δ=b2−4ac et soit b′∈R tel b=2b′
Alors,
Δ=(2b′)2−4ac=4b′2−4ac=4(b′2−ac)
Posons Δ′=b′2−ac donc Δ=4Δ′
Δ′ est appelé discriminant réduit.
Si Δ′>0 alors on a deux racines qui sont de la forme
x1=−b′−√Δ′aetx2=−b′+√Δ′a
Exemple
Soit f(x)=3x2−6x+2
On a 3x2−6x+2=3x2+2(−3)x+2 donc Δ′=(−3)2−3×2=9−6=3
Ainsi, x1=3−√33etx2=3+√33
I.5 Théorème
Soit le trinôme
f(x)=ax2+bx+c avec
a≠0, de discriminant
Δ=b2−4ac. L'étude de ce trinôme est récapitulée dans les tableaux ci-après.
Δ<0Pas de racines S=∅ax2+bx+c non factorisable ax2+bx+c est toujours du signe de a
Δ=0 On a une racine double; x0=−b2aS={x0}f(x)=a(x−x0)2ax2+bx+c est du signe de a sauf pour x=x0=−b2a
Δ>0 On a deux racines distinctes x1=−b+√Δ2a et x2=−b−√Δ2aS={x1; x2}f(x)=a(x−x1)(x−x2)ax2+bx+c est du signe de a à l'extérieur des reacines, et du signe de −a à l'intérieur des racines
I.6 Somme et produit des racines d'un trinôme du second degré
Soit le trinôme
f(x)=ax2+bx+c avec
a≠0, de discriminant
Δ=b2−4ac. Supposons que
f(x) admette deux racines distinctes (c'est-à-dire
Δ>0)
x1 et
x2. On a :
x1=−b+√Δ2aetx2=−b−√Δ2a
Exprimons la somme des racines
S=x1+x2 et le produit des racines
P=x1.x2 en fonction de
a,
b et
c.
On a :
S=x1+x2=−b+√Δ2a+−b−√Δ2a=−2b2a=−ba
P=x1.x2=(−b+√Δ2a)(−b−√Δ2a)=(−b)2−(√Δ)24a2=b2−Δ4a2=b2−(b2−4ac)4a2=b2−b2+4ac4a2=4ac4a2=ca
D'où, P=x1.x2=ca
Exercice d'application
1) Sans chercher les solutions de l'équation 2x2−(√7−√5)x−9=0
déterminer la somme et le produit des racines.
2) Soit l'équation √2x2+√3x−2√3−4√2=0
Sachant que 2 est racine déterminer l'autre racine sans calculer Δ
Résolution
1) S=x1+x2=−ba=√7−√52 et P=x1.x2=ca=−92
2) 2 est racine de √2x2+√3x−2√3−4√2=0
On a : S=x1+x2=2+x2=−√3√2 donc x2=−√3√2−2
Ainsi, x2=−√62−2
On a aussi P=2x2=−2√3−4√2√2
Ce qui donne : x2=−2√3−4√22√2=−√62−2
Remarque :
Si
x1 et
x2 sont solutions de
ax2+bx+c=0 avec
a≠0 alors,
x1 et
x2 sont solutions de
a(x2+bax+ca)=0
Donc, x1 et x2 sont solutions de x2+bax+ca=0 or S=−ba et P=ca
D'où, x1 et x2 sont solutions de x2−Sx+P=0
Exercice d'application
1) Trouver 2 nombres de somme 31 et de produit 240.
2) Résoudre dans R2
{x+y=9xy=14
Résolution
1) Soient x et y ces deux nombres
On a {x+y=31xy=240
x et y sont solutions de l'équation x2−31x+240=0
Δ=(−31)2−4(1)(240)=961−960=1
Donc, x=x1=31−12=15ety=x2=31+12=16
2) Soit à résoudre dans R2 le système {x+y=9xy=14
On a :
x et y solutions de l'équation t2−9t+14=0
Δ=(−9)2−4(1)(14)=81−56=25
Donc, t1=9−52=2ett2=9+52=7
Ainsi, x=2 et y=7 ou x=7 et y=2
D'où, S={(2; 7), (7; 2)}
II. Équations se ramenant à une équation du second degré
II.1 Équations bicarrées
Une équation bicarrée est une équation de la forme ax4+bx2+c=0 avec a≠0 Pour la résoudre on fait un changement de variable en posant X=x2
Exemple :
Résoudre dans R x4−5x2+6=0 (1)
Posons X=x2, donc l'équation (1) devient X2−5X+6=0 (2).
Résolvons l'équation (2). On a :
Δ=25−24=1⇒X1=5−12etX2=5+12⇒X1=2=x2etX2=3=x2⇒{x1=√2 ou x1=−√2x2=√3 ou x2=−√3
D'où, S={−√3; −√2; √2; √3}
II.2 Équations symétriques
Les équations symétriques sont les équations de la forme ax4+bx3+cx2+bx+a=0. Pour résoudre ces types d'équations, on fait un changement de variable de la forme X=x+1x après une première factorisation par x2.
Exemple :
Soit f(x)=6x4−5x3−13x2−5x+6
1) Montrer que 0 n'est pas solution de f(x)=0
2) Déterminer g(x) telle que f(x)=x2.g(x)
3) Montrer que f(x)=0 si, et seulement si, g(x)=0
4) Résoudre dans R g(x)=0. On pose X=x+1x
Résolution :
1) Montrons que 0 n'est pas solution de f(x)=0
On a f(0)=6≠0 donc 0 n'est pas solution de f(x)=0
2) Déterminons g(x) pour que f(x)=x2.g(x)Nous avons :
f(x)=6x4−5x3−13x2−5x+6=x2(6x2−5x−13−5x+6x2)=x2.g(x)
avec g(x)=6x2−5x−13−5x+6x23) Montrons que f(x)=0 si, et seulement si, g(x)=0
⋅ si g(x)=0 alors f(x)=x2.0=0.
⋅ si f(x)=0 montons que g(x)=0. Soit f(x)=0 alors, x2.g(x)=0. Et donc, x2=0 ou g(x)=0
Ce qui revient à dire x=0 ou g(x)=0 or x≠0 car 0 n'est pas solution, donc g(x)=0
4) Résolvons dans R g(x)=0
On a : g(x)=6x2−5x−13−5x+6x2. Posons X=x+1x
Alors, on a x2+1x2=X2−2
Ainsi,
g(x)=6x2−5x−13−5x+6x2=6(x2+1x2)−5(x+1x)−13=6(X2−2)−5X−13=6X2−5X−25
Soit
Δ=52−4(6)(−25)=25+600=625, et donc
√Δ=25
⇒ X1=5−2512 et X2=5+2512
⇒ X1=−53 et X2=52
En faisant un retour sur le changement de variable, on obtient :
⋅ −53=x+1x ⟹ −53=x2+1x
Ce qui donne −5x=3x2+3 ⟹ 3x2+5x+3=0
Soit Δ=25−36=−11<0; et donc pas de solutions
⋅ 52=x+1x ⟹ 52=x2+1x
Donc, 5x=2x2+2 ⟹ 2x2−5x+2=0
Δ=25−16=9 ⟹ √Δ=3
Ainsi, x1=5−34 et x2=5+34
⟹ x1=12 et x2=2
S={12; 2}
III. Équations paramétriques
Une équation paramétrique est une équation comportant des paramètres.
Par exemple 2x2+(m+3)x−4m+1=0 et (λ−2)x2+λx+3−λ=0 sont des équations paramétriques avec m et λ comme paramètres respectifs.
Exemple :
Déterminons suivant les valeurs du paramètre m les solutions de x2++3x+m−1=0
On a : Δ=32−4(1)(m−1)=9−4m+4
Donc, Δ=13−4mÉtudions le signe de Δ
Nous avons : 13−4m≥0 ⇔ m≤134
Et donc,
⋅ si
m∈]−∞; 134[ ⇒ Δ>0 on a deux racines distinctes
x1=3−√13−4m2 et x2=−3+√13−4m2, S={x1; x2}
⋅ si m=134 ⇒ Δ=0 l'équation admet une racine double x0=−32; S={−32}
⋅ si m∈]134; +∞[ ⇒ Δ<0 l'équation n'admet pas de racines, et donc S=∅
Commentaires
Aliou Badara Ndour (non vérifié)
mar, 04/09/2019 - 17:08
Permalien
J'aime beaucoup
Anonyme (non vérifié)
jeu, 02/06/2020 - 13:26
Permalien
tres intéressant
Anonyme (non vérifié)
ven, 02/07/2020 - 11:54
Permalien
شكرا جزيلا
Aly Cisse (non vérifié)
lun, 02/15/2021 - 21:32
Permalien
Support
Moustapha lô (non vérifié)
ven, 10/22/2021 - 17:53
Permalien
Bien
Moustapha lô (non vérifié)
ven, 10/22/2021 - 17:53
Permalien
Bien
Ndiaye (non vérifié)
mer, 01/19/2022 - 19:47
Permalien
Très intéressant
Ajouter un commentaire