Vous êtes ici

Corrigé BFEM maths 2014

Exercice 1

Dans une petite et moyenne entreprise ou

$PMI$ on étudie la répartition des salaires des travailleurs.

Le schéma ci-dessous représente l'histogramme des

$E.C.C$ et celui des

$E.C.D$ tracés dans un même repère.

1) D'après le schéma :

a) le caractère étudié est le salaire des travailleurs. Il est de nature quantitative.

b) on décompte 72 travailleurs dans cette

$PMI.$

c) 48 travailleurs gagnent au moins

$100\:000\;F\;CFA.$

d) 42 travailleurs gagnent moins de

$150\:000\;F\;CFA.$

e) 6 travailleurs gagnent entre

$150\:000\;F\$ et

$\ 200\:000\;F.$

2) Histogramme des effectifs cumulés croissants

$\begin{array}{rcl}\text{Échelle }:\ 1\;cm&\longrightarrow&50\:000\;F\\ 0.5\;cm&\longrightarrow&3\text{ travailleurs} \end{array}$

3) Le salaire

$R$ constitue la médiane de la série statistique étudiée. Ce salaire sépare alors la population des travailleurs en deux groupes de même effectif.

4) Calculons la valeur de

$R$

$R$ étant la médiane donc,

$R$ est l'abscisse du point

$U$ d'ordonnée 36.

De plus, on constate que

$R\in\;[100\;;\ 150[$ et que

$U\in\;[FI]$

On a :

$U\in\;[FI]$ alors, les points

$F\;,\ U\$ et

$\ I$ sont alignés.

Donc, les vecteurs

$\overrightarrow{FI}\begin{pmatrix} 150-100\\42-24\end{pmatrix}\$ et

$\ \overrightarrow{FU}\begin{pmatrix} R-100\\36-24\end{pmatrix}\$ sont colinéaires.

On a :

$\overrightarrow{FI}\begin{pmatrix} 50\\18\end{pmatrix}\$ et

$\ \overrightarrow{FU}\begin{pmatrix} R-100\\12\end{pmatrix}$ colinéaires si, et seulement si,

$50\times 12-18\times(R-100)=0$

Soit alors,

$600-18\times R+1800=0$

Ce qui donne :

$18\times R=2400$

d'où,

$R=\dfrac{2400}{18}=133.333$

Ainsi,

$\boxed{R=133\:000\;F\;CFA}$ à 1 millier de francs près par défaut.

Exercice 2

On donne les réels :

$a=5-2\sqrt{5}\quad b=1+\dfrac{2}{5}\sqrt{5}\quad\text{et}\quad c=\dfrac{-5}{5+2\sqrt{5}}$

1) Justifions que

$a\$ et

$\ b$ sont des inverses l'un de l'autre.

On a :

$a$ et

$b$ sont inverses si, et seulement si,

$a\times b=1$

Donc, calculons le produit

$a\times b$

On a :

$\begin{array}{rcl} a\times b&=&(5-2\sqrt{5})\left(1+\dfrac{2}{5}\sqrt{5}\right)\\ \\&=&5\times 1+5\times\dfrac{2}{5}\sqrt{5}-1\times 2\sqrt{5}-(2\sqrt{5})\times\left(\dfrac{2}{5}\sqrt{5}\right) \\\\&=&5+2\sqrt{5}-2\sqrt{5}-4\\\\&=&5-4\\\\&=&1\end{array}$

Ainsi,

$a\times b=1$ , d'où

$a\$ et

$\ b$ sont inverses.

2) Justifions que

$a\$ et

$\ c$ sont opposés.

$a\$ et

$\ c$ sont opposés si, et seulement si,

$c=-a$ ou encore

$a+c=0.$

On a :

$c=\dfrac{-5}{5+2\sqrt{5}}$

Rendons rationnel le dénominateur en le multipliant par son expression conjuguée.

On obtient :

$\begin{array}{rcl} c&=&\dfrac{-5}{5+2\sqrt{5}}\\ \\&=&\dfrac{-5(5-2\sqrt{5})}{(5+2\sqrt{5})(5-2\sqrt{5})}\\ \\&=&\dfrac{-25+10\sqrt{5}}{5^{2}-(2\sqrt{5})^{2}}\\ \\&=&\dfrac{-25+10\sqrt{5}}{25-20}\\ \\&=&\dfrac{-25+10\sqrt{5}}{5}\\ \\&=&-5+2\sqrt{5}\ =\ -(5-2\sqrt{5})\end{array}$

donc, on voit bien que

$c=-a$

Ce qui montre alors que

$a\$ et

$\ c$ sont opposés.

3) Justifions que

$c=-\dfrac{1}{b}$

On a :

$b=1+\dfrac{2}{5}\sqrt{5}$

donc, en réduisant au même dénominateur on obtient :

$\begin{array}{rcl} b&=&1+\dfrac{2}{5}\sqrt{5}\\ \\&=&\dfrac{5}{5}+\dfrac{2}{5}\sqrt{5}\\ \\&=&\dfrac{5+2\sqrt{5}}{5}\end{array}$

ainsi,

$\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{\dfrac{5+2\sqrt{5}}{5}}\$ or, on sait que

$\dfrac{1}{\dfrac{N}{D}}=\dfrac{D}{N}$

par suite :

$\dfrac{1}{\dfrac{5+2\sqrt{5}}{5}}=\dfrac{5}{5+2\sqrt{5}}$

ce qui donne alors,

$\dfrac{1}{b}=\dfrac{5}{5+2\sqrt{5}}$

par conséquent,

$-\dfrac{1}{b}=\dfrac{-5}{5+2\sqrt{5}}=c$

Ce qui montre bien que

$c=-\dfrac{1}{b}$

4) Justifions que

$b\times c+1=0.$

On a :

$c=-\dfrac{1}{b}$ donc,

$c\times b=-1$

En ajoutant 1 à chaque membre on obtient :

$c\times b+1=-1+1=0$

5) Encadre

$c$ à

$10^{-2}$ près sachant que

$2.236<\sqrt{5}<2.237$

On a :

$\begin{array}{rcccl} 2.236&<&\sqrt{5}&<&2.237\\ 2\times 2.236&<&2\times\sqrt{5}&<&2\times 2.237\\ 5+2\times 2.236&<&5+2\times\sqrt{5}&<&5+2\times 2.237\\ 9.472&<&5+2\times\sqrt{5}&<&9.474\end{array}$

alors, en inversant chaque membre tout en changeant le sens des inégalités, on obtient :

$\dfrac{1}{9.474}<\dfrac{1}{5+2\sqrt{5}}<\dfrac{1}{9.472}$

Ce qui donne, après multiplication de chaque membre par

$(-5)$ , sachant que là encore les inégalités changent de sens :

$\dfrac{-5}{9.472}<\dfrac{-5}{5+2\sqrt{5}}<\dfrac{-5}{9.474}$

Soit alors :

$-0.5278<\dfrac{-5}{5+2\sqrt{5}}<-0.5277$

Par conséquent, un encadrement de

$c$ à

$10^{-2}$ près sera donné par :

$-0.53<c<-0.52$

Exercice 3

1) Faisons une figure

2) Calculons la mesure de l'angle

$\widehat{FAG}.$

On sait que dans un triangle rectangle les angles aigus sont complémentaires.

Donc :

$\widehat{EFG}+\widehat{EGF}=90^{\circ}$

Aussi, dans un triangle la somme des angles fait

$180^{\circ}.$

Donc, en considérant le triangle

$FAG$ on aura :

$\widehat{AFG}+\widehat{AGF}+\widehat{FAG}=180^{\circ}$

Or,

$\widehat{AFG}=\dfrac{1}{2}\widehat{EFG}\$ et

$\ \widehat{AGF}=\dfrac{1}{2}\widehat{EGF}$

ainsi,

$\begin{array}{rcl} \widehat{FAG}&=&180^{\circ}-(\widehat{AFG}+\widehat{AGF})\\ \\&=&180^{\circ}-\left(\dfrac{1}{2}\widehat{EFG}+\dfrac{1}{2}\widehat{EGF}\right)\\ \\&=&180^{\circ}-\dfrac{1}{2}(\widehat{EFG}+\widehat{EGF})\quad\text{or },\ \widehat{EFG}+\widehat{EGF}=90^{\circ}\\ \\&=&180^{\circ}-\dfrac{1}{2}90^{\circ}\\ \\&=&180^{\circ}-45^{\circ}\ =\ 135^{\circ}\end{array}$

D'où,

$\boxed{\widehat{FAG}=135^{\circ}}$

Exercice 4

Une bougie décorative a la forme d'un cône de révolution de sommet

$S$ , de hauteur

$27\;cm.$ Sa base est un disque de centre

$O$ et de rayon

$15\;cm.$

Cette bougie est formée de trois parties de couleurs différentes séparées par des plans parallèles au plan de sa base et qui coupent sa hauteur respectivement en

$M\$ et

$\ N$ tels que

$SM=MN=ON$

1) a) Montre que la longueur

$SM=9\;cm$

On a :

$SO=SM+MN+NO\$ or,

$\ SM=MN=ON$

donc,

$SO=3SM\$ d'où :

$SM=\dfrac{SO}{3}=\dfrac{27}{3}$

Par conséquent,

$SM=9\;cm$

Justifions que le cône de hauteur

$SM$ est une réduction de la bougie de coefficient

$\dfrac{1}{3}$

En effet, le cône de hauteur

$SM$ est obtenu en sectionnant la bougie parallèlement au plan de sa base. Donc, c'est une réduction de la bougie.

Son coefficient de réduction est donné par

$k=\dfrac{SM}{SO}=\dfrac{9}{27}=\dfrac{1}{3}$

b) Calculons le coefficient de réduction du cône de hauteur

$SN.$

Le cône de hauteur

$SN$ étant une réduction de la bougie alors, le coefficient de réduction est donné par

$k'=\dfrac{SN}{SO}.$

Or, on sait que

$SN=SM+MN\$ et que

$\ SM=SN=9\;cm$

Donc,

$SN=9+9=18\;cm$

Ainsi,

$k'=\dfrac{18}{27}=\dfrac{2}{3}$

2) a) Montre que le rayon de la base du cône de hauteur

$SM$ est

$5\;cm.$

On sait que dans le cadre d'une réduction de coefficient

$k$ les distances sont multipliées par

$k$ donc, si

$R$ est le rayon de base de la bougie et

$r$ celui du cône de hauteur

$SM$ alors, on aura :

$r=k\times R$

Ainsi,

$r=\dfrac{1}{3}\times 15=5\;cm$

Ce qui montre que le rayon de la base du cône de hauteur

$SM$ est

$5\;cm.$

b) Calcule son volume

$\mathcal{V}_{1}$

On sait que

$\mathcal{V}_{\text{cône}}=\dfrac{1}{3}\times\pi\times(\text{Rayon de base})^{2}\times(\text{Hauteur})$

Donc,

$\begin{array}{rcl} \mathcal{V}_{1}&=&\dfrac{1}{3}\times\pi\times r^{2}\times SM\\ \\&=&\dfrac{1}{3}\times\pi\times(5)^{2}\times(9)\\ \\&=&\dfrac{3.14\times 25\times 9}{3}\\ \\&=&235.5\end{array}$

D'où :

$\boxed{\mathcal{V}_{1}=235.5\;cm^{3}}$

3) a) Calculons le volume

$\mathcal{V}_{2}$ de la partie intermédiaire.

Soit

$\mathcal{V}'$ le volume du cône de hauteur

$SN$ et de rayon de base

$r'.$

On a :

$\begin{array}{rcl} \mathcal{V}'&=&\dfrac{1}{3}\times\pi\times r'^{2}\times SN\quad\text{avec }r'=k'\times R=\dfrac{2}{3}\times 15=10\\ \\&=&\dfrac{1}{3}\times\pi\times(10)^{2}\times(18)\\ \\&=&\dfrac{3.14\times 100\times 18}{3}\\ \\&=&1884\end{array}$

Donc,

$\mathcal{V}'=1884\;cm^{3}$

Alors,

$\begin{array}{rcl} \mathcal{V}_{2}&=&\mathcal{V}'-\mathcal{V}_{1}\\\\&=&1884-235.5\\\\&=&1648.5\end{array}$

D'où :

$\boxed{\mathcal{V}_{2}=1648.5\;cm^{3}}$

b) Calculons le volume

$\mathcal{V}_{3}$ de la partie inférieure.

Calculons d'abord le volume total

$\mathcal{V}$ de cette bougie.

On a :

$\begin{array}{rcl} \mathcal{V}&=&\dfrac{1}{3}\times\pi\times R^{2}\times SO\\ \\&=&\dfrac{1}{3}\times\pi\times(15)^{2}\times(27)\\ \\&=&\dfrac{3.14\times 225\times 27}{3}\\ \\&=&6358.5\end{array}$

Donc,

$\mathcal{V}=6358.5\;cm^{3}$

Par suite, on aura :

$\begin{array}{rcl}\mathcal{V}_{3}&=&\mathcal{V}-(\mathcal{V}_{1}+\mathcal{V}_{2})\\\\&=&6358-(235.5+1648.5)\\\\&=&6358.5-1884\\\\&=&4474.5\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{\mathcal{V}_{3}=4474.5\;cm^{3}}$

c) Exprimons

$\mathcal{V}_{2}$ et

$\mathcal{V}_{3}$ en fonction de

$\mathcal{V}_{1}.$

On a :

$\mathcal{V}_{2}=\mathcal{V}'-\mathcal{V}_{1}\$ or

$\ \mathcal{V}'=k'^{3}\mathcal{V}\$ et

$\ \mathcal{V}_{1}=k^{3}\mathcal{V}\$ car dans le cas d'une réduction de coefficient

$k$ les volumes sont multipliés par

$k^{3}.$

De ces dernières égalités on tire :

$\ \mathcal{V}=\dfrac{1}{k^{3}}\mathcal{V}_{1}$

Ainsi,

$\begin{array}{rcl}\mathcal{V}_{2}&=&\mathcal{V}'-\mathcal{V}_{1}\\\\&=&k'^{3}\mathcal{V}-\mathcal{V}_{1}\\ \\&=&\dfrac{k'^{3}}{k^{3}}\mathcal{V}_{1}-\mathcal{V}_{1}\\ \\&=&\left(\dfrac{k'}{k}\right)^{3}\mathcal{V}_{1}-\mathcal{V}_{1}\\ \\&=&\left(\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{1}{3}}\right)^{3}\mathcal{V}_{1}-\mathcal{V}_{1}\\ \\&=&8\mathcal{V}_{1}-\mathcal{V}_{1}\\ \\&=&7\mathcal{V}_{1}\end{array}$

D'où :

$\boxed{\mathcal{V}_{2}=7\mathcal{V}_{1}}$

Aussi, on a :

$\mathcal{V}_{3}=\mathcal{V}-(\mathcal{V}_{1}+\mathcal{V}_{2})\$ or

$\ \mathcal{V}=\dfrac{1}{k^{3}}\mathcal{V}_{1}\$ et

$\ \mathcal{V}_{2}=7\mathcal{V}_{1}$

Donc,

$\begin{array}{rcl}\mathcal{V}_{3}&=&\mathcal{V}-(\mathcal{V}_{1}+\mathcal{V}_{2})\\\\&=&\dfrac{1}{k^{3}}\mathcal{V}_{1}-\left(\mathcal{V}_{1}+7\mathcal{V}_{1}\right)\\ \\&=&\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{3}\right)^{3}}\mathcal{V}_{1}-8\mathcal{V}_{1}\\ \\&=&27\mathcal{V}_{1}-8\mathcal{V}_{1}\\ \\&=&19\mathcal{V}_{1}\end{array}$

Ainsi,

$\boxed{\mathcal{V}_{3}=19\mathcal{V}_{1}}$

Auteur:

Diny Faye