Devoir n° 26 1e S1

Classe: 
Première
 

Exercice 1 

Soit ABC un triangle. 
 
On pose : AB=c, BC=a et AC=b.
 
I. On désigne par I le point d'intersection de (BC) avec la bissectrice de l'angle ˆA.
 
La droite parallèle à (AI) passant par C coupe (AB) en D.
 
1) Démontrer que ACD est isocèle et que : IBIC=cb
 
2) En déduire que les barycentres respectifs de {(B, b)(C, c)}  de  {(A, a)(B, b)} et de {(A, a)(C, c)}.
 
3) Démontrer que le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC est le barycentre de {(A, a)(B, b)(C, c)}.
 
II. La bissectrice extérieure de l'angle ˆA coupe la droite (BC) en K. La parallèle à (AK) passant par C coupe (AB) en C.
 
1) Démontrer que le triangle ACC est isocèle.
 
2) Démontrer que K est le barycentre de {(B, b)(C, c)}.
 
III. On suppose que le triangle ABC est non isocèle en A.
 
Les bissectrices des angles B  et  C coupent respectivement les côtés [AB]  et  [AC] en I  et  J.
 
Les droites (IJ)  et  (BC) se coupent en K.
 
1) Écrire K comme barycentre des points I  et  J , puis comme barycentre des points B  et  C.
 
2) En déduire que (AK) est la bissectrice extérieure de l'angle ˆA. du triangle ABC.

Exercice 2

Étudier les limites suivantes en a :
 
1) f(x)=x|x+2|x|x+1|a=
 
2) f(x)=xsin1x2sinxxa=+
 
3) f(x)=1sinxcosx1sinx+cosxa=π2
 
4) f(x)=1+sinx1sinxtanxa=0

Exercice 3

Soit l'équation x3+3px+q=0(1) dans laquelle p et q sont des nombres réels non nuls vérifiant 4p3+q20.
 
1) a) Soit λ un nombre réel non nul.
 
Démontrer que les systèmes suivants sont équivalents :
{x=λcosyx3+px+q=0 et {x=λcosycos3y+3pλ2cosy+qλ3=0
 
b) En calculant cos(2y+y), démontrer que, pour tout nombre réel y,
cos3y=4cos3y3cosy
 
Posons λ=2p (on peut remarquer que 4p3+q20 et p0p<0).
 
Démontrer qu'alors cos3y+3pλ2cosy+qλ3=0 peut s'écrire : cos3y=q2pp.
 
c) Démontrer que si 4p3+q20 , on a : 1q2pp1. 
 
Soit a un nombre réel vérifiant cosa=q2pp.
 
Résoudre l'équation d'inconnue y : cos3y=cosa (exprimer les solutions en fonction de a).
 
En déduire trois solutions de l'équation x3+3px+q=0.
 
2) Applications numériques
 
a) Résoudre dans R l'équation : x334x28=0.
 
En déduire les valeurs exactes de cosπ12 et sinπ12.
 
b) Nous souhaitons résoudre dans R l'équation : X3+3X26X+1=0
 
Démontrer, en posant X=x+c que cette équation peut se mettre sous la forme
 
x3+3px+q=0 (où c, p et q sont trois réels à déterminer).
 
Résoudre dans R l'équation obtenue.
 
En déduire les solutions de l'équation : X3+3X26X+1=0.

                                                                                             
Durée 4h

 

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