Devoir n° 4 - 2nd s

1) Après avoir précisé la condition de son existence, simplifier l'expression suivante : $$A=\dfrac{a^{2}}{(a-b)(a-c)}+\dfrac{b^{2}}{(b-c)(b-a)}+\dfrac{c^{2}}{(c-a)(c-b)}$$

2) Soit $f(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}$. Montrer que : $$f\left[\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{\dfrac{a}{b}}-\sqrt{\dfrac{b}{a}}\right)\right]=\dfrac{a+b}{a-b}$$ (on supposera $a$ et $b$ positifs et distincts).

 

3) Factoriser les expressions suivantes :

 

$A=3a^{2}+3b^{2}-6ab-12c^{2}\quad B=x^{3}+3x^{2}+3x+1+(x^{2}-1)(2-x)$

 

$C=a^{3}+8-2a^{2}-4a\quad D=(a+b)^{2}-(c+d)^{2}+(a+c)^{2}-(b+d)^{2}$

1) Sachant que $12.53$ est une valeur approchée de $x$ à $2\;10^{-3}$ près, et $7.8$ une valeur approchée de $y$ à $3\;10^{-2}$ près, encadrer : $x+y\;,\ x-y\;,\ \dfrac{x^{2}-1}{2y}$

 

2) Donner des valeurs approchées de $x+y$ et $x-y$ en précisant l'incertitude sur chacune de ces deux expressions.

1) Démontrer que , quels que soient les réels $x$ et $y\;$, on a : $xy\leq\dfrac{x^{2}+y^{2}}{2}$

 

2) On pose : $a=xy\;,\ b=yz$ et $c=zx.$

 

En appliquant l'inégalité de la première question à $a\;,\ b$ et $c\;$, montrer que, quels que soient les réels $x\;,\ y$ et $z$ on a : $$xyz(x+y+z)\leq x^{2}+y^{2}+z^{2}$$

1) Encadrer les réels : $(x+2)^{2}\;,\ (x+2)^{3}$ et $(x-3)^{2}$ sachant que : $-1\leq x\leq 2.$

 

2) Vérifier les égalités :

 

a) $(x+2)^{3}+(x+2)^{2}+(x+2)+1=x^{3}+7x^{2}+17x+15$

 

b) $-2x^{2}+13x-20=-2(x-3)^{2}+(x-3)+1$

 

3) En déduire un encadrement du quotient : $$Q(x)=\dfrac{x^{3}+7x^{2}+17x+15}{-2x^{2}+13x-20}\ \text{ lorsque }\ -1\leq x\leq 2$$

1) Construire les points $I\;,\ J$ et $K$ définis par : $$\overrightarrow{AI}=\dfrac{3}{8}\overrightarrow{AD}\;,\quad\overrightarrow{BJ}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{BC}\ \text{ et }\ \overrightarrow{CK}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CD}$$

2) Exprimer les vecteurs $\overrightarrow{IB}$ et $\overrightarrow{KJ}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}.$

 

3) En déduire que les droites $(BI)$ et $(JK)$ sont parallèles.

 

4) Soit $H$ le symétrique de $K$ par rapport à $C.$

 

Montrer que $I\;,\ J$ et $H$ sont alignés.

Soit $ABCD$ un parallélogramme. On considère le point $E$ défini par : 

 

$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{DA}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ et le point $F$ symétrique de $D$ par rapport à $E.$

 

1) Démontrer que $E$ est le milieu de $[AB]$ et $B$ le milieu de $[CF].$

 

2) Démontrer que $ADBF$ est un parallélogramme.

On définit sur les côtés d'un triangle $ABC$ les points $A'\;,\ B'$ et $C'$ définis par les égalités vectorielles : $$\overrightarrow{A'B}+k\overrightarrow{A'C}=\vec{0}\;,\quad\overrightarrow{B'C}+k\overrightarrow{B'A}=\vec{0}\ \text{ et }\ \overrightarrow{C'A}+k\overrightarrow{C'B}=\vec{0}$$

où $k$ est un réel différent de $(-1).$

 

1) $M$ étant un point quelconque du plan, démontrer que :

$$\overrightarrow{MB}+k\overrightarrow{MC}=(1+k)\overrightarrow{MA}'\;,\quad\overrightarrow{MC}+k\overrightarrow{MA}=(1+k)\overrightarrow{MB}'\;,\quad\overrightarrow{MA}+k\overrightarrow{MB}=(1+k)\overrightarrow{MC}'$$

2) Soit $G$ le centre de gravité du triangle $ABC$. En prenant $M=G$ et en utilisant les trois égalités précédentes, démontrer que : $$\overrightarrow{GA}'+\overrightarrow{GB}'+\overrightarrow{GC}'=\vec{0}$$

Soit un parallélogramme $ABCD$ de centre $O.$ On considère les points $I\;,\ J\;,\ K$ et $L$ définis par :

$$x\overrightarrow{AI}+(1-x)\overrightarrow{BI}=\vec{0}\;,\quad y\overrightarrow{BJ}+(1-y)\overrightarrow{CJ}=\vec{0}$$

$$x\overrightarrow{CK}+(1-x)\overrightarrow{DK}=\vec{0}\;,\quad y\overrightarrow{DL}+(1-y)\overrightarrow{AL}=\vec{0}$$

1) Sur deux figures différentes, construire $ABCD$ ainsi que les point $I\;,\ J\;,\ K$ et $L$ dans les cas suivants : 

 

a) $x=2$ et $y=-1$ 

 

b) $x=13$ et $y=23$

 

2) Calculer en fonction de $\overrightarrow{OA}\;,\ \overrightarrow{OB}\;,\ x$ et $y$ chacun des vecteurs $\overrightarrow{OI}\;,\ \overrightarrow{OJ}\;,\ \overrightarrow{OK}\;,\ \overrightarrow{OL}$

 

3) En déduire que $IJKL$ est un parallélogramme de centre $O.$

 

N.B. Ceci était un sujet de composition pour plusieurs classes. On peut soit traiter les exercices 1, 2, 5 , 6 et 7 , soit traiter les exercices 1,3, 5, 6, et 8.

 

 

$$\text{Durée : 4 h}$$