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Calcul Vectoriel - 2nd

Classe:

Seconde

I. Addition vectorielle

Activité

Soient

$A$ un point,

$\vec{u}\$ et

$\ \vec{v}$ deux vecteurs du plan.

1) Construire

$B\$ et

$\ C$ tels que

$\vec{u}=\overrightarrow{AB}\$ et

$\ \vec{v}=\overrightarrow{AC}.$

2) Construire le point

$D$ tel que

$[BC]\$ et

$\ [AD]$ aient même milieu.

3) a) Montrer que

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$

b) En déduire que

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}.$

Résolution

3) a)

$ABDC$ est un parallélogramme donc,

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$

b) Comme

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$ alors on a :

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$

I.1 Définitions

$A$ un point du plan ,

$\vec{u}\$ et

$\ \vec{v}$ deux vecteurs.

$B$ et

$C$ les points tels que

$\vec{u}=\overrightarrow{AB}\$ et

$\ \vec{v}=\overrightarrow{AC}.$

Soit

$D$ le point du plan tel que

$[BC]\$ et

$\ [AD]$ aient même milieu.

On appelle vecteur somme de

$\vec{u}\$ et

$\ \vec{v}$ le vecteur

$\vec{w}=\overrightarrow{AD}$ et on a :

$\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}$

Remarques :

$\centerdot\ \ \overrightarrow{AB}=\vec{u}$ , on dira que le point

$B$ est l'image du point

$A$ par la translation du vecteur

$\vec{u}$ qui est notée

$t_{\vec{u}}\;;\quad t_{\vec{u}}(A)=B$

$\centerdot\ \ \overrightarrow{AC}=\vec{v}$ , on dira que le point

$C$ est l'image du point

$A$ par la translation du vecteur

$\vec{v}$ qui est notée

$t_{\vec{v}}\;;\quad t_{\vec{v}}(A)=C$

I.2 Propriétés

$\centerdot\ \ \overrightarrow{MM}=\vec{0}$ si l'origine et l'extrémité du vecteur sont confondues alors, on a un vecteur nul noté

$\vec{0}.$

$\centerdot\ \ \vec{u}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{u}=\vec{u}$ , on dira que le vecteur

$\vec{0}$ est l'élément neutre de l'addition vectorielle.

$\centerdot\ \ \vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$ , on dira que l'addition vectorielle est commutative.

$\centerdot$

$\forall\; \vec{u}$ ,

$\ \vec{v}\$ et

$\ \vec{w}$ trois vecteurs on a :

$\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=(\vec{v}+\vec{u})+\vec{w}=\vec{v}+(\vec{u}+\vec{w})$

$\centerdot\ \ \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$

$\centerdot\ \$ Relation de Chasles :

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\;;\quad\forall\;A\;,\ B\$ et

$\ C$

II. Multiplication d'un vecteur par un réel

Activité

Sur un axe gradué, placer

$A\$ et

$\ B$ tels que

$x_{A}=0\$ et

$\ x_{B}=1$ . Posons

$\vec{u}=\overrightarrow{AB}.$

1) Placer les points

$M$ ,

$\ N\$ et

$\ P$ d'abscisses respectives

$-2\;,\ 3\;,\ 1/2$ puis exprimer

$\overrightarrow{AM}$ ,

$\ \overrightarrow{AN}$ ,

$\ \overrightarrow{AP}$ ,

$\ \overrightarrow{MN}$ ,

$\ \overrightarrow{NP}$ en fonction de

$\vec{u}.$

2) Construire

$C$ tel que

$\overrightarrow{AC}=2\vec{u}\$ et

$\ D$ tel que

$\overrightarrow{AD}=-3\vec{u}.$

Résolution

$\overrightarrow{AM}=-2\vec{u}\;,\quad \overrightarrow{AN}=3\vec{u}\;,\quad \overrightarrow{AP}=\dfrac{1}{2}\vec{u}\;,\quad \overrightarrow{MN}=5\vec{u}\;,\quad \overrightarrow{NP}=-\dfrac{5}{2}\vec{u}$

Remarque :

$A$ est l'origine et

$\overrightarrow{AB}=\vec{u}$ est le vecteur de base.

$(A,\ \overrightarrow{AB})$ est un repère de l'axe.

II.1 Définitions

$A$ un point du plan,

$\vec{u}$ un vecteur non nul.

$B$ l'unique point tel que

$\overrightarrow{AB}=\vec{u}.$ Si

$M\in(AB) \: \exists\;\alpha\in\mathbb{R}$ tel que

$x_{M}=\alpha$

$\overrightarrow{AM}$ est un vecteur produit de

$\vec{u}$ par

$\alpha$ .

$\ \overrightarrow{AM}=\alpha.\vec{u}$

$\centerdot\ \$ Si

$\alpha>0 \$ alors,

$\ \overrightarrow{AM}\$ et

$\ \vec{u}$ ont même sens

$\centerdot\ \$ Si

$\alpha<0 \$ alors,

$\ \overrightarrow{AM}\$ et

$\ \vec{u}$ sont de sens contraires

II.2 Propriétés

$\centerdot\ \ \forall\; \vec{u}$ on a

$1.\vec{u}=\vec{u}$

$\centerdot\ \ a\;,\ b\in\mathbb{R}$ alors,

$a(b\vec{u})=(ab)\vec{u}$

$\centerdot\ \ (a+b)\vec{u}=a.\vec{u}+b.\vec{u} \quad$

$\forall\; a, b\in\mathbb{R}$

$\centerdot\ \ \forall\; a\in\mathbb{R} \quad a(\vec{u}+\vec{v})=a.\vec{u}+a.\vec{v}$

$\centerdot\ \ \forall\; k\in\mathbb{R} \quad k.\vec{u}=\vec{0}$

$\Leftrightarrow$

$\ k=0\$ ou

$\ \vec{u}=\vec{0}$

II.3 Vecteurs colinéaires

II.3.1 Définitions

Deux vecteurs

$\vec{u}\$ et

$\ \vec{v}$ sont colinéaires si l'un est le produit de l'autre vecteur par un réel

$k$ . Donc,

$\vec{u}\$ et

$\ \vec{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, il existe un réel

$k$ tel que

$\vec{u}=k.\vec{v}$

II.3.2 Remarques

$\centerdot\ \$ Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.

$\centerdot\ \$ Trois points

$M$ ,

$\ N\$ et

$\ P$ sont alignés

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}$ est colinéaire à

$\overrightarrow{MP}.$

Les droites

$(AB)\$ et

$\ (CD)$ sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs

$\overrightarrow{AB}\$ et

$\ \overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Exercice d'application

Soit

$ABC$ un triangle,

$E$ le point défini par :

$3\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}=\vec{0}$

1) Construire le point

$E$

2) Construire le point

$F$ tel que

$\overrightarrow{EF}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BC}$

3) Montrer que les points

$A\;,\ C$ et

$F$ sont alignés.

Résolution

1) On a :

$\begin{array}{rcl} 3\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}=\vec{0}&\Rightarrow&3\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}=\vec{0}\\ \\&\Rightarrow&4\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}=\vec{0}\\ \\&\Rightarrow&-4\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AB}=\vec{0}\\ \\&\Rightarrow&4\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}\\ \\&\Rightarrow&\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB} \end{array}$

$A\;,\ C\$ et

$\ F$ sont alignés si, et seulement si,

$\overrightarrow{AC}$ colinéaire à

$\overrightarrow{AF}$ , c'est à dire

$\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AF}\;,\ k\in\mathbb{R}^{*}$

On a :

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{AC}&=&\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\quad \text{or }\overrightarrow{AB}=4\overrightarrow{AE}\ \text{ et }\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{EF}\\ \\&=&4\overrightarrow{AE}+4\overrightarrow{EF}\\ \\&=&4(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF})\\ \\&=&4\overrightarrow{AF} \end{array}$

$\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AF}$ donc les points

$A\;,\ C\$ et

$\ F$ sont alignés.

III. Vecteurs de base du plan

III.1 Définitions

Deux vecteurs

$\vec{u}\$ et

$\ \vec{v}$ non colinéaires forment une base du plan vectoriel. Donc quelque soit le vecteur

$\vec{w}$ , il existe deux réels

$\alpha$ et

$\beta$ tels que

$\vec{w}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}$ .

$\ \alpha\$ et

$\ \beta$ sont les coordonnées de

$\vec{w}$ dans la base

$(\vec{u},\ \vec{v}).$

$A$ est un point du plan, le triplet

$(A;\ \vec{u},\ \vec{v})$ sera un repère du plan

$\mathcal{P}.$

$\forall\; M\in\mathcal{P} \quad \exists \: x\$ et

$\ y$ des réels tels que

$\overrightarrow{AM}=x\vec{u}+y\vec{v}$

$A$ est l'origine des vecteurs.

$\vec{u}\$ et

$\ \vec{v}$ sont les vecteurs de base du repère.

$\vec{u}\$ et

$\ \vec{v}$ sont orthogonaux, on dira que le repère

$(A;\ \vec{u},\ \vec{v})$ est orthogonal.

III.2 Condition de colinéarité de deux vecteurs

$\vec{a}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$ ,

$\vec{b}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$ dans le plan muni du repère

$(A;\ \vec{u},\ \vec{v})$ sont colinéaires si et seulement si

$xy'-x'y=0$

III.3 Condition d'orthogonalité de vecteurs

$(A;\ \vec{u},\ \vec{v})$ repère orthonormé,

$\vec{a}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$ ,

$\vec{b}\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix}$ sont orthogonaux si et seulement si

$xx'+yy'=0$

III.4 Norme d'un vecteur - Distance entre deux vecteurs

III.4.1 Définitions

$A$ un point du plan,

$\vec{u}$ un vecteur non nul et

$B$ l'unique point tel que

$\overrightarrow{AB}=\vec{u}.$

On appelle norme du vecteur

$\vec{u}$ notée

$||\vec{u}||$ la longueur de

$[AB]$ qui est la distance entre

$A\$ et

$\ B$ notée

$d(A,\ B)$

$||\vec{u}||=d(A, B)=||\overrightarrow{AB}||=AB$

$||\vec{u}||=1$ , on dit que le vecteur est unitaire ou que le vecteur est normé.

III.4.2 Expression dans un repère orthonormé

$\left(A;\ \vec{u},\ \vec{v}\right)$ repère orthonormé tel que

$||\vec{u}||=||\vec{v}||=1$ et

$\vec{u}\perp\vec{v}$ .

Soit

$\vec{a}\begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix}$ . On a

$||\vec{a}||=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ .

De même, en considérant les points

$A\begin{pmatrix} x_{A}\\ y_{A} \end{pmatrix}$ et

$B\begin{pmatrix} x_{B}\\ y_{B} \end{pmatrix}$ nous obtenons

$||\overrightarrow{AB}||=d(A,\ B)=AB=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}$

IV. Vecteurs de configurations géométriques

IV.1 Milieu d'un segment et centre de gravité d'un triangle

Activité 1

Soient

$A\$ et

$\ B$ deux points du plan,

$I$ milieu de

$[AB].$

1) Déterminer la relation entre

$\overrightarrow{AB}$ et

$\overrightarrow{AI}\;$ ,

$\ \overrightarrow{AB}$ et

$\overrightarrow{BI}\;$ ,

$\ \overrightarrow{IA}$ et

$\overrightarrow{IB}\;$ ,

$\ \overrightarrow{BA}\$ et

$\ \overrightarrow{IA}$

2) Montrer que

$\forall\;M\;;\quad \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$

Résolution

1) Nous avons :

$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AI}\;,\ \overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{BI}\;,\ \overrightarrow{IA}=\overrightarrow{IB}$ et

$\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{IA}$

$\begin{array}{rcl} \forall\;M\;;\quad \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}&=&\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\\ \\&=&2\overrightarrow{MI}+\underbrace{\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}}_{\vec{0}}\quad\text{car }I\text{ milieu de }[AB]\\ \\&=&2\overrightarrow{MI} \end{array}$

Activité 2

Soit

$ABC$ un triangle de centre de gravité

$G\$ et

$\ I$ milieu de

$[BC].$

1) Rappeler la définition du centre de gravité.

2) a) Exprimer

$\overrightarrow{GA}$ en fonction de

$\overrightarrow{GI}$ , puis

$\overrightarrow{GA}$ en fonction de

$\overrightarrow{AI}.$

b) En déduire que

$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}.$

c) Montrer que

$\forall\;M\;;\quad \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$

Résolution

1) On appelle centre de gravité d'un triangle, le point de rencontre des trois médianes.

2) a)

$\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GI}$ et

$\overrightarrow{GA}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AI}$

$\begin{array}{rcl} \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}&=&\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{IC}\\ \\&=&\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GI}+\underbrace{\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}}_{\vec{0}}\quad\text{car }I\text{ milieu de }[BC]\\ \\&=&-2\overrightarrow{GI}+2\overrightarrow{GI}\\ \\&=&\vec{0}\end{array}$

$\begin{array}{rcl} \forall\;M\;;\quad \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}&=&\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\\ \\ &=&3\overrightarrow{MG}+\underbrace{\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}}_{\vec{0}}\\ \\&=&3\overrightarrow{MG}\end{array}$