Corrigé BFEM Maths 2019 2ième groupe

 

Exercice 1

1) Deux nombres m et n sont dits inverses lorsque leur produit est égal à 1 :
 
m×n=1. 
 
Dans ce cas, chacun de ces nombres est l'inverse de l'autre. 
 
On a à la fois m=1n et n=1m.
 
1er méthode
 
Le numérateur de x, 2+34, s'écrit, en réduisant au même dénominateur : 
 
2×4+34=8+34=114.
 
Par conséquent, le nombre x=2+345 est égal à 1145=114×15=1120 et par suite, son inverse vaut 2011. 
 
2ième méthode
 
L'inverse de x est 52+34=5(114)=5×411=5×411=2011.
 
Ce nombre est bien de la forme pq avec p=20 et q=11.
 
2) On multiplie le numérateur et le dénominateur de a par l'expression conjuguée du dénominateur de a qui est 23+2. 
 
On obtient ainsi
 
a=(23)(23+2)(232)(23+2)=43+42×323(23)24=2328=314 
 
3) Calculons d'abord (a+1). 
 
On a d'après la question précédente :
a+1=314+1=31+44=314.
L'inverse de (a+1) est alors égal à
 
43+3=43+3=4(33)(3+3)(33)=4(33)32(3)2=4(33)93=4(33)6=23×(33)
 
4) L'inégalité 1.732<3<1.733 est équivalente, en ajoutant 1 aux 3 membres, à 0.732<31<0.733 puis en divisant les trois membres par 4 qui est positif, on obtient :
0.7324<314<0.7334.
 
La machine donne les approximations suivantes : 
 
0.73240.183 et 0.73340.18325
 
Ainsi on a 0.18<a<0.19 qui est bien un encadrement de a à 102 près.

Exercice 2

1) Seuls les ensembles S4 et S5 peuvent éventuellement convenir, car les solutions d'un système sont nécessairement des couples.
 
Si x=1  et  y=2, la première équation du système est vérifiée car 3×121=0 et la seconde aussi car 12×2+3=0.
 
Si x=2  et  y=1, la première équation du système n'est pas vérifiée car 3×211=40
 
On en conclut finalement que S4 est l'ensemble des solutions du système.
 
2) a) Quand le garçon avait l'âge de sa sœur, il était âgé de y années.
 
C'était donc il y a xy années (son âge actuel moins son âge d'alors). 
 
Comme les deux enfants grandissent en même temps, l'âge de la sœur était alors y(xy)=2yx années.
 
b) Puisque l'âge actuel du garçon est le double de l'âge de sa sœur à l'époque, on a : 
x=2(2yx)
Soit :
 
x=4y2x3x=4yx=43y
 
3) Compte tenu de l'hypothèse et des résultats précédents, les âges actuels x  et  y des deux enfants vérifient le système {x+y=42x=43y
On peut résoudre ce système par la méthode de substitution, puisque x est déjà exprimé en fonction de y. 
 
On a alors : 
 
43y+y=42, soit 73y=42, d'où y=3×427=3×6=18 et par suite, x=43×18=4×6=24.
 
On conclut que le garçon a actuellement 24 ans et la fille 18 ans.

Vérification : 

Quand le garçon avait l'âge de sa sœur, c'est-à-dire 18 ans, c'était il y a (2418)=6 ans. 
 
La fille avait alors 186=12 ans et l'âge actuel du garçon, 24 ans est bien le double de cet âge.

Exercice 3

1) Voir figure ci-dessous
 
 
2) D'après une propriété du Cours, les coordonnées de I sont les demi-sommes des abscisses et des ordonnées des points A et C : I(xA+xC2yA+yC2), soit I(2+02152) ou encore I(12).
 
3) 1er méthode 
 
Puisque I est le milieu de [AC], et par conséquent, le centre du cercle (C) de diamètre [AC], le rayon de ce cercle est égale à la distance IC ou mieux encore à la moitié de la distance AC.
 
Or, on a :
 
AC=(xCxA)2+(yCyA)2=(02)2+(51)2=4+36=40=210
 
Donc le rayon de ce cercle est égal à 10.
 
Pour justifier que B est un point du cercle (C), il suffit de montrer que la distance IB est égal à 10. 
 
Or, d'après les données de l'énoncé et les coordonnées de I calculées précédemment, on a :
 
IB=(xBxI)2+(yByI)2=(41)2+(3+2)2=9+1=10
 
D'où le résultat.
 
2ième méthode
 
Montrer que les droites (BC) et (BA) sont perpendiculaires, ou, ce qui revient au même, que les vecteurs BC et BA sont orthogonaux.
 
Or, BC a pour coordonnées (xCxCyCyB), soit BC(045(3)) ou encore BC(42), et BA a pour coordonnées (xAxByAyB), soit BA(241(3)) ou encore BA(24).
 
La condition d'orthogonalité s'écrit : 
xBCxBA+yBCyBA=0
 
ou encore : 4×(2)+(2)×4=88=0, ce qui est bien vrai.
 
Il suffit alors d'utiliser la propriété classique : 
 
« Tout point M tel que les droites (MA) et (MB) soient perpendiculaires est situé sut le cercle de diamètre [AB].
 
4) (T) est, par définition d'une tangente en un point à un cercle, la perpendiculaire en B à la droite (IB). 
 
Un point P de coordonnées (x, y) est situé sur (T) si et seulement si les vecteurs BP et BI sont orthogonaux, (voir figure ci-dessous), ce qui se traduit par la condition :
xBPxBI+yBPyBI=0
 
Or, BP a pour coordonnées (xxByyB), soit BP(x4y(3)) ou encore BP(x4y+3) et BI a pour coordonnées (xIxByIyB), soit BI(142(3)) ou encore BI(31).
 
La condition d'orthogonalité s'écrit donc : 
 
3(x4)+1×(y+3)=0, soit après simplification : 3x+y+15=0.
 
5) Le point M, étant situé sur l'axe des abscisses, a pour ordonnée 0 et son abscisse xM doit vérifier l'équation précédente, d'où : 
 
3xM+0+15=0, ce qui entraîne que xM=5.
 
Il en résulte que le point M a pour coordonnées (5; 0).
 
 
 

Exercice 3 (7 points)

1) Dans un repère orthonormal (O, i, j), construis les points A(2; 1), B(4; 3), et C(0; 5).
 
2) Détermine les coordonnées du milieu I de [AC].
 
3) Justifie que le point B appartient au cercle (C) de diamètre [AC].
 
4) Détermine l'équation de la tangente (T) au cercle (C) en B.
 
Détermine les coordonnées du point M intersection de la droite (T) avec l'axe des abscisses.

 

Commentaires

EXCELLENT

Salut Mr comment vous allez je voulais la correction des bfem 2018 2019 et 2020 en maths et pc si c'est possible merci pour la compréhension

Je voulais anglais bfem

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