Solution des exercices : Équation du premier degré à une inconnue - 4e

Classe: 
Quatrième
 

Exercice 1 Vocabulaire

Recopions puis complétons parles mots qui conviennent.
 
1) Une équation du premier degré à une inconnue est une équation dans laquelle un nombre est inconnu.
 
2) Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'équation est vérifiée.
 
3) Les valeurs de l'inconnue sont les nombres qui vérifient l'équation.
 
4) On ne change pas les signes d'une équation lorsqu'on ajoute le même nombre dans chaque membre.
 
5) Dans l'équation : 2x4=7;2x42x4=7;2x4 est le membre de gauche et 77 est le membre de droite.
 

Exercice 2 "Équation de la forme x+a=bx+a=b"

Résolvons dans QQ chacune des équations suivantes en utilisant les propriétés des inégalités.
 
Résoudre une équation du type x+a=bx+a=b revient à trouver les valeurs de xx tels que :
x=bax=ba
Donc, il faut juste changer aa de membre ; de la gauche vers la droite sans oublier de changer son signe.
 
a) Soit à résoudre l'équation : x+3=6x+3=6
 
Pour trouver la solution, on va changer +3+3 de membre (de la gauche vers la droite) pour devenir 3.3.
 
Donc, on obtient : x=63x=63
 
Ce qui donne : x=3x=3
 
Comme 3Q 3Q  alors, S={3}S={3}
 
b) Soit l'équation : x+5=6x+5=6
 
Pour résoudre cette équation, on fait passer +5+5 de la gauche vers la droite en changeant son signe.
 
Ce qui entraîne : x=65=11x=65=11
 
Or, 11Q 11Q  donc, S={11}S={11}
 
c) Soit l'équation : x+3=8x+3=8
 
On procède comme dans les questions a) et b).
 
On a : x+3=8x+3=8 si, et seulement si, x=83=11x=83=11
 
Comme 11Q 11Q  alors, S={11}S={11}
 
d) Soit l'équation : x4=2x4=2
 
On a : x4=2x4=2 si, et seulement si, x=2+4=6x=2+4=6
 
6Q 6Q  donc, S={6}S={6}
 
e) Soit à résoudre l'équation : x1=4x1=4
 
On a :
 
x1=4x=4+1x=3x1=4x=4+1x=3
 
Comme 3Q3Q alors, S={3}S={3}
 
f) Soit à résoudre l'équation : 4+x=44+x=4
 
L'équation 4+x=44+x=4 peut aussi s'écrire x4=4x4=4
 
Donc, on applique la même méthode en changeant de membre le nombre 44 de la gauche vers la droite.
 
Ainsi, on obtient :
 
4+x=4x=4+4x=04+x=4x=4+4x=0
 
Comme 00 est un élément de QQ alors, l'ensemble des solutions de l'équation est donnée par : S={0}S={0}
 
g) Soit à résoudre l'équation : x25=43x25=43
 
On a :
 
x25=43x=43+25x=2015+615x=2615x25=43x=43+25x=2015+615x=2615
 
Comme 2615Q 2615Q  alors, S={2615}S={2615}
h) Soit à résoudre l'équation : x+13=32x+13=32
 
On a :
 
x+13=32x=3213x=9626x=76x+13=32x=3213x=9626x=76
 
Or, 76Q 76Q  donc, S={76}S={76}
 
i) Soit à résoudre l'équation : x45=13x45=13 
 
On a :
 
x45=13x=13+45x=515+1215x=715x45=13x=13+45x=515+1215x=715
 
Or, 715Q 715Q  donc, S={715}S={715}
 
j) Soit à résoudre l'équation : 25+x=1225+x=12
 
25+x=12x=12+25x=510+410x=91025+x=12x=12+25x=510+410x=910
 
Comme, 910Q 910Q  alors, S={910}S={910}
 
l) Soit à résoudre l'équation : x45=13x45=13
 
On a :
 
x45=13x=13+45x=515+1215x=1715x45=13x=13+45x=515+1215x=1715
 
Comme, 1715Q 1715Q  alors, S={1715}S={1715}
 
m) Soit à résoudre l'équation : x+15=13x+15=13
 
On a :
 
x+15=13x=1315x=515315x=815x+15=13x=1315x=515315x=815
 
Par suite, en multipliant chaque membre de l'équation x=815x=815 par 11, on obtient :
 
(1)×(x)=(1)×(815)  x=815(1)×(x)=(1)×(815)  x=815
 
Or, 815Q 815Q  donc, S={815}S={815}

Exercice 3 "Équation de la forme ax=bax=b"

Résolvons dans QQ chacune des équations suivantes en utilisant les propriétés des inégalités.
 
Résoudre dans QQ une équation de la forme ax=b; (a0)ax=b; (a0) revient à déterminer les valeurs de xx telles que :
x=bax=ba
Si baQbaQ alors, l'ensemble des solutions (S)(S) sera donnée par :
S={ba}S={ba}
a) Soit à résoudre l'équation suivante : 4x=34x=3
 
On a : 4x=3  x=344x=3  x=34
 
Comme 34Q 34Q  alors, S={34}S={34}
 
b) Soit à résoudre l'équation suivante : 2x=4.82x=4.8
 
Alors : 2x=4.8  x=4.82=2.42x=4.8  x=4.82=2.4
 
Or, 2.4Q2.4Q
 
Par suite ; S={2.4}S={2.4}
 
c) Soit à résoudre l'équation suivante : 3x=193x=19
 
On a : 3x=19  x=1933x=19  x=193
 
Or, 193Q 193Q  donc, S={193}S={193}
d) Soit à résoudre l'équation suivante : 2x=372x=37
 
Alors :
 
2x=37x=372x=37×12x=3142x=37x=372x=37×12x=314
 
314314 étant un élément de QQ donc, S={314}S={314}
 
e) Soit à résoudre l'équation suivante : 2x=732x=73
 
Alors :
 
2x=73x=732x=(73)×(12)x=73×12x=762x=73x=732x=(73)×(12)x=73×12x=76
 
Or, 76Q 76Q  donc, S={76}S={76}
 
f) Soit à résoudre l'équation suivante : 43x=9843x=98
 
On a :
 
43x=98x=9843x=98×34x=273243x=98x=9843x=98×34x=2732
 
Comme, 2732Q 2732Q  alors, S={2732}S={2732}

Exercice 4 "Équation de la forme ax+b=cax+b=c"

Résolvons dans QQ chacune des équations suivantes.
 
Résoudre dans QQ une équation de la forme ax+b=cax+b=c revient à déterminer les valeurs de xx telles que :
x=cbax=cba
Si cbaQcbaQ alors, l'ensemble des solutions (S)(S) sera donnée par :
S={cba}S={cba}
 
a) Soit à résoudre l'équation suivante : 2x1=52x1=5
 
On a :
 
2x1=52x=5+12x=6x=62x=32x1=52x=5+12x=6x=62x=3
 
Or, on sait que 3Q 3Q  donc, S={3}S={3}
 
b) Soit à résoudre l'équation suivante : 4x+2=54x+2=5
 
Alors on a :
 
4x+2=54x=524x=3x=34x=344x+2=54x=524x=3x=34x=34
 
Comme 34Q 34Q  donc, S={34}S={34}
 
c) Soit à résoudre l'équation suivante :6x1=76x1=7
 
On a :
 
6x1=76x=7+16x=6x=66x=16x1=76x=7+16x=6x=66x=1
 
Comme, 1Q 1Q  alors, S={1}S={1}
 
d) Soit à résoudre l'équation suivante : 34x1=234x1=2
 
On a :
 
34x1=234x=2+134x=3x=334x=3×(43)x=3×(4)3x=434x1=234x=2+134x=3x=334x=3×(43)x=3×(4)3x=4
 
Or, 4Q 4Q  donc, S={4}S={4}
 
 
e) Soit à résoudre l'équation suivante : 65x13=365x13=3
 
On a :
 
65x13=365x=3+1365x=93+1365x=103x=10365x=103×56x=10×53×6x=501865x13=365x=3+1365x=93+1365x=103x=10365x=103×56x=10×53×6x=5018
 
Comme 5018Q 5018Q  alors, S={5018}S={5018}
 
f) Soit à résoudre l'équation suivante : 2x+14=132x+14=13
 
On a :
 
2x+14=132x=13142x=4123122x=43122x=112x=1122x=112×12x=1×112×(2)x=124x=1242x+14=132x=13142x=4123122x=43122x=112x=1122x=112×12x=1×112×(2)x=124x=124
 
Comme 124Q 124Q  alors, S={124}S={124}

Exercice 5 "Équation de la forme ax+b=cx+dax+b=cx+d"

Pour résoudre dans QQ une équation de la forme ax+b=cx+dax+b=cx+d, on regroupe les termes en xx dans un membre et les autres termes dans l'autre membre.
 
De plus, chaque terme qui change de membre change de signe.
 
Résolvons dans QQ chacune des équations suivantes.
 
a) Soit à résoudre l'équation suivante : 2x+3=4x+52x+3=4x+5
 
En regroupant les termes en xx dans le membre de gauche et les autres termes dans le membre de droite, on obtient :
 
2x+3=4x+52x4x=532x=2x=22x=12x+3=4x+52x4x=532x=2x=22x=1
 
11 étant un élément de Q Q  alors, S={1}S={1}
 
b) Soit à résoudre l'équation suivante : 2x3=4x+52x3=4x+5
 
On a :
 
2x3=4x+52x+4x=5+36x=8x=862x3=4x+52x+4x=5+36x=8x=86
 
Comme 8686 appartient à Q Q  alors, S={86}S={86}
 
c) Soit à résoudre l'équation suivante : 2x+3.5=4x52x+3.5=4x5
 
Alors, on a :
 
2x+3.5=4x52x4x=53.56x=8.5x=8.56x=8.562x+3.5=4x52x4x=53.56x=8.5x=8.56x=8.56
 
Or, on sait que : 8.56=8.5×106×10=85608.56=8.5×106×10=8560
 
De plus, 8560Q 8560Q  donc, S={8560}S={8560}
 
d) Soit à résoudre l'équation suivante : 2x3=4x+52x3=4x+5
 
On a :
 
2x3=4x+52x+4x=5+32x=8x=82x=42x3=4x+52x+4x=5+32x=8x=82x=4
 
Comme, 4Q 4Q  alors, S={4}S={4}
 
e) Soit à résoudre l'équation suivante : 34x+3=56x34x+3=56x
 
Alors, on a :
 
34x+3=56x4x+6x=5332x=1x=1234x+3=56x4x+6x=5332x=1x=12
 
Comme, 12Q 12Q  alors, S={12}S={12}
 
f) Soit à résoudre l'équation suivante : 34x=1.57x34x=1.57x
 
Alors, on a :
 
34x=1.57x4x+7x=1.5+33x=1.5x=1.53x=0.534x=1.57x4x+7x=1.5+33x=1.5x=1.53x=0.5
 
Or, 0.50.5 est un élément de Q Q  donc, S={0.5}S={0.5}
 
g) Soit à résoudre l'équation suivante : 3x4=8.33x4=8.3Alors, on a :
 
3x4=8.33x=8.3+43x=12.3x=12.33x=4.13x4=8.33x=8.3+43x=12.3x=12.33x=4.1
 
Comme 4.14.1 est un élément de Q Q  alors, S={4.1}S={4.1}
 
h) Soit à résoudre l'équation suivante : 5x+7=65x+7=6
 
On a :
 
5x+7=65x=675x=1x=15x=155x+7=65x=675x=1x=15x=15
 
Comme 15Q 15Q  alors, S={15}S={15}
 
i) Soit à résoudre l'équation suivante : 2x2=2x2x2=2x
 
Alors, on a :
 
2x2=2x2x2x=20x=22x2=2x2x2x=20x=2
 
On sait qu'il n'existe aucun nombre rationnel xx vérifiant : 0×x=20×x=2
 
Par conséquent, S=S=

Exercice 6

Résolvons dans QQ chacune des équations suivantes.
 
a) 4(13x)=3(2x)4(13x)=3(2x)
 
On commence par développer et ensuite on applique les mêmes règles que dans les exercices précédents.
 
Ainsi, on a :
 
4(13x)=3(2x)4×14×(3x)=3×23×(x)412x=6+3x12x3x=6415x=10x=1015x=10154(13x)=3(2x)4×14×(3x)=3×23×(x)412x=6+3x12x3x=6415x=10x=1015x=1015
 
Comme 1015Q 1015Q  alors, S={1015}S={1015}
 
b) (3x1)(x1)=3x5(3x1)(x1)=3x5
 
En développant puis en appliquant les mêmes règles que dans les exercices précédents, on obtient :
 
(3x1)(x1)=3x53x1x+1=3x53xx3x=5+11x=5x=51x=5(3x1)(x1)=3x53x1x+1=3x53xx3x=5+11x=5x=51x=5
 
55 étant un élément de Q Q  donc, S={5}S={5}
 
c) 6(2x1)2(2x+3)=06(2x1)2(2x+3)=0
 
En développant puis en appliquant les mêmes règles que dans les exercices précédents, on obtient :
 
6(2x1)2(2x+3)=06×2x6×12×(2x)2×3=012x6+4x6=016x12=016x=12x=12166(2x1)2(2x+3)=06×2x6×12×(2x)2×3=012x6+4x6=016x12=016x=12x=1216
 
Or, 12161216 est un élément de Q Q  donc, S={1216}S={1216}
 
d) 2(x1)3(4x+7)=02(x1)3(4x+7)=0
 
On commence par développer puis on applique les mêmes règles que dans les exercices précédents.
 
2(x1)3(4x+7)=02×x2×13×(4x)3×7=02x2+12x21=014x23=014x=23x=23142(x1)3(4x+7)=02×x2×13×(4x)3×7=02x2+12x21=014x23=014x=23x=2314
 
Comme 23142314 est un élément de Q Q  alors, S={2314}S={2314}
 
e) 2(13x)=3(2x)2(13x)=3(2x)
 
On commence par développer puis on applique les mêmes règles que dans les exercices précédents.
 
2(13x)=3(2x)2×12×(3x)=3×23×(x)2+6x=6+3x6x3x=6+23x=4x=432(13x)=3(2x)2×12×(3x)=3×23×(x)2+6x=6+3x6x3x=6+23x=4x=43
 
Comme 4343 est un élément de Q Q  alors, S={43}S={43}
 
f) 3(13x)=2(2x)+53(13x)=2(2x)+5
 
En développant puis en appliquant les mêmes règles que dans les exercices précédents, on obtient :
 
3(13x)=2(2x)+53×13×(3x)=2×2+2×(x)+53+9x=42x+59x+2x=4+5+311x=12x=12113(13x)=2(2x)+53×13×(3x)=2×2+2×(x)+53+9x=42x+59x+2x=4+5+311x=12x=1211
 
Or, 12111211 est un élément de Q Q  donc, S={1211}S={1211}
 
g) 3x6(34x)=9x23x6(34x)=9x2
 
En développant puis en appliquant les mêmes règles que dans les exercices précédents, on obtient :
 
3x6(34x)=9x23x6×36×(4x)=9x23x18+24x=9x23x+24x9x=2+1818x=16x=16183x6(34x)=9x23x6×36×(4x)=9x23x18+24x=9x23x+24x9x=2+1818x=16x=1618
 
Comme 16181618 est un élément de Q Q  alors, S={1618}S={1618}
 
h) Soit à résoudre l'équation suivante : 3x2(x21)=2x223x2(x21)=2x22
 
Alors, on a :
 
3x2(x21)=2x223x2×(x2)2×(1)=2x223x2x2+2=2x223x2x2+2x2=223x=4x=433x2(x21)=2x223x2×(x2)2×(1)=2x223x2x2+2=2x223x2x2+2x2=223x=4x=43
 
Comme 4343 est un élément de Q Q  alors, S={43}S={43}
 
3) Résolvons dans QQ chacune des équations suivantes.
 
a) Soit à résoudre l'équation suivante : 87x+2=187x+2=1
 
Alors, on a :
 
87x+2=187x=1287x=1x=187x=(1)×(78)x=7887x+2=187x=1287x=1x=187x=(1)×(78)x=78
 
Comme 7878 est un élément de Q Q  alors, S={78}S={78}
 
b) Soit à résoudre l'équation suivante : 87x8=1x87x8=1x
 
On a :
 
87x8=1x87x+x=1+887x+77x=9157x=9x=9157x=9×715x=631587x8=1x87x+x=1+887x+77x=9157x=9x=9157x=9×715x=6315
 
63156315 étant un élément de Q Q  alors, S={6315}S={6315}
 
c) Soit à résoudre l'équation suivante : 34x2x=3+x34x2x=3+x
 
Alors, on a :
 
34x2x=3+x34x2xx=334x84x14x=364x=3x=364x=(3)×(46)x=126x=234x2x=3+x34x2xx=334x84x14x=364x=3x=364x=(3)×(46)x=126x=2
 
Comme 2Q 2Q  alors, S={2}S={2}
 
d) Soit à résoudre l'équation suivante : 23(5x1)=34(x3)23(5x1)=34(x3) 
 
En développant puis en regroupant les termes en xx dans le membre de gauche et les autres termes dans le membre de droite, on obtient :
 
23(5x1)=34(x3)23×(5x)23×1=34×x34×3103x23=34x94103x34x=94+234012x912x=2712+8123112x=1912x=19123112x=1912×1231x=193123(5x1)=34(x3)23×(5x)23×1=34×x34×3103x23=34x94103x34x=94+234012x912x=2712+8123112x=1912x=19123112x=1912×1231x=1931
 
Comme 1931Q 1931Q  alors, S={1931}S={1931}

Exercice 7 "Équation produit"

1) Résolvons dans QQ chacune des équations suivantes.
 
Rappel : un produit de facteurs est nul si au moins l'un des facteurs est nul. Ainsi :
(ax+b)(cx+d)=0  ax+b=0  ou  cx+d=0(ax+b)(cx+d)=0  ax+b=0  ou  cx+d=0
a) Soit à résoudre l'équation suivante : (x4)(x+5)=0(x4)(x+5)=0
 
Alors, on a :
 
(x4)(x+5)=0x4=0  ou  x+5=0x=4  ou  x=5(x4)(x+5)=0x4=0  ou  x+5=0x=4  ou  x=5
 
Comme 4 4  et  5 5 sont des éléments de Q Q  alors, S={4; 5}S={4; 5}
 
b) Soit à résoudre l'équation suivante : (x+53)(x34)=0(x+53)(x34)=0
 
On a :
 
(x+53)(x34)=0x+53=0  ou  x34=0x=53  ou  x=34(x+53)(x34)=0x+53=0  ou  x34=0x=53  ou  x=34
 
Comme 53 53  et  34 34 sont des éléments de Q Q  alors, S={53; 34}S={53; 34}
 
c) Soit à résoudre l'équation suivante : (2x1)(3x+4)=0(2x1)(3x+4)=0
 
Alors, on a :
 
(2x1)(3x+4)=02x1=0  ou  3x+4=02x=1  ou  3x=4x=12  ou  x=43(2x1)(3x+4)=02x1=0  ou  3x+4=02x=1  ou  3x=4x=12  ou  x=43
 
Comme 12 12  et  43 43 sont des éléments de Q Q  alors, S={12; 43}S={12; 43}
 
d) Soit à résoudre l'équation suivante : (3x34)(2x13)=0(3x34)(2x13)=0
 
On a :
 
(3x34)(2x13)=03x34=0  ou  2x13=03x=34  ou  2x=13x=343  ou  x=132x=34×13  ou  x=13×12x=14  ou  x=16(3x34)(2x13)=03x34=0  ou  2x13=03x=34  ou  2x=13x=343  ou  x=132x=34×13  ou  x=13×12x=14  ou  x=16
 
Comme 14 14  et  16 16 sont des éléments de Q Q  alors, S={14; 16}S={14; 16}
 
2) Résolvons dans QQ chacune des équations suivantes.
 
On utilise la forme factorisée des identités remarquables.
 
a) Soit à résoudre l'équation suivante : x26x+9=0x26x+9=0
 
En factorisant l'expression x26x+9x26x+9, on obtient :
x26x+9=(x3)2=(x3)(x3)x26x+9=(x3)2=(x3)(x3)
Par suite,
 
x26x+9=0(x3)(x3)=0x3=0  ou  x3=0x=3  ou  x=3x26x+9=0(x3)(x3)=0x3=0  ou  x3=0x=3  ou  x=3
 
Or, 3Q 3Q  donc, S={3}S={3}
 
b) Soit à résoudre l'équation suivante : 49x21=049x21=0
 
En factorisant l'expression 49x2149x21, on obtient :
49x21=(7x1)(7x+1)49x21=(7x1)(7x+1)
Ainsi,
 
49x21=0(7x1)(7x+1)=07x1=0  ou  7x+1=07x=1  ou  7x=1x=17  ou  x=1749x21=0(7x1)(7x+1)=07x1=0  ou  7x+1=07x=1  ou  7x=1x=17  ou  x=17
 
Comme 17 17  et  17 17 appartiennent à Q Q  alors, S={17; 17}S={17; 17}
 
c) Soit à résoudre l'équation suivante : 4x2+12x+9=04x2+12x+9=0
 
En factorisant l'expression 4x2+12x+94x2+12x+9, on obtient :
4x2+12x+9=(2x+3)2=(2x+3)(2x+3)4x2+12x+9=(2x+3)2=(2x+3)(2x+3)
Donc,
 
4x2+12x+9=0(2x+3)(2x+3)=02x+3=0  ou  2x+3=02x=3  ou  2x=3x=32  ou  x=324x2+12x+9=0(2x+3)(2x+3)=02x+3=0  ou  2x+3=02x=3  ou  2x=3x=32  ou  x=32
 
Comme 32Q 32Q  alors, S={32}S={32}
 
d) Soit à résoudre l'équation suivante : 36x21=036x21=0
 
En factorisant l'expression 36x2136x21, on obtient :
36x21=(6x1)(6x+1)36x21=(6x1)(6x+1)
Par suite,
 
36x21=0(6x1)(6x+1)=06x1=0  ou  6x+1=06x=1  ou  6x=1x=16  ou  x=1636x21=0(6x1)(6x+1)=06x1=0  ou  6x+1=06x=1  ou  6x=1x=16  ou  x=16
 
Comme 16 16  et  16 16 sont des éléments de Q Q  alors, S={16; 16}S={16; 16}
 
e) Soit à résoudre l'équation suivante : x21=0x21=0
 
En factorisant l'expression x21x21, on obtient :
x21=(x1)(x+1)x21=(x1)(x+1)
Ainsi,
 
x21=0(x1)(x+1)=0x1=0  ou  x+1=0x=1  ou  x=1x21=0(x1)(x+1)=0x1=0  ou  x+1=0x=1  ou  x=1
 
Comme 1 1  et  1 1 sont des éléments de Q Q  alors, S={1; 1}S={1; 1}
 
f) Soit à résoudre l'équation suivante : 4x249=04x249=0
 
En factorisant l'expression 4x2494x249, on obtient :
4x249=(2x7)(2x+7)4x249=(2x7)(2x+7)
Ainsi,
 
4x249=0(2x7)(2x+7)=02x7=0  ou  2x+7=02x=7  ou  2x=7x=72  ou  x=724x249=0(2x7)(2x+7)=02x7=0  ou  2x+7=02x=7  ou  2x=7x=72  ou  x=72
 
Comme 72 72  et  72 72 appartiennent à Q Q  alors, S={72; 72}S={72; 72}
 
3) Résolvons dans QQ chacune des équations suivantes.
 
a) Soit à résoudre l'équation suivante : (2x1)(4x3)(2x1)(6x1)=0(2x1)(4x3)(2x1)(6x1)=0
 
On factorise d'abord l'expression (2x1)(4x3)(2x1)(6x1)(2x1)(4x3)(2x1)(6x1)
 
Ainsi, en mettant en évidence le facteur (2x1)(2x1), on obtient :
 
(2x1)(4x3)(2x1)(6x1)=(2x1)[(4x3)(6x1)]=(2x1)(4x36x+1)=(2x1)(2x2)(2x1)(4x3)(2x1)(6x1)=(2x1)[(4x3)(6x1)]=(2x1)(4x36x+1)=(2x1)(2x2)
 
Donc,
(2x1)(4x3)(2x1)(6x1)=(2x1)(2x2)(2x1)(4x3)(2x1)(6x1)=(2x1)(2x2)
Par suite, en utilisant cette forme factorisée, on obtient :
 
(2x1)(4x3)(2x1)(6x1)=0(2x1)(2x2)=02x1=0  ou  2x2=02x=1  ou  2x=2x=12  ou  x=22x=12  ou  x=1(2x1)(4x3)(2x1)(6x1)=0(2x1)(2x2)=02x1=0  ou  2x2=02x=1  ou  2x=2x=12  ou  x=22x=12  ou  x=1
 
Comme 12 12  et  1 1 appartiennent à Q Q  alors, S={12; 1}S={12; 1}
 
b) Soit à résoudre l'équation suivante : 4x21+(2x1)(4x5)=04x21+(2x1)(4x5)=0
 
En factorisant l'expression 4x21+(2x1)(4x5)4x21+(2x1)(4x5), on obtient :
 
4x21+(2x1)(4x5)=(2x1)(2x+1)+(2x1)(4x5)=(2x1)[(2x+1)+(4x5)]=(2x1)(2x+1+4x5)=(2x1)(6x4)4x21+(2x1)(4x5)=(2x1)(2x+1)+(2x1)(4x5)=(2x1)[(2x+1)+(4x5)]=(2x1)(2x+1+4x5)=(2x1)(6x4)
 
Ainsi,
4x21+(2x1)(4x5)=(2x1)(6x4)4x21+(2x1)(4x5)=(2x1)(6x4)
Par suite, en utilisant cette forme factorisée, on obtient :
 
4x21+(2x1)(4x5)=0(2x1)(6x4)=02x1=0  ou  6x4=02x=1  ou  6x=4x=12  ou  x=46x=12  ou  x=234x21+(2x1)(4x5)=0(2x1)(6x4)=02x1=0  ou  6x4=02x=1  ou  6x=4x=12  ou  x=46x=12  ou  x=23
 
Comme 12 12  et  23 23 appartiennent à Q Q  alors, S={12; 23}S={12; 23}
 
c) Soit à résoudre l'équation suivante : (3x1)2(x3)2=0(3x1)2(x3)2=0
 
En factorisant l'expression (3x1)2(x3)2(3x1)2(x3)2, on obtient :
 
(3x1)2(x3)2=[(3x1)(x3)][(3x1)+(x3)]=(3x1x+3)(3x1+x3)=(2x+2)(4x4)(3x1)2(x3)2=[(3x1)(x3)][(3x1)+(x3)]=(3x1x+3)(3x1+x3)=(2x+2)(4x4)
 
Donc,
(3x1)2(x3)2=(2x+2)(4x4)(3x1)2(x3)2=(2x+2)(4x4)
Par suite, en utilisant cette forme factorisée, on obtient :
 
(3x1)2(x3)2=0(2x+2)(4x4)=02x+2=0  ou  4x4=02x=2  ou  4x=4x=22  ou  x=44x=1  ou  x=1(3x1)2(x3)2=0(2x+2)(4x4)=02x+2=0  ou  4x4=02x=2  ou  4x=4x=22  ou  x=44x=1  ou  x=1
 
Comme 1 1  et  1 1 appartiennent à Q Q  alors, S={1; 1}S={1; 1}

Exercice 8 "Équation de la forme ax+bk=cx+dkax+bk=cx+dk"

Résolvons dans QQ chacune des équations suivantes
 
En effet, résoudre les équations de la forme ax+bk=cx+dkax+bk=cx+dk revient à faire : produit des extrêmes k×(ax+b)k×(ax+b) de cette égalité de quotients égal au produit de moyens k×(cx+d)k×(cx+d)
 
Ainsi, pour résoudre une équation de la forme ax+bk=cx+dkax+bk=cx+dk, il suffit de résoudre l'équation k×(ax+b)=k×(cx+d) :k×(ax+b)=k×(cx+d) :
ax+bk=cx+dk  k×(ax+b)=k×(cx+d)ax+bk=cx+dk  k×(ax+b)=k×(cx+d)
a) Soit à résoudre l'équation suivante : x+12=2x13x+12=2x13
 
Alors, on a :
 
x+12=2x133(x+1)=2(2x1)3×x+3×1=2×(2x)2×13x+3=4x23x4x=23x=5x=51x=5x+12=2x133(x+1)=2(2x1)3×x+3×1=2×(2x)2×13x+3=4x23x4x=23x=5x=51x=5
 
Comme 5Q 5Q  alors, S={5}S={5}
 
b) Soit à résoudre l'équation suivante : x13=7x25x13=7x25
 
x13=7x255(x1)=3(7x2)5×x5×1=3×(7x)3×25x5=21x65x21x=6+516x=1x=116x=116x13=7x255(x1)=3(7x2)5×x5×1=3×(7x)3×25x5=21x65x21x=6+516x=1x=116x=116
 
Comme 116Q 116Q  alors, S={116}S={116}
 
c) Soit à résoudre l'équation suivante : 4x53+7x22=04x53+7x22=0
 
On peut commencer par changer de membre l'un des quotient en changeant son signe.
 
On obtient alors :
4x53+7x22=0  4x53=7x224x53+7x22=0  4x53=7x22
Donc, résoudre l'équation 4x53+7x22=04x53+7x22=0 revient à résoudre l'équation suivante : 4x53=7x224x53=7x22
 
Ainsi, on a :
 
4x53+7x22=04x53=7x222(4x5)=3[(7x2)]2(4x5)=3(7x+2)2×(4x)2×5=3×(7x)+3×28x10=21x+68x+21x=6+1029x=16x=16294x53+7x22=04x53=7x222(4x5)=3[(7x2)]2(4x5)=3(7x+2)2×(4x)2×5=3×(7x)+3×28x10=21x+68x+21x=6+1029x=16x=1629
 
Or, 1629Q 1629Q  donc, S={1629}S={1629}
 
d) Soit à résoudre l'équation suivante : 6x14=5x136x14=5x13
 
On a :
 
6x14=5x133(6x1)=4[(5x1)]3(6x1)=4(5x+1)3×(6x)3×1=4×(5x)+4×118x3=20x+418x+20x=4+338x=7x=7386x14=5x133(6x1)=4[(5x1)]3(6x1)=4(5x+1)3×(6x)3×1=4×(5x)+4×118x3=20x+418x+20x=4+338x=7x=738
 
Comme 738Q 738Q  donc, S={738}S={738}

Exercice 9

Ndeuss a 1515 ans ; sa petite sœur Coumba a 66 ans.
 
Déterminons le nombre d'années pour lequel l'âge de Neuss sera le double de sa sœur Coumba.
 
Soit xx le nombre d'années pour lequel l'âge de Neuss sera le double de sa sœur Coumba.
 
Alors, pour ce nombre xx d'années :
 
Ndeuss aura 15+x15+x ans
 
Coumba aura 6+x6+x ans
 
L'hypothèse suivante ; l'âge de Neuss sera le double de sa sœur Coumba peut se traduire sous forme d'équation par :
15+x=2(6+x)15+x=2(6+x)
En résolvant cette équation, on obtient :
 
15+x=2(6+x)15+x=2×6+2×x15+x=12+2xx2x=1215x=3x=31x=315+x=2(6+x)15+x=2×6+2×x15+x=12+2xx2x=1215x=3x=31x=3
 
Donc, dans 33 ans l'âge de Neuss sera le double de sa sœur Coumba.
 
Vérification
 
On a :
 
15+3=1815+3=18 donc, dans 33 ans, Neuss aura 1818 ans.
 
6+3=96+3=9 donc, dans 33 ans, sa sœur Coumba aura 99 ans.
 
Or, 18=2×918=2×9 donc, l'âge de Neuss est bien le double de celui de sa sœur Coumba.

Exercice 10

Adama, Assane et Abdou se partagent 7979 billes, Assane en a 22 fois plus que Adama et Abdou en a 77 de plus que Adama. 
 
Déterminons la part de Adama, Assane et de Abdou.
 
Soit xx le nombre de billes dont dispose Adama.
 
On sait que Assane a 22 fois plus que Adama.
 
Donc, la part de Assane est égale à : 2x2x
 
Aussi, Abdou a 77 billes de plus que Adama.
 
Donc, la part de Abdou est égale à : x+7x+7
 
Par ailleurs, on sait que somme des parts est égale à 7979 billes.
 
Ce qui peut se traduire par l'équation suivante :
x+2x+(x+7)=79x+2x+(x+7)=79
En résolvant cette équation, on trouve la valeur de xx qui représente la part de Adama.
 
Ainsi, on a :
 
x+2x+(x+7)=79x+2x+x+7=794x=7974x=72x=724x=18x+2x+(x+7)=79x+2x+x+7=794x=7974x=72x=724x=18
 
Par suite, Adama dispose de 1818 billes
 
On a :
 
2×18=362×18=36 donc, Assane dispose de 3636 billes
 
18+7=2518+7=25 alors, Abdou dispose de 2525 billes
 
Vérification :
 
On a : 18+36+25=7918+36+25=79
 
Ainsi, la somme des parts est bien égale à 7979 billes.

Exercice 11

Traduisons chacune des phrases suivantes par une équation.
 
1) La somme d'un nombre et de 77 est égale à 5.5.
 
Soit xx ce nombre, alors on a :
x+7=5x+7=5
2) La différence d'un nombre et de 88 est égale à 3.3.
 
Soit xx ce nombre, alors cette phrase se traduit par :
x8=3x8=3
3) Le produit d'un nombre et de 1010 est égal à 11.11.
 
Soit xx ce nombre, alors cette phrase se traduit par :
x×10=11x×10=11
4) Le quotient d'un nombre et de 44 est égal à 5.5.
 
Soit xx ce nombre, alors cette phrase se traduit par :
x4=5x4=5

Exercice 12

1) Imaginons une équation du premier degré à une inconnue ayant pour solution x=3.x=3.
 
En faisant passer le nombre 33 de la droite vers la gauche en changeant son signe, on obtient :
x3=0x3=0
2) Imaginons une équation du premier degré à une inconnue ayant pour solution t=2.t=2.
 
En faisant passer le nombre 22 de la droite vers la gauche en changeant son signe, on trouve :
t+2=0t+2=0

Exercice 13

Khoudia dépense le quart de son salaire pour son logement et les deux cinquièmes pour la nourriture.
 
Il lui reste 227500F227500F pour les autres dépenses.
 
Calculons son salaire mensuel.
 
Soit xx le salaire de Khoudia.
 
Alors :
 
la dépense pour le logement est égale à : 14x14x
 
la dépense pour le nourriture est égale à : 25x25x
 
les autres dépenses sont égales à : 227500F227500F
 
Or, on sait que la somme de toutes ces dépenses est égale au salaire x.x.
 
Ce qui se traduit par :
14x+25x+227500=x14x+25x+227500=x
On va résoudre cette équation pour trouver la valeur de xx qui détermine le salaire de Khoudia.
 
On a :
 
14x+25x+227500=x14x+25xx=227500520x+820x2020x=227500720x=227500x=227500720x=227500×(207)x=45500007x=65000014x+25x+227500=x14x+25xx=227500520x+820x2020x=227500720x=227500x=227500720x=227500×(207)x=45500007x=650000
 
Donc, Khoudia a un salaire de : 650000F650000F
 
Par suite,
 
pour le logement, on a : 6500004=1625006500004=162500 donc, Khoudia dépense 162500F162500F pour son logement.
 
pour la nourriture, on a : 2×6500005=2600002×6500005=260000 alors, Khoudia dépense 260000F260000F pour la nourriture.
 
Vérification :
 
On a : 162500F+260000F+227500F=650000F162500F+260000F+227500F=650000F
 
Ce qui prouve que la somme de toutes ses dépenses est égale à son salaire.

Exercice 14  Problème

On donne f(x)=4x21(12x)(3x+4).f(x)=4x21(12x)(3x+4).
 
1) a) Nous allons développer, réduire et ordonner f(x).f(x).
 
On a :
 
f(x)=4x21(12x)(3x+4)=4x21+(1+2x)(3x+4)=4x211×(3x)1×4+(2x)×(3x)+(2x)×4=4x213x4+6x2+8x=4x2+6x23x+8x14=10x2+5x5f(x)=4x21(12x)(3x+4)=4x21+(1+2x)(3x+4)=4x211×(3x)1×4+(2x)×(3x)+(2x)×4=4x213x4+6x2+8x=4x2+6x23x+8x14=10x2+5x5
 
D'où, f(x)=10x2+5x5f(x)=10x2+5x5
 
b) Calculons f(0).f(0).
 
Considérons la forme développée de f(x)f(x) et remplaçons xx par 0.0.
 
Soit : f(x)=10x2+5x5f(x)=10x2+5x5
 
Alors,
 
f(0)=10×(0)2+5×05=5f(0)=10×(0)2+5×05=5
 
Ainsi, f(0)=5f(0)=5
 
2) a) Factorisons f(x).f(x).
 
Soit : f(x)=4x21(12x)(3x+4)f(x)=4x21(12x)(3x+4)
 
Dans l'expression de f(x)f(x) on peut identifier deux parties 4x21 4x21  et  (12x)(3x+4). (12x)(3x+4).
 
Or, en utilisant la propriété des identités remarquables a2b2=(ab)(a+b)a2b2=(ab)(a+b), on peut écrire :
4x21=(2x1)(2x+1)4x21=(2x1)(2x+1)
De plus, en appliquant la règle sur le signe ()() devant une parenthèse, on obtient :
(12x)(3x+4)=(1+2x)(3x+4)=(2x1)(3x+4)(12x)(3x+4)=(1+2x)(3x+4)=(2x1)(3x+4)
Finalement, en remplaçant les expressions de 4x21 4x21  et  (12x)(3x+4) (12x)(3x+4) dans celle de f(x)f(x), on obtient :
f(x)=(2x1)(2x+1)+(2x1)(3x+4)f(x)=(2x1)(2x+1)+(2x1)(3x+4)
En mettant en évidence le facteur commun (2x1)(2x1), on obtient :
 
f(x)=(2x1)(2x+1)+(2x1)(3x+4)=(2x1)[(2x+1)+(3x+4)]=(2x1)(2x+1+3x+4)=(2x1)(5x+5)f(x)=(2x1)(2x+1)+(2x1)(3x+4)=(2x1)[(2x+1)+(3x+4)]=(2x1)(2x+1+3x+4)=(2x1)(5x+5)
 
D'où, f(x)=(2x1)(5x+5)f(x)=(2x1)(5x+5)
 
b) Résolvons dans QQ l'équation f(x)=0f(x)=0
 
Comme le second membre de cette équation est égal à 00 alors, nous allons utiliser la forme factorisée de f(x)f(x) pour résoudre l'équation f(x)=0.f(x)=0.
 
On a :
 
f(x)=0(2x1)(5x+5)=02x1=0  ou  5x+5=02x=1  ou  5x=5x=12  ou  x=55x=12  ou  x=1f(x)=0(2x1)(5x+5)=02x1=0  ou  5x+5=02x=1  ou  5x=5x=12  ou  x=55x=12  ou  x=1
 
Comme 1  et  12 appartiennent à Q alors,
S={1; 12}

Exercice 15 Problème

On considère les expressions suivantes :
 
f(x)=(5x2)2(2x+3)2;g(x)=(3x5)(2x1)+9x230x+25.
 
1) Nous allons développer, réduire et ordonner f(x)  et  g(x).
 
On a :
 
f(x)=(5x2)2(2x+3)2=(5x)22×2×(5x)+22[(2x)2+2×3×(2x)+32]=25x220x+4(4x2+12x+9)=25x220x+44x212x9=25x24x220x12x+49=21x232x5
 
D'où, f(x)=21x232x5
 
On a :
 
g(x)=(3x5)(2x1)+9x230x+25=(3x)×(2x)+(3x)×(1)5×(2x)5×(1)+9x230x+25=6x23x10x+5+9x230x+25=6x2+9x23x10x30x+5+25=15x243x+30
 
Ainsi, g(x)=15x243x+30
 
2) Factorisons f(x)  et  g(x) en déduisons le facteur commun de f(x)  et  g(x).
 
Soit f(x)=(5x2)2(2x+3)2 alors, f(x) est de la forme a2b2.
 
Donc, en appliquant la propriété des identités remarquables, on obtient :
 
f(x)=(5x2)2(2x+3)2=[(5x2)(2x+3)][(5x2)+(2x+3)]=(5x22x3)(5x2+2x+3)=(5x2x23)(5x+2x2+3)=(3x5)(7x+1)
 
Par suite, f(x)=(3x5)(7x+1)
 
Soit g(x)=(3x5)(2x1)+9x230x+25
 
Alors, on factorise d'abord la partie 9x230x+25 en utilisant la propriété des identités remarquables.
 
Ce qui donne :
9x230x+25=(3x5)2
En remplaçant dans l'expression de g(x), on obtient :
g(x)=(3x5)(2x1)+(3x5)2
On reconnait alors un facteur commun ; (3x5)
 
Par suite,
 
g(x)=(3x5)(2x1)+(3x5)2=(3x5)[(2x1)+(3x5)]=(3x5)(2x1+3x5)=(3x5)(2x+3x15)=(3x5)(5x6)
 
D'où, g(x)=(3x5)(5x6)
 
On a : f(x)=(3x5)(7x+1)  et  g(x)=(3x5)(5x6)
 
Donc, le facteur commun de f(x)  et  g(x) est :
(3x5)
3) Résolvons dans Q les équations suivantes : f(x)=0  et  g(x)=0.
 
Comme le second membre de ces équations est égal à 0 alors, nous allons considérer les formes factorisées de f(x) et de g(x) pour résoudre les équations f(x)=0  et  g(x)=0.
 
Soit f(x)=(3x5)(7x+1) alors, on a :
 
f(x)=0(3x5)(7x+1)3x5=0  ou  7x+1=03x=5  ou  7x=1x=53  ou  x=17
 
Comme 17  et  53 appartiennent à Q alors,
S={17; 53}
Soit g(x)=(3x5)(5x6) alors, on a :
 
g(x)=0(3x5)(5x6)3x5=0  ou  5x6=03x=5  ou  5x=6x=53  ou  x=65
 
Comme 53  et  65 appartiennent à Q alors,
S={53; 65}
4) Résolvons dans Q les équations suivantes : f(x)=21x2  et  g(x)=15x2.
 
Comme le second membre de ces équations est différent de 0 alors, nous allons utiliser les formes développées de f(x) et de g(x) pour résoudre les équations f(x)=21x2  et  g(x)=15x2.
 
Soit f(x)=21x232x5 alors, on a :
 
f(x)=21x221x232x5=21x221x232x21x2=521x221x232x=532x=5x=532
 
Or, 532Q donc,
S={532}
Soit g(x)=15x243x+30 alors, on a :
 
g(x)=15x215x243x+30=15x215x243x15x2=3015x215x243x=3043x=30x=3043x=3043
 
Comme 3043Q alors,
S={3043}

Exercice 16 Problème et Identités remarquables

On considère les expressions suivantes.
 
A(x)=(2x1)2+2(2x1)(7x1)+(7x1)2.
 
B(x)=(x1)22(x1)(3x1)+(3x1)2.
 
C(x)=x2+2x(8x1)+(8x1)2.
 
1) Développons, réduisons et ordonnons les expressions suivantes : A(x); B(x)  et  C(x).
 
On a :
 
A(x)=(2x1)2+2(2x1)(7x1)+(7x1)2=4x24x+1+2(14x22x7x+1)+49x214x+1=4x24x+1+28x24x14x+2+49x214x+1=4x2+28x2+49x24x4x14x14x+1+2+1=81x236x+4
 
D'où, A(x)=81x236x+4
 
On a :
 
B(x)=(x1)22(x1)(3x1)+(3x1)2=x22x+12(3x2x3x+1)+9x26x+1=x22x+16x2+2x+6x2+9x26x+1=x26x2+9x22x+2x+6x6x+12+1=4x2
 
Donc, B(x)=4x2
 
On a :
 
C(x)=x2+2x(8x1)+(8x1)2=x2+16x22x+64x216x+1=x2+16x2+64x22x16x+1=81x218x+1
 
Ainsi, C(x)=81x218x+1
 
2) Factorisons les expressions : A(x); B(x)  et  C(x).
 
Soit A(x)=(2x1)2+2(2x1)(7x1)+(7x1)2 alors, on constate que A(x) est de la forme a2+2ab+b2 avec : a=(2x1)  et  b=(7x1)
 
Donc, en utilisant la forme factorisée des identités remarquables a2+2ab+b2=(a+b)2, on obtient :
 
A(x)=(2x1)2+2(2x1)(7x1)+(7x1)2=[(2x1)+(7x1)]2=(2x1+7x1)2=(2x+7x11)2=(9x2)2
 
D'où, A(x)=(9x2)2
 
Soit B(x)=(x1)22(x1)(3x1)+(3x1)2.
 
Alors, on remarque que B(x) est de la forme a22ab+b2 avec : a=(x1)  et  b=(3x1).
 
Donc, en utilisant la forme factorisée des identités remarquables a22ab+b2=(ab)2, on obtient :
 
B(x)=(x1)22(x1)(3x1)+(3x1)2=[(x1)(3x1)]2=(x13x+1)2=(x3x1+1)2=(2x)2
 
Ainsi, B(x)=(2x)2
 
Soit C(x)=x2+2x(8x1)+(8x1)2.
 
Alors, on remarque que C(x) est de la forme a2+2ab+b2 avec : a=x  et  b=(8x1).
 
Donc, en utilisant la forme factorisée des identités remarquables a2+2ab+b2=(a+b)2, on obtient :
 
C(x)=x2+2x(8x1)+(8x1)2=[(x+(8x1)]2=(x+8x1)2=(9x1)2
 
D'où, C(x)=(9x1)2
 
3) Résolvons dans Q les équations suivantes : A(x)=0; B(x)=0  et  C(x)=81x2.
 
Comme le second membre des équations A(x)=0 et  B(x)=0 est égal à 0 alors, nous allons considérer les formes factorisées de A(x) et de B(x) pour résoudre les équations A(x)=0  et  B(x)=0.
 
Soit A(x)=(9x2)2 alors, on a :
 
A(x)=0(9x2)2=09x2=09x=2x=29
 
Comme 29Q alors,
S={29}
Soit B(x)=(2x)2 alors, on a :
 
B(x)=0(2x)2=02x=0x=02x=0
 
Comme 0 est un élément de Q alors,
S={0}
 C(x)=81x2.
 
Pour résoudre l'équation C(x)=81x2, nous pouvons utiliser la forme développée de C(x) car le second membre de cette équation est différent de 0.
 
Soit C(x)=81x218x+1 alors, on a :
 
C(x)=81x281x218x+1=81x281x218x81x2=181x281x218x=118x=1x=118x=118
 
Comme 118Q alors,
S={118}

Exercice 17 Problème

Le rectangle ci-dessous a pour longueur AC=7cm et pour largeur CD=4cm. B[AC] tel que BC=x; F[AE] tel que FE=x.
 

 
1) Calculons l'aire du rectangle ACDE.
 
Soit AACDE l'aire du rectangle ACDE alors, on a :
 
AACDE=AC×CD=7×4=28
 
Donc, AACDE=28cm2
 
2) Calculons les aires des triangles BCD  et  DEF en fonction de x.
 
Soit ABCD l'aire du triangle BCD alors, on a :
 
Comme le triangle BCD est rectangle en C, alors on a :
 
ABCD=CD×BC2=4×x2=2x
 
Par suite, ABCD=2xcm2
 
Soit ADEF l'aire du triangle DEF.
 
Comme le triangle DEF est rectangle en E, alors on a :
ADEF=ED×FE2
Or, ED=AC car ACDE est un rectangle.
 
Donc, en remplaçant ED par AC, on obtient :
 
ADEF=ED×FE2=AC×FE2=7×x2=72x=3.5x
 
D'où, ADEF=3.5xcm2
 
3) Montrons que l'aire du triangle ABF est de : 0.5x25.5x+14
 
Soit AABF l'aire du triangle ABF.
 
Le triangle ABF étant rectangle en A, alors on a :
AABF=AB×AF2
Or, B[AC] donc, AB+BC=AC
 
Par suite, AB=ACBC=7x
 
Aussi, comme F[AE] alors, AF+FE=AE
 
Ainsi, AF=AEFE
 
Or, ACDE rectangle donc, AE=CD
 
Par suite, AF=AEFE=CDFE=4x
 
En remplaçant AB par 7x  et  AF par 4x dans l'expression de AABF, on obtient :
 
AABF=AB×AF2=(7x)(4x)2=7×47×xx×4x×(x)2=287x4x+x22=2811x+x22=282112x+12x2=145.5x+0.5x2=0.5x25.5x+14
 
D'où, AABF=0.5x25.5x+14
 
4) En déduisons que l'aire de FBD est égale à 0.5x2+14
 
On sait que la somme des aires des triangles BCD; DEF; ABF  et  FBD est égale à l'aire du rectangle ACDE.
 
Ce qui peut encore s'écrire :
 
ABCD+ADEF+AABF+AFBD=AACDE
 
Par suite,
 
AFBD=AACDEABCDADEFAABF=282x3.5x(0.5x25.5x+14)=282x3.5x0.5x2+5.5x14=0.5x22x3.5x+5.5x+2814=0.5x2+14
 
D'où, AFBD=0.5x2+14
 
5) Déterminons pour quelle valeur de x l'aire du triangle FBD représente les 37 de l'aire du rectangle ACDE.
 
On a : AFBD=0.5x2+14  et  AACDE=28
 
Alors, l'aire du triangle FBD représente les 37 de l'aire du rectangle ACDE peut se traduire par :
0.5x2+14=37×28=12
En résolvant cette équation, on trouve cette valeur de x.
 
Ainsi,
 
AFBD=37AACDE0.5x2+14=120.5x2+14=12140.5x2=2x2=20.5x2=4x24=0(x2)(x+2)=0x2=0  ou  x+2=0x=2  ou  x=2
 
On constate qu'on a deux valeurs de x :2  et  2
 
Mais x représente la distance BC  et  FE et une distance n'est jamais négative donc, nous allons considérer la valeur positive.
 
D'où, la valeur pour laquelle AFBD=37AACDE est : 2

Exercice 19

Résolvons dans Q les équations ci-dessous.
 
Soit 5n32=n+16
 
Alors, on a :
 
5n32=n+165nn=16+324n=16+964n=106n=1064n=106×14n=1024
 
Comme 1024Q  alors,
S={1024}
Soit 3m7+2=5m14 alors, on a :
 
3m7+2=5m143m7+m14=526m14+m14=37m14=37m14=311×(7m)=3×147m=42m=427m=6
 
Comme 6 est un élément de Q alors,
S={6}
Soit 53+7x+1=x21 alors, on a :
 
53+7x+1=x217xx2=11+5314x2x2=2+5313x2=63+5313x2=133×(13x)=1×239x=2x=239
 
Comme 239 appartient à Q alors,
 
S={239}
 
Soit 25(25x+5)=12(195x) alors, on a :
 
25(25x+5)=12(195x)25×(25x)+25×5=12×112×(95x)425x+105=12+910x425x910x=12105850x4550x=51020103750x=2510x=25103750x=2510×(5037)x=1250370
 
Comme 1250370Q alors,
S={1250370}

Exercice 20

Résolvons dans Q les équations ci-dessous
 
Soit n213(12n)=76n+23 alors, on a :
 
n213(12n)=76n+23n213×1213×(n)=76n+2312n16+13n=76n+2312n+13n76n=23+1636n+26n76n=46+1626n=56n=5626n=56×(62)n=5×66×2n=52
 
Comme 52Q alors,
S={52}
Soit 2t14=t2 alors, on a :
 
2t14=t22tt2=144t2t2=143t2=144×(3t)=2×112t=2t=212
 
Comme 212Q alors,
S={212}
Soit à résoudre l'équation m3=m10.
 
On a :
 
m3=m10m3m=10m33m3=102m3=102m3=1011×(2m)=3×(10)2m=30m=302m=15
 
Comme 15Q alors,
S={15}
Soit 3x=x3+8 alors, on a :
 
3x=x3+83xx3=89x3x3=88x3=88x3=811×(8x)=3×88x=24x=248x=3
 
Comme 3Q alors,
S={3}

Exercice 21

Ngor et Diégane ont ensemble 48 billes, soit x le nombre de billes de Ngor
 
1) Exprimons en fonction de x, le nombre de billes de Diégane.
 
Soit x le nombre de billes de Ngor.
 
On sait que la somme des nombres de billes de Diégane et de Ngor est égale à 48.
 
Ce qui se traduit par l'équation suivante :
nombre de billes de Diégane+x=48
On va résoudre cette équation pour trouver le nombre de billes de Diégane.
 
Il suffit alors de faire passer x de la gauche vers la droite en changeant son signe.
nombre de billes de Diégane+x=48  nombre de billes de Diégane=48x
Donc, le nombre de billes de Diégane est égal à (48x)
 
2) Déterminons x sachant que Ngor a 2 fois plus de billes que Diégane.
 
On a :
 
le nombre de billes de Ngor est égal à : x
 
le nombre de billes de Diégane est égal à : 48x
 
Comme Ngor a 2 fois plus de billes que Diégane alors, cela se traduit par l'équation suivante :
x=2(48x)
En résolvant cette équation, on obtient :
 
x=2(48x)x=2×482×xx=962xx+2x=963x=96x=963x=32
 
Par suite, Ngor a 32 billes et Diégane en a 16.
 
Vérification :
 
On a : 32+16=48
 
Ce qui montre que la somme des billes de Ngor et de Diégane est bien égale à 48.

Exercice 22

Un père a 24 ans de plus que son fils, calculons l'âge de chacun quand ils auront ensemble 100 ans.
 
Soit x l'âge du fils alors.
 
Comme le père a 24 ans de plus que son fils alors, l'âge du père sera égal à : (24+x).
 
Le père et son fils auront ensemble 100 ans. Ce qui peut se traduire sous forme d'équation par :
(24+x)+x=100
En résolvant cette équation, on obtient :
 
(24+x)+x=10024+x+x=1002x=100242x=76x=762x=38
 
Donc, l'âge du fils est de : 38 ans.
 
On a : 24+38=62 donc, le père a 62 ans.
 
Vérification :
 
On a : 62+38=100
 
Donc, la somme de leur âge est bien égale à 100 ans.

Exercice 23

Les dimensions d'un rectangle sont 3  et  4m
 
Déterminons le nombre qu'il faut ajouter à la longueur et à la largeur pour que le périmètre double.
 
Le périmètre du rectangle est :
 
P=2×(3+4)=2×7=21
 
Donc, P=21cm
 
Soit x le nombre à ajouter à la longueur et à la largeur alors :
 
la longueur devient : (4+x)
 
la largeur devient : (3+x)
 
Ainsi, le nouveau périmètre est donné par :
2[(4+x)+(3+x)]
Ce périmètre double si, et seulement si,
2[(4+x)+(3+x)]=2×21=42
Donc, en résolvant l'équation 2[(4+x)+(3+x)]=42 on trouve la valeur de x.
 
On a :
 
2[(4+x)+(3+x)]=422(4+x+3+x)=422×4+2×x+2×3+2×x=428+2x+6+2x=424x=42864x=28x=284x=7
 
Ainsi, il faut ajouter 7cm à la longueur et à la largeur pour que le périmètre double.
 
Par suite :
 
la longueur sera donnée par : 4+7=11cm
 
la largeur sera donnée par : 3+7=10cm
 
Vérification :
 
On a : 2×(11+10)=2×21=42
 
Ce qui prouve que le périmètre a doublé.

Exercice 24

Une mère a 15 ans de plus que sa fille, dans 10 ans l'âge de la mère sera le double de l'âge de la fille ;
 
Déterminons l'âge de la mère et celui de la fille.
 
Soit x l'âge de la fille.
 
Comme la mère a 15 ans de plus que sa fille alors, l'âge de la mère est : (x+15)
 
Ainsi, dans 10 ans 
 
la fille aura : (x+10) ans
 
la mère aura : [(x+15)+10] ans
 
Comme dans 10 ans l'âge de la mère sera le double de l'âge de la fille alors, on peut le traduire par l'équation suivante :
[(x+15)+10]=2(x+10)
En résolvant cette équation, on obtient :
 
[(x+15)+10]=2(x+10)(x+15+10)=2×x+2×10x+25=2x+20x2x=2025x=5x=51x=5
 
Donc, la fille a 5 ans.
 
On a : 5+15=20 donc, la mère a 20 ans
 
Dans 10 ans la mère aura 30 ans et sa fille aura 15 ans.
 
Vérification :
 
On a : 30=2×15
 
Ce qui confirme que l'âge de la mère est bien le double de celui de sa fille.

Exercice 25

Nafi a eu 13  et  15 aux 2 premiers contrôles de Maths.
 
Déterminons la note qu'elle doit obtenir au 3ème contrôle pour que sa moyenne soit 16
 
Soit x la note obtenue au 3ème contrôle.
 
Donc, pour calculer la moyenne de Nafi, on fait :
13+15+x3
Pour que cette moyenne soit égale à 16, on pose l'équation suivante :
13+15+x3=16
En résolvant cette équation, on obtient :
 
13+15+x3=1628+x3=1611×(28+x)=3×1628+x=48x=4828x=20
 
Donc, Nafi doit obtenir 20 au 3ème contrôle pour que sa moyenne soit 16.
 
Vérification :
 
On a : 13+15+203=483=16
 
Ce qui montre bien que sa moyenne est 16 lorsque sa note au 3ème contrôle est 20.

Exercice 26

Un terrain rectangulaire a un périmètre de 4.5km ; la longueur mesure 350m de plus que la largeur, déterminons les dimensions du terrain.
 
Soit x la dimension de la largeur.
 
Comme la longueur mesure 350m de plus que la largeur alors, la dimension de la longueur est : (x+350)
 
Donc, le périmètre est donné par :
2[(x+350)+x]
Or, on sait que ce terrain a un périmètre de P=4.5km. En convertissant en mètre, on obtient : P=4.5km=4500m
 
Ainsi, on l'équation suivante :
2[(x+350)+x]=4500
On va résoudre cette équation pour trouver la valeur de x qui représente la dimension de la largeur.
 
On a :
 
2[(x+350)+x]=45002(x+350+x)=45002(2x+350)=45002×2x+2×350+x=45004x+700=5004x=45007004x=3800x=38004x=950
 
Alors, la largeur mesure 950m
 
On a : 950+350=1300 donc, la longueur mesure 1300m
 
Vérification :
 
On a :
 
Périmètre=2(1300+950)=2×2250=4500m=4.5km
 
Donc, les dimensions vérifient bien le périmètre de ce terrain.

Exercice 27

Nogaye dépense les trois cinquième de son argent pour acheter un livre. 
 
Elle donne ensuite le quart du reste à sa sœur Ami. Elle se retrouve après avec seulement 12000 francs.
 
Déterminons la somme d'argent que Nogaye disposait.
 
Soit x la somme totale que dispose Nogaye.
 
Comme elle dépense les trois cinquième de son argent pour acheter un livre alors, la dépense pour ce livre est : 35x
 
Ainsi, la somme qui lui reste est : (x35x)
 
Nogaye donne ensuite le quart de ce reste à sa sœur Ami. Donc, la somme donnée à Ami est : 14(x35x)
 
Enfin, la somme qui lui reste est : 12000F
 
Par ailleurs, on sait que la somme dépensée pour le livre, la somme donnée à Ami et la somme restante constituent la somme totale d'argent x que Nogaye disposait.
 
Ainsi, on peut écrire :
35x+14(x35x)+12000=x
En résolvant cette équation, on obtient :
 
35x+14(x35x)+12000=x35x+14x14×35x+12000=x35x+14x320xx=120001220x+520x320x2020x=12000620x=12000x=12000620x=12000×(206)x=12000×206x=2400006x=40000
 
Donc, Nogaye disposait de 40000F
 
On a :
 
35×40000=3×400005=1200005=24000
 
Ainsi, Nogaye a dépensé 24000F pour acheter un livre.
 
Aussi,
 
14(4000035×40000)=14(400003×400005)=14(400001200005)=14(4000024000)=14×16000=160004=4000
 
Donc, Nogaye a donné 4000F à sa sœur Ami
 
Vérification :
 
On a : 24000+4000+12000=40000

Exercice 28

1) Déterminons le nombre de places réservées aux passagers
 
Soit x le nombre de places réservées aux passagers.
 
  A l'embarquement à Dakar, les 34 des sièges sont occupées. 
 
Donc, le nombre de places occupés à l'embarquement à Dakar est de :
34x
  A l'escale de Bamako, 45 passagers descendent et 27 montent.
 
Ce qui veut dire que le nombre de places occupées au départ de Bamako est de :
34x45+27(1)
On sait par ailleurs, que l'avion est plein aux 23.
 
Donc, le nombre de places occupées au départ de Bamako peut encore s'exprimer par :
23x(2)
Par suite, l'égalité des relations (1) et (2) donne :
34x45+27=23x
En résolvant cette dernière équation, on trouvera le nombre x, de places réservées aux passagers.
 
On a :
 
34x45+27=23x34x23x=4527912x812x=18x12=18x=18×12x=216
 
D'où, x=216
 
Ainsi, cet avion compte 216 places réservées aux passagers.
 
2) Déterminons le nombre de passagers débarquant à Abidjan.
 
Soit A le nombre de passagers débarquant à Abidjan et B le nombre de passagers au départ de Bamako.
 
  Comme au départ de Bamako l'avion était plein aux 23 alors, on a :
B=23x=23×216=144
  A l'escale de Ouaga, la moitié de ces 144 passagers descend et 25 montent.
 
Cela se traduit par :
1441442+25=14472+25=97
Donc, au départ de Ouaga, l'avion compte 97 passagers à destination d'Abidjan.
 
Ainsi, le nombre de passagers débarquant à Abidjan est :
A=97

Auteur: 
Diny Faye

Commentaires

Correction de l'exercice 28

Correction exercice 24

Je pense vraiment que les exercices sont intéressants

Mien mais Les corrections sur Les problemes

Please la correction des problèmes

Exercice intéressants mais y'a op de correction des problème c domache

C'est bien mais les corrections sur les problèmes

Mais l'exercice 6

Ngor a 2 fois plus de billes que Diégane ne signifie t-elle pas que Ngor a le nombre de billets qu'a Diégane plus deux fois le nombre de billets qu'a Diégane c'est à dire X+2X ? Comme Ngor a 2 fois plus de billes que Diégane alors, cela se traduit par l'équation suivante : X= 2(48-X) ne signifie t-elle pas que le nombre de billets de Ngor est le double de celui de Diégane ?

Ngor a 2 fois plus de billes que Diégane ne signifie t-elle pas que Ngor a le nombre de billets qu'a Diégane plus deux fois le nombre de billets qu'a Diégane c'est à dire X+2X ? Comme Ngor a 2 fois plus de billes que Diégane alors, cela se traduit par l'équation suivante : X= 2(48-X) ne signifie t-elle pas que le nombre de billets de Ngor est le double de celui de Diégane ?

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