Fonction Logarithme népérien
Definition:
La fonction logarithme népérien, notée ln, est la bijection réciproque de la fonction exp pour tout x de ]0,+∞[ et pour tout y de R, lnx=y, si et seulement si ey=x
Propriétés
Pour tout x element de ]0,+∞[, on a elnx=x
Pour tout x de R, lnex=x
ln1=0
lne=1
{x∈]0,+∞[y=lnx⟺x=ey
La fonction logarithme népérien est une bijection de ]0,+∞[ dans R
Propriétés
La fonction ln est définie sur ]0,+∞[ et verifie pour tout x, y element de ]0,+∞[,
lnxy=lnx+lny
ln1x=−lnx
lnxy=lnx−lny
ln√x=12lnx
Pour tout n∈Z, lnxn=nlnx
Propriétés
Soient a1,a2,...,an n réels strictement positives, on a:
ln(a1a2...an)=lna1+lna2+...lnan
Limite et continuité
La fonction ln est continue sur ]0,+∞[, et on a:
pour tout x appartenant à ]0,+∞[,
limx→+∞lnx=+∞
limx→0lnx=−∞
limx→+∞lnxxr=0 si r>0
limh(x)→0ln(1+h(x))h(x)=1
limx→0xrlnx=0 si r>0
Dérivation
La fonction ln est dérivable sur ]0,+∞[, et on a pour tout x>0,
(lnx)′=1x
La fonction ln est strictement croissante sur ]0;+∞[, et on a pour tout x>0,y>0,
x<y⟺lnx<lny
x=y⟺lnx=lny
Si une fonction u est positive et ne s'annule pas sur un intervalle I, alors lnu estdérivable sur I, et pour tout x de I:
(ln(u))′=u′(x)u(x)
Fonction logarithme décimal
On appelle fonction logarithme décimal, la fonction noté log définie sur ]0;+∞[ par
logx=lnx10
La démonstration des propriétés est en cours.
Commentaires
Esmel junior (non vérifié)
dim, 01/10/2021 - 09:44
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Cc
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