Solution des exercices : Multiplication des nombres décimaux arithmétiques - 6e

Classe: 
Sixième
 

Exercice 1

1) Posons puis effectuons les produits   suivants.
 
a) Soit 456×23456×23 ; en posant et en effectuant l'opération, on obtient :
456× 23 1368+ 912.=10488
b) On a : 7.81×9.6 donc, en posant et en effectuant l'opération, on obtient :
7,81×9,6 4686+7029.=74,976
2) Calculons mentalement
 
a) 23.45×1000=23450
 
b) 0.01×308.2009=3.082009
 
3) Donnons l'ordre de grandeur de chacun des produits.
 
Pour calculer l'ordre de grandeur (OG) d'un produit, on choisit d'abord une précision adaptée. Ensuite, on remplace chacun des facteurs par leur ordre de grandeur et enfin, on effectue le produit de ces ordres de grandeur
 
a) Calcul de l'OG de 305×98
 
On choisit une précision à la centaine près et on obtient alors :
 
305 est proche de 300
 
98 est proche de 100
 
Donc, l'ordre de grandeur de 305×98 est égal à 300×100=30000
 
b) 15.8×7.3
 
On choisit une précision à l'unité près. Ce qui donne :
 
15.8 est proche de 16
 
7.3 est proche de 7
 
Donc, l'ordre de grandeur de 15.8×7.3 est égal à 16×7=112

Exercice 2

1) Soient p  et  q  deux nombres décimaux arithmétiques tels que : p×q=7.5
 
a) Les nombres p  et  q sont appelés facteurs.
 
b) Le nombre 7.5 est appelé produit des nombres p  et  q
 
c) Trouvons les nombres p  et  q.
 
Il y a plusieurs nombres décimaux arithmétiques p  et  q qui vérifient : p×q=7.5
 
Par exemple :
 
0.1×75=7.5 donc, p=0.1  et  q=75
 
0.5×15=7.5 donc, p=0.5  et  q=15
 
0.3×25=7.5 donc, p=0.3  et  q=25
 
1.5×5=7.5 donc, p=1.5  et  q=5

Exercice 3

Calculons en ligne les expressions suivantes de manière performante en précisant les propriétés de la multiplication ainsi utilisées.
 
Soit A=3.5×4×10×25
 
Comme la multiplication est commutative alors, on peut changer l'ordre des deux facteurs sans modifier le résultat.
 
Donc, A=3.5×10×4×25
 
La multiplication étant associative alors, on a :
 
A=3.5×10×(4×25)=3.5×10×100=(3.5×10)×100=35×100=3500
 
D'où, A=3500
 
Soit B=5×3.5×10×2
 
La multiplication étant commutative alors, B peut encore s'écrire :
 
B=3.5×10×5×2
 
Comme la multiplication est associative alors, on a :
 
B=3.5×10×(5×2)=3.5×10×10=(3.5×10)×10=35×10=350
 
Donc, B=350
 
Soit C=38×5.7×3.4×0×9
 
Comme 0 est l'élément absorbant de la multiplication alors, tout nombre multiplié par 0 a un produit nul.
 
D'où, C=0
 
Soit D=125×10×4×0.75×100×1
 
1 étant l'élément neutre de la multiplication donc, tout nombre multiplié par 1 a un produit égal à ce nombre lui-même.
 
Par suite, D=125×10×4×0.75×100
 
Comme la multiplication est associative alors, on a :
 
D=125×10×4×(0.75×100)=125×10×4×75=125×10×(4×75)=125×10×300=125×(10×300)=125×3000=125×(3×1000)=(125×3)×1000=375×1000=375000
 
Ainsi, D=375000
 
Soit E=4×0.1×5×25
 
La multiplication étant commutative alors, E peut encore s'écrire :
 
E=4×25×0.1×5
 
Comme la multiplication est associative alors, on a :
 
E=(4×25)×0.1×5=100×0.1×5=(100×0.1)×5=10×5=50 
 
Ainsi, E=50
 
Soit F=4×0.01×25×100
 
Comme la multiplication est commutative alors, on a :
 
F=4×25×0.01×100
 
La multiplication étant associative alors, on obtient :
 
F=4×25×(0.01×100)=4×25×1=(4×25)×1=100×1
 
Donc, F=100×1
 
Or, 1 est l'élément neutre de la multiplication donc, 100×1=100
 
D'où, F=100

Exercice 4

1) Complétons les pointillés par les décimaux qui conviennent.
 
(7.5×2)×5=15×5=75
 
7.5×(2×5)=7.5×10=75
 
On retrouve l'associativité qui est une propriété de la multiplication.
 
2) Citons les autres propriétés de la  multiplication.
 
  la commutativité
 
  la distributivité par rapport à l'addition et à la soustraction
 
  l'élément neutre ; 1
 
  l'élément absorbant ; 0

Exercice 5

Calculons de deux manières différentes chacune des expressions suivantes en précisant la propriété de la  multiplication utilisée.
 
Soit A=3.5×(9.2+5.8)
 
1e méthode
 
On a :
 
A=3.5×(9.2+5.8)=3.5×15=52.5
 
Donc, A=52.5
 
2e méthode
 
Comme la multiplication est distributive par rapport à l'addition alors, on a :
 
A=3.5×(9.2+5.8)=3.5×9.2+3.5×5.8=32.2+20.3=52.5
 
D'où, A=52.5
 
Soit B=40×12
 
En calculant on trouve : 40×12=480
 
D'où, B=480
 
On peut aussi écrire : 12=10+2
 
Alors, on remplace 12 par 10+2, dans l'écriture de B.
 
On obtient :
B=40×(10+2)
Comme la multiplication est distributive par rapport à l'addition alors, on a :
 
B=40×(10+2)=40×10+40×2=400+80=480
 
Donc, B=480
 
Soit C=12×(75.5)
 
1e méthode
 
On a :
 
C=12×(75.5)=12×1.5=18
 
Donc, C=18
 
2e méthode
 
Comme la multiplication est distributive par rapport à la soustraction alors, on a :
 
C=12×(75.5)=12×712×5.5=8466=18
 
D'où, C=18
 
Soit D=40×8
 
On a : 40×8=320
 
Donc, D=320
 
On peut aussi écrire : 8=102
 
Ainsi, en remplaçant 8 par 102, dans l'écriture de D, on obtient :
D=40×(102)
Comme la multiplication est distributive par rapport à la soustraction alors, on a :
 
D=40×(102)=40×1040×2=40080=320
 
D'où, D=320

Exercice 6

Calculons de deux manières différentes chacune des expressions suivantes.
 
Soit A=141×60140×60
 
1e méthode
 
On a :
 
A=141×60140×60=84608400=60
 
D'où, A=60
 
2e méthode
 
En utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à la soustraction, on peut aussi écrire :
60×(141140)=141×60140×60
Ainsi, on a :
 
A=141×60140×60=60×(141140)=60×1=60
 
Donc, A=60
 
Soit B=6.6×7+7×3.4
 
1e méthode
 
On a :
 
B=6.6×7+7×3.4=46.2+23.8=70
 
Alors, B=70
 
2e méthode
 
En utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition, on peut aussi écrire :
7×(6.6+3.4)=6.6×7+7×3.4
On a alors :
 
B=6.6×7+7×3.4=7×(6.6+3.4)=7×10=70
 
Donc, B=70
 
Soit C=13.5×413.5×2.5
 
1e méthode
 
On a :
 
C=13.5×413.5×2.5=5433.75=20.25
 
Donc, C=20.25
 
2e méthode
 
En utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à la soustraction, on peut aussi écrire :
13.5×(42.5)=13.5×413.5×2.5
Ainsi, on a :
 
C=13.5×413.5×2.5=13.5×(42.5)=13.5×1.5=20.25
 
D'où, C=20.25
 
Soit D=12.1×4+7.9×712.1×3+7.9×3
 
1e méthode
 
On a :
 
D=12.1×4+7.9×712.1×3+7.9×3=48.4+55.336.3+23.7=48.436.3+55.3+23.7=(48.436.3)+(55.3+23.7)=12.1+79=91.1
 
Ainsi, D=91.1
 
2e méthode
 
Comme l'ordre des termes ne modifie pas le résultat alors, on D peut encore s'écrire :
D=12.1×412.1×3+7.9×7+7.9×3
En utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à la soustraction et à l'addition, on peut aussi écrire :
12.1×(43)=12.1×412.1×3
7.9×(7+3)=7.9×7+7.9×3
Donc, en remplaçant, on obtient :
 
D=12.1×412.1×3+7.9×7+7.9×3=12.1×(43)+7.9×(7+3)=12.1×1+7.9×10=12.1+79=91.1
 
D'où, D=91.1

Exercice 7

1) Calculons les carrés des nombres suivants.
 
72=7×7=49
 
122=12×12=144
 
1002=100×100=10000
 
(8.5)2=(8.5)×(8.5)=72.25
 
(1.35)2=(1.35)×(1.35)=1.8225
 
2) Calculons les cubes  des nombres suivants.
 
33=3×3×3=27
 
1003=100×100×100=1000000
 
(7.1)3=(7.1)×(7.1)×(7.1)=357.911
 
(6.3)3=(6.3)×(6.3)×(6.3)=250.047
 
2003=200×200×200=8000000

Exercice 8

Après avoir transformé sous la forme d'un produit de facteur, calculons.
 
a)
 
22=2×2=4
 
192=19×19=361
 
(1.2)2=(1.2)×(1.2)=1.44
 
(15.5)2=(15.5)×(15.5)=240.25    
 
b)
 
23=2×2×2=8
 
192=19×19×19=6859
 
(1.2)2=(1.2)×(1.2)×(1.2)=1.728
 
(15.5)2=(15.5)×(15.5)×(15.5)=3723.875    

Exercice 9

1) 16; 25; 100  et  2.25 sont des carrés.
 
En effet, on a :
 
42=16
 
52=25
 
102=100
 
(1.5)2=2.25
 
2) 8; 27; 216  et  1000 sont des cubes.
 
En effet, on a :
 
23=8
 
33=27
 
63=216
 
103=1000

Exercice 10

Mettons sous la forme  de puissances simples.
 
a) 2×2×2=23
 
b) 4×4=42
 
c) 3.5×3.5×3.5=(3.5)3
 
d) 18.7×18.7=(18.7)2 

Exercice 11

Reproduisons et complétons le tableau suivant :
abca×b(a×b)×cb×ca×(b×c)420.91.337.849.141.1749.14729.71.6698.41117.4415.521117.44324.75.21.91688.443208.0369.883208.036

Exercice 12

1) Reproduisons et complétons le tableau suivant :
aa×11×a0.90.90.99.79.79.75.2355.2355.235
2) Comparons pour chacune des valeurs de a, a×1  et  1×a
 
En observant les résultats du tableau ci-dessus, on peut dire :
 
Pour a=0.9, on a : 0.9×1=0.9  et  1×0.9=0.9
 
Donc, 0.9×1=1×0.9=0.9
 
Pour a=9.7, on a : 9.7×1=9.7  et  1×9.7=9.7
 
Ainsi, 9.7×1=1×9.7=9.7
 
Pour a=5.235, on a : 5.235×1=5.235  et  1×5.23=5.235
 
D'où, 5.235×1=1×5.235=5.235

Exercice 13

1) Reproduisons et complète le tableau suivant :
aa×00×a420072.300324.76500
2) Comparons pour chacune des valeurs de a, a×0  et  0×a
 
En observant les résultats du tableau ci-dessus, on peut dire :
 
Pour a=42, on a : 42×0=0  et  0×42=0
 
Donc, 42×0=0×42=0
 
Pour a=72.3, on a : 72.3×0=0  et  0×72.3=0
 
Ainsi, 72.3×0=0×72.3=0
 
Pour a=324.765, on a : 324.765×0=0  et  0×324.765=0
 
D'où, 324.765×0=0×324.765=0

Exercice 14

1) Recopions les tableaux ci-dessous et relions chaque nombre de la colonne A à son carré dans la colonne B :
 
 
2) Recopions les tableaux ci-dessous et relions chaque nombre de la colonne A à son cube dans la colonne B :
 
 

Exercice 15

Un camion livre 18 palettes à un supermarché. Sur chaque palette ; il y a 18 cartons, et dans chaque carton il y a 18 boites de conserve.
 
Calculons le nombre de boites de conserve qu'il y a en tout.
 
On sait que sur chaque palette ; il y a 18 cartons. Or, on a 18 palettes.
 
Donc, le nombre de cartons est :
nombre de cartons=18×nombre de palettes=18×18
Comme dans chaque carton il y a 18 boites de conserve alors, le nombre de boites de conserve qu'il y a en tout est égal à :
 
nombre de boites de conserve=18×nombre de cartons=18×(18×18)=18×18×18=183=5832
 
D'où, il y a en tout 5832 boites de conserve.

Exercice 16

Un commerçant achète 7 rouleaux de 50m de tissu. Il paie chaque rouleau 22500F. Il revend le tissu au prix de 835 francs le mètre.
 
Calculons le bénéfice réalisé par ce commerçant lorsqu'il aura revendu la totalité du tissu.
 
On a :
bénéfice=prix de venteprix d'achat
Comme, il y a 7 rouleaux et chaque rouleau coûte 22500F alors, on a :
prix d'achat=7×22500F
De plus, comme il revend le tissu au prix de 835 francs le mètre alors, on a :
prix de vente=longueur du tissu×835F
Or, il y a 7 rouleaux de tissu et chaque rouleau mesure 50m donc, la longueur de tissu acheté est :
longueur de tissu acheté=7×50m
Ainsi, le prix de vente est donné par :
prix de vente=(7×50)×835F
Alors, en remplaçant le prix d'achat et le prix de vente dans l'écriture du bénéfice, on trouve :
 
bénéfice=prix de venteprix d'achat=(7×50)×8357×22500=350×8357×22500=292250157500=134750
 
Donc, le bénéfice réalisé par ce commerçant est égal à 134750F.

Exercice 17

Robert dispose de 10000F et veut acheter 12 cahiers à 250F l'un, 8 stylos à 100F l'un et 5 livres coûtant chacun 950F.
 
On a :
prix des fournitures=prix des cahiers+prix des stylos+prix des livres
Avec :
 
prix des cahiers=12×250F
 
prix des stylos=8×100F
 
prix des livres=5×950F
 
Donc, en remplaçant, on obtient :
 
prix des fournitures=prix des cahiers+prix des stylos+prix des livres=12×250+8×100+5×950=3000+800+4750
 
Ainsi, on a :
prix des fournitures=3000F+800F+4750F
En arrondissant l'ordre de grandeur de chaque terme au millier le plus proche, on obtient :
 
3000 est plus proche de 3000
 
800 est plus proche de 1000
 
4750 est plus proche de 5000
 
Alors, une estimation du prix des fournitures est donnée par :
3000F+1000F+5000F=9000F
Comme Robert dispose de 10000F alors, il a assez d'argent pour payer sa fourniture.
 

Auteur: 
Diny Faye

Commentaires

Merci votre exo mais je vous propose une chose pourquoi vous ne pouvez pas exo5 et son correction

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