Ensemble des nombres rationnels : Présentation et Opérations - 4e
Classe:
Quatrième
I. Définition
On appelle nombre rationnel tout nombre pouvant s'écrire sous la forme ab avec a et b des nombres entiers relatifs et b non nul.
Exemple
43;−43;−17−23;7−23
Remarques
Tout entier relatif est un nombre rationnel.
Exemple
−7 est un entier relatif or −7=−71 qui est encore un nombre rationnel.
Tout nombre décimal relatif est aussi un nombre rationnel.
Exemple
−5.1 est un nombre décimal relatif or, −5.1=−5110 qui est encore un nombre rationnel.
7.025 est un nombre décimal relatif or, 7.025=70251000 qui est encore un nombre rationnel.
L'ensemble des nombre rationnel est noté Q et on a les inclusions suivantes :
N⊂Z⊂D⊂Q
II. Différentes écriture d'un nombre rationnel
1) Multiplication d'un nombre rationnel par un nombre relatif non nul
On ne change pas (une fraction) un nombre rationnel en multipliant son numérateur et son dénominateur par le même nombre relatif non nul.
Exemple
13=1×43×4=412
−56=−5×36×3=−1518
Pour tout nombre rationnel ab et pour tout nombre relatif non nul c on a :
ab=a×cb×c
Conséquence
−ab=a−b=−ab
−a−b=ab
2) Division d'un nombre rationnel par un nombre relatif non nul
On ne change pas un nombre rationnel en divisant son numérateur et son dénominateur par le même nombre relatif non nul.
Exemple
1220=12÷420÷4=35
Pour tout nombre rationnel ab et un nombre entier non nul c on a :
ab=a÷cb÷c
Application
1) On peut remplacer −4580 par −916. Pourquoi ?
2) Écrire 2718 avec un dénominateur entier naturel inférieur à 15. Combien y a t-il de possibilités ?
Solution
1) On peut remplacer −4580 par −916 car, −4580=−45÷580÷5=−916
2) 2718=27÷918÷9=32
Il y a 7 nombres rationnels égaux à 2718, le dénominateur est inférieur à 15
III. Opération dans Q
1) Addition et soustraction dans Q
a) Nombres rationnels ayant les mêmes dénominateurs
Règle : Pour l'addition ou la soustraction de nombres rationnels ayant le même dénominateur, on fait l'addition ou la soustraction des numérateurs et on conserve le dénominateur.
ab et cb sont des nombres rationnels alors,
ab+cb=a+cbetab−cb=a−cb
Exemple
34+74=3+74=104
−34−74=−3−74=−104
b) nombre rationnel n'ayant pas les mêmes dénominateurs
Pour l'addition ou la soustraction de nombres rationnels n'ayant pas le même dénominateur, on les réduit au même dénominateur.
Le dénominateur commun est le produit des dénominateurs ou bien le PPCM des dénominateurs.
Exemple
Calculer
A=56−−711=5×116×11−(−7)×611×6=5566−−4266=55−(−42)66=55+4266
Donc, A=9766
Application
Calculer S=210280−720+1245−1
Solution
S=34−720+415−1 (après simplification)
1er méthode : Prendre le produit des dénominateurs comme dénominateur commun
S peut en encore s'écrire sous la forme :
S=34−720+415−11
Soit : 4×20×15×1=1200
S=3×3004×300−7×6020×60+4×8015×80−1×12001×1200=9001200−4201200+3201200−12001200=900−420+320−12001200=1220−16201200=−400÷4001200÷400=−13
D'où, S=−13
2e méthode : Prendre le PPCM comme dénominateur commun
On a : S=34−720+415−11
Soit : PPCM(4; 20; 15; 1)=60
S=3×154×15−7×320×3+4×415×4−1×601×60=4560−2160+1660−6060=45−21+16−6060=−2060=−20÷2060÷20=−13
Donc, S=−13
2) Multiplication de nombres rationnels
Si ab et cd sont deux nombres rationnels alors, on a :
ab×cd=a×cb×d
Exemple
−29×34=(−2)×39×4=−636=−6÷636÷6=−16
3) L'inverse d'un nombre rationnel
Si a est un nombre rationnel alors l'inverse de a est le nombre rationnel 1a.
4) Division de nombres rationnels
Si ab et cd sont des nombres rationnels alors, on a :
abcd=ab×dc=a×db×c
Exemple
Calculer
23÷−45 et −3÷25
Solution
23÷−45=23−45=23×5−4=2×53×(−4)=10÷2−12÷2=5−6
Donc, 23÷−45=5−6
−31÷25=−3125=−31×52=−3×51×2=−152
D'où, −31÷25=−152
5) Puissances de nombres rationnels
a) Puissance positive d'un nombre rationnel
Si ab est nombre rationnel et n un entier relatif plus grand que zéro (n>0) alors, on a :
(ab)n=ab×ab×……×ab⏟n facteurs égaux à ab
D'où,
(ab)n=anbn
Convention
(ab)0=a0b0=11
(ab)0=1
Exemple
Calculer (−13)5 et (3−4)2
(−13)5=(−1)535=−1243
(3−4)2=32(−4)2=916
b) Puissance négative d'un nombre rationnel
Si ab est un nombre rationnel et n un entier naturel (n>0) alors, on a :
(ab)−n=1(ab)n=bnan
Ainsi,
(ab)−n=bnan
Exemple
Calculer
(35)−4 et 2−3
Solution
(35)−4=1(35)4=5434=62581
2−3=1(21)3=(12)3=1323=18
c) Propriétés
Soit x et y deux nombre (x≠0), n et m deux entiers, on a :
xn×xm=xn+m(xn)m=xn×mxnxm=xn−m(x×y)n=xn×yn
Exemple
Calculer
(−23)−3×(−23)4
(35)−3÷(35)5
[(−23)×(56)]2
Solution
(−23)−3×(−23)4=(−23)−3×(−23)4=(−23)−3+4=(−23)1=−23
D'où, (−23)−3×(−23)4=−23
(35)−3÷(35)5=(35)−3(35)5=(35)−3−5=(35)−8=1(35)8=5838
Donc, (35)−3÷(35)5=5838
[(−23)×(56)]2=(−23)2×(56)2
Auteur:
Mamadou Siradji Dia
Commentaires
andre marcel (non vérifié)
dim, 12/06/2020 - 15:16
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mr Ndong je vous voit
Anonyme (non vérifié)
sam, 10/23/2021 - 19:14
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moi aussi je te vois
Anonyme (non vérifié)
sam, 10/23/2021 - 19:14
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moi aussi je te vois
Anonyme (non vérifié)
sam, 10/23/2021 - 19:14
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moi aussi je te vois
mame (non vérifié)
ven, 12/25/2020 - 20:19
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c tres importabt
Anonyme (non vérifié)
ven, 01/22/2021 - 00:13
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C bien heinnnn
Mamadou TOURÉ (non vérifié)
mar, 10/26/2021 - 20:16
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Félicitations
Ndiogou Barro (non vérifié)
lun, 10/16/2023 - 11:57
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