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Corrigé BFEM Maths 2011

Exercice 1

$m=1-2\sqrt{3}$ ; montrons que

$m$ est négatif.

On sait que

$1^{2}=1\;;\ \left(2\sqrt{3}\right)^{2}=2^{2}\times\left(\sqrt{3}\right)^{2}=4\times 3=12.$

Puisque

$1<12$ alors,

$1^{2}<\left(2\sqrt{3}\right)^{2}.$

Or, 1 est un réel positif et

$2\sqrt{3}$ est un réel positif donc,

$1<2\sqrt{3}.$

D'où,

$1-2\sqrt{3}<0$

Ce qui montre que

$m$ est négatif.

$m=1-2\sqrt{3}$ ; calculons

$m^{2}$

On a :

$\begin{array}{rcl} m^{2}&=& \left(1-2\sqrt{3}\right)^{2}\\&=& 1^{2}-2\times 1\times 2\sqrt{3}+\left(2\sqrt{3}\right)^{2}\\&=& 1-4\sqrt{3}+4\times 3\\&=&13-4\sqrt{3}\end{array}$

Donc,

$\boxed{m^{2}=13-4\sqrt{3}}$

Déduisons-en que

$p$ et

$m$ sont opposés.

On a :

$m^{2}=13-4\sqrt{3}\$ et

$\ p=\sqrt{13-4\sqrt{3}}$ donc,

$p=\sqrt{m^{2}}=|m|.$

Or,

$m$ est négatif donc,

$p=-m$

Ce qui signifie que

$p$ et

$m$ sont opposés.

3) Encadrement de

$m\$ à

$\ 10^{-2}$ près

On sait que

$1.732<\sqrt{3}<1.733$

donc,

$-2\times 1.732>-2\times\sqrt{3}>-2\times 1.733$

par suite,

$-3.466<-2\sqrt{3}<-3.464\$ et

$\ -3.466+1<1-2\sqrt{3}<-3.464+1$

ainsi,

$-2.466<1-2\sqrt{3}<-2.464$

D'où

$-2.47<1-2\sqrt{3}<-2.46$

$p=\sqrt{13-4\sqrt{3}}\$ et

$\ q=\sqrt{13+4\sqrt{3}}$ ; montrons que

$p\times q=11$

On a :

$\begin{array}{rcl} p\times q&=&\sqrt{13-4\sqrt{3}}\times\sqrt{13+4\sqrt{3}}\\&=&\sqrt{13^{2}-\left(4\sqrt{3}\right)^{2}}\\&=&\sqrt{169-48}\\&=& \sqrt{121}\\&=&11\end{array}$

Donc,

$\boxed{p\times q=11}$

Exercice 2

1) Montrons qu'il a 50 lutteurs dans cette écurie

On a :

$\text{Pourcentage d'une modalité}=\dfrac{\text{Effectif partiel d'une modalité}\times 100}{\text{Effectif total de la population}}$

alors

$\text{Effectif total}=\dfrac{\text{Effectif partiel d'une modalité}\times 100}{\text{Pourcentage d'une modalité}}$

or l'effectif partiel de la classe

$[95\;;\ 110[$ est 6 et le pourcentage correspondant est 12 donc : Effectif total de la population est égal à

$\dfrac{6}{12}\times 100=50.$

Il y a donc 50 lutteurs dans cette classe.

2) Montrons que le nombre de lutteurs de la classe

$[110\;;\ 125[$ est 5

On a ; dans un diagramme circulaire

$\text{Angle d'une modalité}=\dfrac{360^{\circ}\times\text{Effectif partiel de la modalité}}{\text{Effectif total de la population}}$

alors

$\text{Effectif partiel}=\dfrac{\text{Angle de la modalité}\times\text{Effectif total de la population}}{360^{\circ}}$

or, l'angle de la représentation de la classe

$[110\;;\ 125[$ dans le diagramme circulaire de la série est

$36^{\circ}$ et l'effectif total de l'écurie est 50 donc l'effectif partiel de cette classe est égal à

$\dfrac{36^{\circ}\times 50}{360^{\circ}}=5$

3) Vérifions que la classe

$[125\;;\ 140[$ compte 15 lutteurs

On a :

$\text{Effectif partiel d'une modalité}=\text{Fréquence d'une modalité}\times\text{Effectif total}$

Or la fréquence de la classe

$[125\;;\ 140[$ est

$0.3$ et l'effectif total est 50 donc

$\text{Effectif partiel}=0.3\times 50=15$

4) Montrons qu'il y a 6 lutteurs dans la classe

$[140\;;\ 155[$

Calculons l'effectif total de lutteurs dans les classes

$[95\;;\ 110[\;,\ [110\;;\ 125[$ et

$[125\;;\ 140[\ :$

on a :

$6+5+15=26$

or, l'effectif total est 50 alors le nombre de lutteurs dans les classes

$[80\;;\ 95[$ et

$[140\;;\ 155[$ est

$50-26=24$

Soit

$x$ l'effectif de la classe

$[80\;;\ 95[$ donc l'effectif de la classe

$[140\;;\ 155[$ est

$\dfrac{x}{3}$

Par conséquent,

$x+\dfrac{x}{3}=24$ alors

$\dfrac{3x+x}{3}=24$ donc

$x=18$

D'où, l'effectif de la classe

$[80\;;\ 95[$ est 18 et l'effectif de la classe

$[140\;;\ 155[$ est

$\dfrac{18}{3}=6$

Établissons le tableau des effectifs cumulés croissants

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Classe de poids} & [80\;;\ 95[ & [95\;;\ 110[ & [110\;;\ 125[ & [125\;;\ 140[ & [140\;;\ 155[ \\ \hline\text{Effectifs} & 18 & 6 & 5 & 15 & 6 \\ \hline\text{Effectif cumulé} & 18 & 24 & 29 & 44 & 50 \\ \text{croissant} & & & & & \\ \hline\end{array}$

La moitié de l'effectif total est

$\dfrac{50}{2}=25.$

Donc, d'après la ligne des effectifs cumulés croissants 25 apparient à la classe

$[110\;;\ 125[.$

Par conséquent, la classe médiane est la classe

$[110\;;\ 125[.$

Exercice 3

$(D_{1})\ :\ y=-x+1\;;\ \vec{u}(1\;;\ -1)\;;\ \vec{u}$ est un vecteur directeur de

$(D_{1})$

$(D_{2})\ :\ x-y+3=0\;;\ \vec{v}(-(-1)\;;\ 1)\;;\ \vec{v}$ est un vecteur directeur de

$(D_{2})$

$\vec{u}\$ et

$\ \vec{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si,

$x_{\vec{u}}.x_{\vec{v}}+y_{\vec{u}}.y_{\vec{v}}=0$

On a :

$1\times 1+(-1)\times 1=1-1=0$

donc, les vecteurs

$\vec{u}\$ et

$\ \vec{v}$ sont orthogonaux.

Par conséquent, les droites

$(D_{1})$ et

$(D_{2})$ sont perpendiculaires.

Autre Méthode : utiliser le produit des coefficients directeurs qui est égal à

$-1.$

2) a) Construisons les droites

$(D_{1})$ et

$(D_{2})$ dans un repère orthonormal

$(O\;;\ I\;;\ J)$

Soit

$(D_{1})\ :\ y=-x+1$

$x=0$ alors

$y=1\;,\quad A(0\;;\ 1)$

$x=1$ alors

$y=0\;,\quad B(1\;;\ 0)$

Soit

$(D_{2})\ :\ x-y+3=0$

$x=0$ alors

$y=3\;,\quad C(0\;;\ 3)$

$x=1$ alors

$y=4\;,\quad D(1\;;\ 4)$

Plaçons les points

$A\;,\ B\;,\ C$ et

$D$ dans le repère orthonormal.

$(D_{1})$ passe par les points

$A$ et

$B$ et

$(D_{2})$ passe par les ponts

$C$ et

$D$

$(D_{1})\ :\ y=-x+1$ et

$J(0\;;\ 1)$

on a

$-0+1=1$ donc

$J\in(D_{1})$

c) Le point

$E$ , point d'intersection des droites

$(D_{1})$ et

$(D_{2})$ , a pour couple de coordonnées le couple de réels solution du système d'équations formé par les équations de droites

$(D_{1})$ et

$(D_{2})$

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} y &=& -x+1 \\ x-y+3 &=& 0\end{array}\right.$ résolvons ce système

$\left\lbrace\begin{array}{rcl} x+y-1 &=& 0 \\ x-y+3 &=& 0\end{array}\right.$

En additionnant les deux équations on obtient alors,

$2x+2=0$

donc,

$x=-1\$ et

$\ y=-(-1)+1=2$

Le couple de réels

$(-1\;;\ 2)$ est solution du système d'équations.

D'où,

$E(-1\;;\ 2)$

d) Calculons la distance

$EJ$

On a :

$\begin{array}{rcl} EJ&=&\sqrt{(0-(-1))^{2}+(1-2)^{2}}\\&=&\sqrt{1+1}\\&=&\sqrt{2}\end{array}$

e) Déterminons une équation de la droite

$(D_{3})$ passant par

$J$ et parallèle à

$(D_{2})$

$(D_{2})\ :\ x-y+3=0\;;\quad (D_{2})\ :\ y=x+3$ le coefficient directeur de

$(D_{2})$ est 1.

La droite

$(D_{3})$ est parallèle à la droite

$(D_{2})$ donc elle a le même coefficient directeur 1.

Par conséquent,

$(D_{3})\ :\ y=x+b$

or,

$J(0\;;\ 1)\in(D_{3})$ donc,

$1=0+b$

par suite,

$b=1$

Ainsi,

$(D_{3})\ :\ y=x+1$

f) Déterminons la position relative de

$(D_{3})\$ et

$\ (D_{1})$

Les droites

$(D_{3})\$ et

$\ (D_{1})$ sont parallèles et la droite

$(D_{1})$ est perpendiculaire à

$(D_{2})$ donc,

$(D_{1})$ est perpendiculaire à

$(D_{3})$

Autre Méthode : le produit de leur coefficient directeur est

$-1$

Exercice 4

On considère la figure codée ci-dessous

$MR=8\;cm\;;\ NR=6\;cm$

1) Le segment

$[MN]$ est un diamètre du cercle et

$R$ est un point du cercle donc le triangle

$MNR$ est rectangle en

$R.$

Autre Méthode : D'après le codage le point

$O$ est milieu de

$[MN]$ et le point

$O$ est à égale distance des trois sommets du triangle

$NRM$ donc le triangle

$NRM$ est rectangle en

$R.$

Autre Méthode : Le point

$O$ est le milieu de

$[MN]$ et

$O$ est le centre du cercle dont l'angle au centre

$\widehat{MON}$ est un angle plat et mesure

$180^{\circ}.$

$\widehat{MRN}$ est un angle inscrit qui intercepte le même arc de cercle que l'angle au centre

$\widehat{MON}$

donc,

$\begin{array}{rcl} {MRN}&=&\dfrac{\widehat{MON}}{2}\\ \\ &=&\dfrac{180^{\circ}}{2}\\ \\&=&90^{\circ}\end{array}$

d'où,

$MRN$ est un triangle rectangle en

$R.$

2) Calculons

$MN$

Le triangle

$NRM$ est rectangle en

$R$ alors, d'après le théorème de Pythagore on a :

$\begin{array}{rcl} MN^{2}&=&MR^{2}+NR^{2}\\&=&8^{2}+6^{2}\\&=&64+36\\&=&100\end{array}$

donc,

$\boxed{MN=10\;cm}$

3) Calculons

$\tan\widehat{RMN}$

On a :

$\begin{array}{rcl}\tan\widehat{RMN}&=&\dfrac{NR}{MR}\\ \\&=&\dfrac{6}{8}\\ \\&=&0.75\end{array}$

donc,

$\boxed{\tan\widehat{RMN}=0.75}$

4) Démontrons que

$I$ est le milieu de

$[MS]$

Les points

$N\;,\ R\;,\ Q$ et

$S$ sont alignés et

$NRM$ est un triangle rectangle en

$R$ donc

$(MR)$ est perpendiculaire à

$(RS).$

D'après le codage

$(IQ)$ est perpendiculaire à

$(RS)$ et

$Q$ est milieu de

$[RS].$

$(MR)$ est perpendiculaire à

$(RS)$ et

$(IQ)$ est perpendiculaire à

$(RS)$ donc

$(MR)$ est parallèle à

$(IQ).$

$MRS$ est un triangle ;

$Q$ est le milieu de

$[RS]$ ;

$(MR)$ est parallèle à

$(IQ)$ et

$I\in[MS]$ donc, d'après le théorème de la droite des milieux

$I$ est le milieu de

$[MS]$

Autre Méthode : utiliser le théorème de Thalès avec les triangles

$SIQ$ et

$SMR$ qui sont en position de Thalès

$\dfrac{SI}{SM}=\dfrac{SQ}{SR}$

or,

$\dfrac{SQ}{SR}=\dfrac{1}{2}$

donc,

$SI=\dfrac{1}{2}SM$

d'où,

$I$ est le milieu de

$[MS]$

5) Montrons que

$NQ=9\;cm$

$(MR)$ parallèle à

$(IQ)$ et

$P\in(IQ)$ donc,

$(MR)$ parallèle à

$(PQ)$

$R\in[NQ]$ et

$M\in[NP]$ donc,

$(MR)$ parallèle à

$(PQ)$

Par conséquent, les triangles

$NRM$ et

$NPQ$ sont en position de Thalès.

D'après le théorème de Thalès on a :

$\dfrac{NR}{NQ}=\dfrac{NM}{NP}$ alors,

$NR\times NP=NM\times NQ$

D'où,

$NQ=\dfrac{NR\times NP}{NM}$

D'après le codage

$NO=OM=MP$

or,

$NO=\dfrac{MN}{2}=\dfrac{10}{2}=5\;cm$ et

$NP=NO+OM+MP$

donc,

$NP=3\times NO=3\times 5=15\;cm$

Par conséquent,

$\begin{array}{rcl} NQ&=&\dfrac{NR\times NP}{NM}\\ \\&=&\dfrac{6\times 15}{10}\\ \\&=&\dfrac{90}{10}\\ \\&=&9\;cm\end{array}$

6) Démontrons que la droite

$(OR)$ est parallèle à la droite

$(MS)$

Calculons les rapports

$\dfrac{NR}{NS}$ et

$\dfrac{NO}{NM}$

$NR=6\;cm$ et

$NM=10\;cm$ calculons les distances

$NO$ et

$NS$

$O$ est le milieu de

$[MN]$

donc,

$\begin{array}{rcl} NO&=&\dfrac{MN}{2}\\ \\&=&\dfrac{10}{2}\\ \\&=&5\;cm\end{array}$

$R\in[NQ]\;;\ NR=6\;cm$ et

$NQ=9\;cm$

donc,

$RQ=NQ-NR=9\;cm-6\;cm=3\;cm$

$Q$ est le milieu de

$[RS]$ et

$RQ=3\;cm$

donc,

$RS=2\times 3=6\;cm$ et

$NS=NR+RS=6+6=12\;cm$

ainsi,

$NS=12\;cm$

$\begin{array}{rcl} \dfrac{NR}{NS}&=&\dfrac{6}{12}\\ \\&=&\dfrac{1}{2}\end{array}\quad\text{ et }\quad\begin{array}{rcl} \dfrac{NO}{NM}&=&\dfrac{5}{10}\\ \\&=&\dfrac{1}{2}\end{array}$

donc,