Devoir n° 26 1e S1
Classe:
Première
Exercice 1
Soit ABC un triangle.
On pose : AB=c, BC=a et AC=b.
I. On désigne par I le point d'intersection de (BC) avec la bissectrice de l'angle ˆA.
La droite parallèle à (AI) passant par C coupe (AB) en D.
1) Démontrer que ACD est isocèle et que : IBIC=cb
2) En déduire que les barycentres respectifs de {(B, b)(C, c)} de {(A, a)(B, b)} et de {(A, a)(C, c)}.
3) Démontrer que le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC est le barycentre de {(A, a)(B, b)(C, c)}.
II. La bissectrice extérieure de l'angle ˆA coupe la droite (BC) en K. La parallèle à (AK) passant par C coupe (AB) en C′.
1) Démontrer que le triangle ACC′ est isocèle.
2) Démontrer que K est le barycentre de {(B, b)(C, −c)}.
III. On suppose que le triangle ABC est non isocèle en A.
Les bissectrices des angles B et C coupent respectivement les côtés [AB] et [AC] en I′ et J.
Les droites (I′J) et (BC) se coupent en K.
1) Écrire K comme barycentre des points I′ et J , puis comme barycentre des points B et C.
2) En déduire que (AK) est la bissectrice extérieure de l'angle ˆA. du triangle ABC.
Exercice 2
Étudier les limites suivantes en a :
1) f(x)=x√|x+2|−x√|x+1|a=−∞
2) f(x)=xsin1x−2sinxxa=+∞
3) f(x)=1−sinx−cosx1−sinx+cosxa=π2
4) f(x)=√1+sinx−√1−sinxtanxa=0
Exercice 3
Soit l'équation x3+3px+q=0(1) dans laquelle p et q sont des nombres réels non nuls vérifiant 4p3+q2≤0.
1) a) Soit λ un nombre réel non nul.
Démontrer que les systèmes suivants sont équivalents :
{x=λcosyx3+px+q=0 et {x=λcosycos3y+3pλ2cosy+qλ3=0
b) En calculant cos(2y+y), démontrer que, pour tout nombre réel y,
cos3y=4cos3y−3cosy
Posons λ=2√−p (on peut remarquer que 4p3+q2≤0 et p≠0⟹p<0).
Démontrer qu'alors cos3y+3pλ2cosy+qλ3=0 peut s'écrire : cos3y=q2p√−p.
c) Démontrer que si 4p3+q2≤0 , on a : −1≤q2p√−p≤1.
Soit a un nombre réel vérifiant cosa=q2p√−p.
Résoudre l'équation d'inconnue y : cos3y=cosa (exprimer les solutions en fonction de a).
En déduire trois solutions de l'équation x3+3px+q=0.
2) Applications numériques
a) Résoudre dans R l'équation : x3−34x−√28=0.
En déduire les valeurs exactes de cosπ12 et sinπ12.
b) Nous souhaitons résoudre dans R l'équation : X3+3X2−6X+1=0
Démontrer, en posant X=x+c que cette équation peut se mettre sous la forme
x3+3px+q=0 (où c, p et q sont trois réels à déterminer).
Résoudre dans R l'équation obtenue.
En déduire les solutions de l'équation : X3+3X2−6X+1=0.
Durée 4h
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
mer, 11/18/2020 - 23:08
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Excellent
Anonyme (non vérifié)
dim, 02/14/2021 - 11:47
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Merci beaucoup
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