Corrigé BFEM maths 2010

 

Le schéma ci-dessous représente le patron d'un cône de révolution de sommet $S$, de rayon de base $r.$

La génératrice $[SA]$ a pour longueur $36\;cm.$

 

1) Justifions que la circonférence de sa base mesure $54\pi\;cm$

 

Soit $p$ le périmètre de base de la cône.

 

On constate alors que la longueur de l'arc $\overset{\displaystyle\frown}{AA'}$ est égale au périmètre de la base du cône.

 

Or, la longueur de l'arc $\overset{\displaystyle\frown}{AA'}$ est donnée par :

$$\overset{\displaystyle\frown}{AB}=SA\times mes\,\hat{S}$$

Donc, $p=SA\times 270^{\circ}$

 

Par ailleurs,

 

$\begin{array}{rcl} 270^{\circ}&=&180^{\circ}+90^{\circ}\\ \\&=&\pi+\dfrac{\pi}{2}\\ \\&=&\dfrac{2\pi+\pi}{2}\\ \\&=&\dfrac{3\pi}{2}\end{array}$

 

Donc, $270^{\circ}=\dfrac{3\pi}{2}$

 

Puis, en remplaçant dans l'expression de $p$, on obtient :

 

$\begin{array}{rcl} p&=&SA\times\dfrac{3\pi}{2}\\ \\&=&36\times\dfrac{3\pi}{2}\\ \\&=&\dfrac{108\pi}{2}\\ \\&=&54\pi\end{array}$

 

D'où, $\boxed{p=54\pi\;cm}$

 

2) Montrons que son rayon de base $r$ vaut $27\;cm$

 

Soit $p=2\pi r\ \Rightarrow\ r=\dfrac{p}{2\pi}$

 

Or, $p=54\pi\;cm$ donc, $r=\dfrac{54\pi}{2\pi}=27$

 

Ainsi, $\boxed{r=27\;cm}$

 

3) Justifions que la hauteur de ce cône est égale à $9\sqrt{7}\;cm$

 

En considérant la figure ci-dessous représentant le cône, on voit que la génératrice $[SA]$, la hauteur $h=SO$ et le rayon $r=OA$ forment un triangle rectangle $SOA$ en $O.$

Donc, d'après le théorème de Pythagore, on a :

$$SA^{2}=SO^{2}+OA^{2}$$

Par suite,

 

$\begin{array}{rcrcl} SO^{2}=SA^{2}-OA^{2}&\Rightarrow&SO&=&\sqrt{SA^{2}-OA^{2}}\\ \\&\Rightarrow&SO&=&\sqrt{(36)^{2}-(27)^{2}}\\ \\&\Rightarrow&SO&=&\sqrt{1296-729}\\ \\&\Rightarrow&SO&=&\sqrt{567}\\ \\&\Rightarrow&SO&=&\sqrt{81\times 7}\\ \\&\Rightarrow&SO&=&9\sqrt{7}\end{array}$

 

D'où, $\boxed{h=SO=9\sqrt{7}\;cm}$

 

4) Calculons l'aire totale de ce cône.

 

Soit : $\mathcal{A}$ l'aire totale du cône alors, on a :

$$\mathcal{A}=\mathcal{A}_{_{L}}+\mathcal{A}_{_{B}}$$

avec, $\mathcal{A}_{_{L}}=\pi\times SA\times r$ aire latérale et $\mathcal{A}_{_{B}}=\pi\times r^{2}$ aire de base.

 

Par suite,

 

$\begin{array}{rcl}\mathcal{A}&=&\pi\times SA\times r+\pi\times r^{2}\\ \\&=&3.14\times 36\times 27+3.14\times(27)^{2}\\ \\&=&3052.08+2289.06\\ \\&=&5341.14\end{array}$

 

Ainsi, $\boxed{\mathcal{A}=5341.14\;cm^{2}}$

Exercice 2