Corrigé BFEM maths 2014
Exercice 1
Dans une petite et moyenne entreprise ou PMI on étudie la répartition des salaires des travailleurs.
Le schéma ci-dessous représente l'histogramme des E.C.C et celui des E.C.D tracés dans un même repère.

1) D'après le schéma :
a) le caractère étudié est le salaire des travailleurs. Il est de nature quantitative.
b) on décompte 72 travailleurs dans cette PMI.
c) 48 travailleurs gagnent au moins 100000FCFA.
d) 42 travailleurs gagnent moins de 150000FCFA.
e) 6 travailleurs gagnent entre 150000F et 200000F.
2) Histogramme des effectifs cumulés croissants

Échelle : 1cm⟶50000F0.5cm⟶3 travailleurs
3) Le salaire R constitue la médiane de la série statistique étudiée. Ce salaire sépare alors la population des travailleurs en deux groupes de même effectif.
4) Calculons la valeur de R
R étant la médiane donc, R est l'abscisse du point U d'ordonnée 36.
De plus, on constate que R∈[100; 150[ et que U∈[FI]
On a : U∈[FI] alors, les points F, U et I sont alignés.
Donc, les vecteurs →FI(150−10042−24) et →FU(R−10036−24) sont colinéaires.
On a : →FI(5018) et →FU(R−10012) colinéaires si, et seulement si, 50×12−18×(R−100)=0
Soit alors, 600−18×R+1800=0
Ce qui donne : 18×R=2400
d'où, R=240018=133.333
Ainsi, R=133000FCFA à 1 millier de francs près par défaut.
Exercice 2
On donne les réels : a=5−2√5b=1+25√5etc=−55+2√5
1) Justifions que a et b sont des inverses l'un de l'autre.
On a : a et b sont inverses si, et seulement si, a×b=1
Donc, calculons le produit a×b
On a :
a×b=(5−2√5)(1+25√5)=5×1+5×25√5−1×2√5−(2√5)×(25√5)=5+2√5−2√5−4=5−4=1
Ainsi, a×b=1, d'où a et b sont inverses.
2) Justifions que a et c sont opposés.
a et c sont opposés si, et seulement si, c=−a ou encore a+c=0.
On a : c=−55+2√5
Rendons rationnel le dénominateur en le multipliant par son expression conjuguée.
On obtient :
c=−55+2√5=−5(5−2√5)(5+2√5)(5−2√5)=−25+10√552−(2√5)2=−25+10√525−20=−25+10√55=−5+2√5 = −(5−2√5)
donc, on voit bien que c=−a
Ce qui montre alors que a et c sont opposés.
3) Justifions que c=−1b
On a : b=1+25√5
donc, en réduisant au même dénominateur on obtient :
b=1+25√5=55+25√5=5+2√55
ainsi, 1b=15+2√55 or, on sait que 1ND=DN
par suite : 15+2√55=55+2√5
ce qui donne alors, 1b=55+2√5
par conséquent, −1b=−55+2√5=c
Ce qui montre bien que c=−1b
4) Justifions que b×c+1=0.
On a : c=−1b donc, c×b=−1
En ajoutant 1 à chaque membre on obtient :
c×b+1=−1+1=0
5) Encadre c à 10−2 près sachant que 2.236<√5<2.237
On a :
2.236<√5<2.2372×2.236<2×√5<2×2.2375+2×2.236<5+2×√5<5+2×2.2379.472<5+2×√5<9.474
alors, en inversant chaque membre tout en changeant le sens des inégalités, on obtient : 19.474<15+2√5<19.472
Ce qui donne, après multiplication de chaque membre par (−5), sachant que là encore les inégalités changent de sens : −59.472<−55+2√5<−59.474
Soit alors : −0.5278<−55+2√5<−0.5277
Par conséquent, un encadrement de c à 10−2 près sera donné par : −0.53<c<−0.52
Exercice 3
1) Faisons une figure

2) Calculons la mesure de l'angle ^FAG.
On sait que dans un triangle rectangle les angles aigus sont complémentaires.
Donc : ^EFG+^EGF=90∘
Aussi, dans un triangle la somme des angles fait 180∘.
Donc, en considérant le triangle FAG on aura : ^AFG+^AGF+^FAG=180∘
Or, ^AFG=12^EFG et ^AGF=12^EGF
ainsi,
^FAG=180∘−(^AFG+^AGF)=180∘−(12^EFG+12^EGF)=180∘−12(^EFG+^EGF)or , ^EFG+^EGF=90∘=180∘−1290∘=180∘−45∘ = 135∘
D'où, ^FAG=135∘
Son coefficient de réduction est donné par k=SMSO=927=13
Exercice 4
Une bougie décorative a la forme d'un cône de révolution de sommet S, de hauteur 27cm. Sa base est un disque de centre O et de rayon 15cm.

Cette bougie est formée de trois parties de couleurs différentes séparées par des plans parallèles au plan de sa base et qui coupent sa hauteur respectivement en M et N tels que SM=MN=ON
1) a) Montre que la longueur SM=9cm
On a : SO=SM+MN+NO or, SM=MN=ON
donc, SO=3SM d'où : SM=SO3=273
Par conséquent, SM=9cm
Justifions que le cône de hauteur SM est une réduction de la bougie de coefficient 13
En effet, le cône de hauteur SM est obtenu en sectionnant la bougie parallèlement au plan de sa base. Donc, c'est une réduction de la bougie.
Son coefficient de réduction est donné par k=SMSO=927=13
b) Calculons le coefficient de réduction du cône de hauteur SN.
Le cône de hauteur SN étant une réduction de la bougie alors, le coefficient de réduction est donné par k′=SNSO.
Or, on sait que SN=SM+MN et que SM=SN=9cm
Donc, SN=9+9=18cm
Ainsi, k′=1827=23
2) a) Montre que le rayon de la base du cône de hauteur SM est 5cm.
On sait que dans le cadre d'une réduction de coefficient k les distances sont multipliées par k donc, si R est le rayon de base de la bougie et r celui du cône de hauteur SM alors, on aura : r=k×R
Ainsi, r=13×15=5cm
Ce qui montre que le rayon de la base du cône de hauteur SM est 5cm.
b) Calcule son volume V1
On sait que Vcône=13×π×(Rayon de base)2×(Hauteur)
Donc,
V1=13×π×r2×SM=13×π×(5)2×(9)=3.14×25×93=235.5
D'où : V1=235.5cm3
3) a) Calculons le volume V2 de la partie intermédiaire.
Soit V′ le volume du cône de hauteur SN et de rayon de base r′.
On a :
V′=13×π×r′2×SNavec r′=k′×R=23×15=10=13×π×(10)2×(18)=3.14×100×183=1884
Donc, V′=1884cm3
Alors,
V2=V′−V1=1884−235.5=1648.5
D'où : V2=1648.5cm3
b) Calculons le volume V3 de la partie inférieure.
Calculons d'abord le volume total V de cette bougie.
On a :
V=13×π×R2×SO=13×π×(15)2×(27)=3.14×225×273=6358.5
Donc, V=6358.5cm3
Par suite, on aura :
V3=V−(V1+V2)=6358−(235.5+1648.5)=6358.5−1884=4474.5
Ainsi, V3=4474.5cm3
c) Exprimons V2 et V3 en fonction de V1.
On a : V2=V′−V1 or V′=k′3V et V1=k3V car dans le cas d'une réduction de coefficient k les volumes sont multipliés par k3.
De ces dernières égalités on tire : V=1k3V1
Ainsi,
V2=V′−V1=k′3V−V1=k′3k3V1−V1=(k′k)3V1−V1=(2313)3V1−V1=8V1−V1=7V1
D'où : V2=7V1
Aussi, on a : V3=V−(V1+V2) or V=1k3V1 et V2=7V1
Donc,
V3=V−(V1+V2)=1k3V1−(V1+7V1)=1(13)3V1−8V1=27V1−8V1=19V1
Ainsi, V3=19V1
Auteur:
Diny Faye
Commentaires
Omar GAYE (non vérifié)
ven, 10/23/2020 - 14:52
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Préparation concours
Anonyme (non vérifié)
mar, 04/20/2021 - 07:58
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Appréciable
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