Solution des exercices : Équation du premier degré à une inconnue - 4e
Classe:
Quatrième
Exercice 1 Vocabulaire
Recopions puis complétons parles mots qui conviennent.
1) Une équation du premier degré à une inconnue est une équation dans laquelle un nombre est inconnu.
2) Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'équation est vérifiée.
3) Les valeurs de l'inconnue sont les nombres qui vérifient l'équation.
4) On ne change pas les signes d'une équation lorsqu'on ajoute le même nombre dans chaque membre.
5) Dans l'équation : 2x−4=7;2x−42x−4=7;2x−4 est le membre de gauche et 77 est le membre de droite.
Exercice 2 "Équation de la forme x+a=bx+a=b"
Résolvons dans QQ chacune des équations suivantes en utilisant les propriétés des inégalités.
Résoudre une équation du type x+a=bx+a=b revient à trouver les valeurs de xx tels que :
x=b−ax=b−a
Donc, il faut juste changer aa de membre ; de la gauche vers la droite sans oublier de changer son signe.
a) Soit à résoudre l'équation : x+3=6x+3=6
Pour trouver la solution, on va changer +3+3 de membre (de la gauche vers la droite) pour devenir −3.−3.
Donc, on obtient : x=6−3x=6−3
Ce qui donne : x=3x=3
Comme 3∈Q 3∈Q alors, S={3}S={3}
b) Soit l'équation : x+5=−6x+5=−6
Pour résoudre cette équation, on fait passer +5+5 de la gauche vers la droite en changeant son signe.
Ce qui entraîne : x=−6−5=−11x=−6−5=−11
Or, −11∈Q −11∈Q donc, S={−11}S={−11}
c) Soit l'équation : x+3=−8x+3=−8
On procède comme dans les questions a) et b).
On a : x+3=−8x+3=−8 si, et seulement si, x=−8−3=−11x=−8−3=−11
Comme −11∈Q −11∈Q alors, S={−11}S={−11}
d) Soit l'équation : x−4=2x−4=2
On a : x−4=2x−4=2 si, et seulement si, x=2+4=6x=2+4=6
6∈Q 6∈Q donc, S={6}S={6}
e) Soit à résoudre l'équation : x−1=−4x−1=−4
On a :
x−1=−4⇔x=−4+1⇔x=−3x−1=−4⇔x=−4+1⇔x=−3
Comme −3∈Q−3∈Q alors, S={−3}S={−3}
f) Soit à résoudre l'équation : −4+x=−4−4+x=−4
L'équation −4+x=−4−4+x=−4 peut aussi s'écrire x−4=−4x−4=−4
Donc, on applique la même méthode en changeant de membre le nombre −4−4 de la gauche vers la droite.
Ainsi, on obtient :
−4+x=−4⇔x=−4+4⇔x=0−4+x=−4⇔x=−4+4⇔x=0
Comme 00 est un élément de QQ alors, l'ensemble des solutions de l'équation est donnée par : S={0}S={0}
g) Soit à résoudre l'équation : x−25=43x−25=43
On a :
x−25=43⇔x=43+25⇔x=2015+615⇔x=2615x−25=43⇔x=43+25⇔x=2015+615⇔x=2615
Comme 2615∈Q 2615∈Q alors, S={2615}S={2615}
h) Soit à résoudre l'équation : x+13=32x+13=32
On a :
x+13=32⇔x=32−13⇔x=96−26⇔x=76x+13=32⇔x=32−13⇔x=96−26⇔x=76
Or, 76∈Q 76∈Q donc, S={76}S={76}
i) Soit à résoudre l'équation : x−45=−13x−45=−13
On a :
x−45=−13⇔x=−13+45⇔x=−515+1215⇔x=715x−45=−13⇔x=−13+45⇔x=−515+1215⇔x=715
Or, 715∈Q 715∈Q donc, S={715}S={715}
j) Soit à résoudre l'équation : −25+x=12−25+x=12
−25+x=12⇔x=12+25⇔x=510+410⇔x=910−25+x=12⇔x=12+25⇔x=510+410⇔x=910
Comme, 910∈Q 910∈Q alors, S={910}S={910}
l) Soit à résoudre l'équation : x−45=13x−45=13
On a :
x−45=13⇔x=13+45⇔x=515+1215⇔x=1715x−45=13⇔x=13+45⇔x=515+1215⇔x=1715
Comme, 1715∈Q 1715∈Q alors, S={1715}S={1715}
m) Soit à résoudre l'équation : −x+15=−13−x+15=−13
On a :
−x+15=−13⇔−x=−13−15⇔−x=−515−315⇔−x=−815−x+15=−13⇔−x=−13−15⇔−x=−515−315⇔−x=−815
Par suite, en multipliant chaque membre de l'équation −x=−815−x=−815 par −1−1, on obtient :
(−1)×(−x)=(−1)×(−815) ⇔ x=815(−1)×(−x)=(−1)×(−815) ⇔ x=815
Or, 815∈Q 815∈Q donc, S={815}S={815}
Exercice 3 "Équation de la forme ax=bax=b"
Résolvons dans QQ chacune des équations suivantes en utilisant les propriétés des inégalités.
Résoudre dans QQ une équation de la forme ax=b; (a≠0)ax=b; (a≠0) revient à déterminer les valeurs de xx telles que :
x=bax=ba
Si ba∈Qba∈Q alors, l'ensemble des solutions (S)(S) sera donnée par :
S={ba}S={ba}
a) Soit à résoudre l'équation suivante : 4x=34x=3
On a : 4x=3 ⇔ x=344x=3 ⇔ x=34
Comme 34∈Q 34∈Q alors, S={34}S={34}
b) Soit à résoudre l'équation suivante : −2x=4.8−2x=4.8
Alors : −2x=4.8 ⇔ x=4.8−2=−2.4−2x=4.8 ⇔ x=4.8−2=−2.4
Or, −2.4∈Q−2.4∈Q
Par suite ; S={−2.4}S={−2.4}
c) Soit à résoudre l'équation suivante : 3x=−193x=−19
On a : 3x=−19 ⇔ x=−1933x=−19 ⇔ x=−193
Or, −193∈Q −193∈Q donc, S={−193}S={−193}
d) Soit à résoudre l'équation suivante : 2x=372x=37
Alors :
2x=37⇔x=372⇔x=37×12⇔x=3142x=37⇔x=372⇔x=37×12⇔x=314
314314 étant un élément de QQ donc, S={314}S={314}
e) Soit à résoudre l'équation suivante : −2x=−73−2x=−73
Alors :
−2x=−73⇔x=−73−2⇔x=(−73)×(−12)⇔x=73×12⇔x=76−2x=−73⇔x=−73−2⇔x=(−73)×(−12)⇔x=73×12⇔x=76
Or, 76∈Q 76∈Q donc, S={76}S={76}
f) Soit à résoudre l'équation suivante : 43x=−9843x=−98
On a :
43x=−98⇔x=−9843⇔x=−98×34⇔x=−273243x=−98⇔x=−9843⇔x=−98×34⇔x=−2732
Comme, −2732∈Q −2732∈Q alors, S={−2732}S={−2732}
Exercice 4 "Équation de la forme ax+b=cax+b=c"
Résolvons dans QQ chacune des équations suivantes.
Résoudre dans QQ une équation de la forme ax+b=cax+b=c revient à déterminer les valeurs de xx telles que :
x=c−bax=c−ba
Si c−ba∈Qc−ba∈Q alors, l'ensemble des solutions (S)(S) sera donnée par :
S={c−ba}S={c−ba}
a) Soit à résoudre l'équation suivante : −2x−1=5−2x−1=5
On a :
−2x−1=5⇔−2x=5+1⇔−2x=6⇔x=6−2⇔x=−3−2x−1=5⇔−2x=5+1⇔−2x=6⇔x=6−2⇔x=−3
Or, on sait que −3∈Q −3∈Q donc, S={−3}S={−3}
b) Soit à résoudre l'équation suivante : −4x+2=5−4x+2=5
Alors on a :
−4x+2=5⇔−4x=5−2⇔−4x=3⇔x=3−4⇔x=−34−4x+2=5⇔−4x=5−2⇔−4x=3⇔x=3−4⇔x=−34
Comme −34∈Q −34∈Q donc, S={−34}S={−34}
c) Soit à résoudre l'équation suivante :−6x−1=−7−6x−1=−7
On a :
−6x−1=−7⇔−6x=−7+1⇔−6x=−6⇔x=−6−6⇔x=1−6x−1=−7⇔−6x=−7+1⇔−6x=−6⇔x=−6−6⇔x=1
Comme, 1∈Q 1∈Q alors, S={1}S={1}
d) Soit à résoudre l'équation suivante : −34x−1=2−34x−1=2
On a :
−34x−1=2⇔−34x=2+1⇔−34x=3⇔x=3−34⇔x=3×(−43)⇔x=3×(−4)3⇔x=−4−34x−1=2⇔−34x=2+1⇔−34x=3⇔x=3−34⇔x=3×(−43)⇔x=3×(−4)3⇔x=−4
Or, −4∈Q −4∈Q donc, S={−4}S={−4}
e) Soit à résoudre l'équation suivante : 65x−13=365x−13=3
On a :
65x−13=3⇔65x=3+13⇔65x=93+13⇔65x=103⇔x=10365⇔x=103×56⇔x=10×53×6⇔x=501865x−13=3⇔65x=3+13⇔65x=93+13⇔65x=103⇔x=10365⇔x=103×56⇔x=10×53×6⇔x=5018
Comme 5018∈Q 5018∈Q alors, S={5018}S={5018}
f) Soit à résoudre l'équation suivante : −2x+14=13−2x+14=13
On a :
−2x+14=13⇔−2x=13−14⇔−2x=412−312⇔−2x=4−312⇔−2x=112⇔x=112−2⇔x=112×1−2⇔x=1×112×(−2)⇔x=1−24⇔x=−124−2x+14=13⇔−2x=13−14⇔−2x=412−312⇔−2x=4−312⇔−2x=112⇔x=112−2⇔x=112×1−2⇔x=1×112×(−2)⇔x=1−24⇔x=−124
Comme −124∈Q −124∈Q alors, S={−124}S={−124}
Exercice 5 "Équation de la forme ax+b=cx+dax+b=cx+d"
Pour résoudre dans QQ une équation de la forme ax+b=cx+dax+b=cx+d, on regroupe les termes en xx dans un membre et les autres termes dans l'autre membre.
De plus, chaque terme qui change de membre change de signe.
Résolvons dans QQ chacune des équations suivantes.
a) Soit à résoudre l'équation suivante : 2x+3=4x+52x+3=4x+5
En regroupant les termes en xx dans le membre de gauche et les autres termes dans le membre de droite, on obtient :
2x+3=4x+5⇔2x−4x=5−3⇔−2x=2⇔x=2−2⇔x=−12x+3=4x+5⇔2x−4x=5−3⇔−2x=2⇔x=2−2⇔x=−1
−1−1 étant un élément de Q Q alors, S={−1}S={−1}
b) Soit à résoudre l'équation suivante : 2x−3=−4x+52x−3=−4x+5
On a :
2x−3=−4x+5⇔2x+4x=5+3⇔6x=8⇔x=862x−3=−4x+5⇔2x+4x=5+3⇔6x=8⇔x=86
Comme 8686 appartient à Q Q alors, S={86}S={86}
c) Soit à résoudre l'équation suivante : −2x+3.5=4x−5−2x+3.5=4x−5
Alors, on a :
−2x+3.5=4x−5⇔−2x−4x=−5−3.5⇔−6x=−8.5⇔x=−8.5−6⇔x=8.56−2x+3.5=4x−5⇔−2x−4x=−5−3.5⇔−6x=−8.5⇔x=−8.5−6⇔x=8.56
Or, on sait que : 8.56=8.5×106×10=85608.56=8.5×106×10=8560
De plus, 8560∈Q 8560∈Q donc, S={8560}S={8560}
d) Soit à résoudre l'équation suivante : −2x−3=−4x+5−2x−3=−4x+5
On a :
−2x−3=−4x+5⇔−2x+4x=5+3⇔2x=8⇔x=82⇔x=4−2x−3=−4x+5⇔−2x+4x=5+3⇔2x=8⇔x=82⇔x=4
Comme, 4∈Q 4∈Q alors, S={4}S={4}
e) Soit à résoudre l'équation suivante : 3−4x+3=5−6x3−4x+3=5−6x
Alors, on a :
3−4x+3=5−6x⇔−4x+6x=5−3−3⇔2x=−1⇔x=−123−4x+3=5−6x⇔−4x+6x=5−3−3⇔2x=−1⇔x=−12
Comme, −12∈Q −12∈Q alors, S={−12}S={−12}
f) Soit à résoudre l'équation suivante : −3−4x=−1.5−7x−3−4x=−1.5−7x
Alors, on a :
−3−4x=−1.5−7x⇔−4x+7x=−1.5+3⇔3x=1.5⇔x=1.53⇔x=0.5−3−4x=−1.5−7x⇔−4x+7x=−1.5+3⇔3x=1.5⇔x=1.53⇔x=0.5
Or, 0.50.5 est un élément de Q Q donc, S={0.5}S={0.5}
g) Soit à résoudre l'équation suivante : 3x−4=8.33x−4=8.3Alors, on a :
3x−4=8.3⇔3x=8.3+4⇔3x=12.3⇔x=12.33⇔x=4.13x−4=8.3⇔3x=8.3+4⇔3x=12.3⇔x=12.33⇔x=4.1
Comme 4.14.1 est un élément de Q Q alors, S={4.1}S={4.1}
h) Soit à résoudre l'équation suivante : −5x+7=6−5x+7=6
On a :
−5x+7=6⇔−5x=6−7⇔−5x=−1⇔x=−1−5⇔x=15−5x+7=6⇔−5x=6−7⇔−5x=−1⇔x=−1−5⇔x=15
Comme 15∈Q 15∈Q alors, S={15}S={15}
i) Soit à résoudre l'équation suivante : 2x−2=2x2x−2=2x
Alors, on a :
2x−2=2x⇔2x−2x=2⇔0x=22x−2=2x⇔2x−2x=2⇔0x=2
On sait qu'il n'existe aucun nombre rationnel xx vérifiant : 0×x=20×x=2
Par conséquent, S=∅S=∅
Exercice 6
Résolvons dans QQ chacune des équations suivantes.
a) 4(1−3x)=−3(2−x)4(1−3x)=−3(2−x)
On commence par développer et ensuite on applique les mêmes règles que dans les exercices précédents.
Ainsi, on a :
4(1−3x)=−3(2−x)⇔4×1−4×(3x)=−3×2−3×(−x)⇔4−12x=−6+3x⇔−12x−3x=−6−4⇔−15x=−10⇔x=−10−15⇔x=10154(1−3x)=−3(2−x)⇔4×1−4×(3x)=−3×2−3×(−x)⇔4−12x=−6+3x⇔−12x−3x=−6−4⇔−15x=−10⇔x=−10−15⇔x=1015
Comme 1015∈Q 1015∈Q alors, S={1015}S={1015}
b) (3x−1)−(x−1)=3x−5(3x−1)−(x−1)=3x−5
En développant puis en appliquant les mêmes règles que dans les exercices précédents, on obtient :
(3x−1)−(x−1)=3x−5⇔3x−1−x+1=3x−5⇔3x−x−3x=−5+1−1⇔−x=−5⇔x=−5−1⇔x=5(3x−1)−(x−1)=3x−5⇔3x−1−x+1=3x−5⇔3x−x−3x=−5+1−1⇔−x=−5⇔x=−5−1⇔x=5
55 étant un élément de Q Q donc, S={5}S={5}
c) 6(2x−1)−2(−2x+3)=06(2x−1)−2(−2x+3)=0
En développant puis en appliquant les mêmes règles que dans les exercices précédents, on obtient :
6(2x−1)−2(−2x+3)=0⇔6×2x−6×1−2×(−2x)−2×3=0⇔12x−6+4x−6=0⇔16x−12=0⇔16x=12⇔x=12166(2x−1)−2(−2x+3)=0⇔6×2x−6×1−2×(−2x)−2×3=0⇔12x−6+4x−6=0⇔16x−12=0⇔16x=12⇔x=1216
Or, 12161216 est un élément de Q Q donc, S={1216}S={1216}
d) 2(x−1)−3(−4x+7)=02(x−1)−3(−4x+7)=0
On commence par développer puis on applique les mêmes règles que dans les exercices précédents.
2(x−1)−3(−4x+7)=0⇔2×x−2×1−3×(−4x)−3×7=0⇔2x−2+12x−21=0⇔14x−23=0⇔14x=23⇔x=23142(x−1)−3(−4x+7)=0⇔2×x−2×1−3×(−4x)−3×7=0⇔2x−2+12x−21=0⇔14x−23=0⇔14x=23⇔x=2314
Comme 23142314 est un élément de Q Q alors, S={2314}S={2314}
e) −2(1−3x)=−3(2−x)−2(1−3x)=−3(2−x)
On commence par développer puis on applique les mêmes règles que dans les exercices précédents.
−2(1−3x)=−3(2−x)⇔−2×1−2×(−3x)=−3×2−3×(−x)⇔−2+6x=−6+3x⇔6x−3x=−6+2⇔3x=−4⇔x=−43−2(1−3x)=−3(2−x)⇔−2×1−2×(−3x)=−3×2−3×(−x)⇔−2+6x=−6+3x⇔6x−3x=−6+2⇔3x=−4⇔x=−43
Comme −43−43 est un élément de Q Q alors, S={−43}S={−43}
f) −3(1−3x)=2(2−x)+5−3(1−3x)=2(2−x)+5
En développant puis en appliquant les mêmes règles que dans les exercices précédents, on obtient :
−3(1−3x)=2(2−x)+5⇔−3×1−3×(−3x)=2×2+2×(−x)+5⇔−3+9x=4−2x+5⇔9x+2x=4+5+3⇔11x=12⇔x=1211−3(1−3x)=2(2−x)+5⇔−3×1−3×(−3x)=2×2+2×(−x)+5⇔−3+9x=4−2x+5⇔9x+2x=4+5+3⇔11x=12⇔x=1211
Or, 12111211 est un élément de Q Q donc, S={1211}S={1211}
g) 3x−6(3−4x)=9x−23x−6(3−4x)=9x−2
En développant puis en appliquant les mêmes règles que dans les exercices précédents, on obtient :
3x−6(3−4x)=9x−2⇔3x−6×3−6×(−4x)=9x−2⇔3x−18+24x=9x−2⇔3x+24x−9x=−2+18⇔18x=16⇔x=16183x−6(3−4x)=9x−2⇔3x−6×3−6×(−4x)=9x−2⇔3x−18+24x=9x−2⇔3x+24x−9x=−2+18⇔18x=16⇔x=1618
Comme 16181618 est un élément de Q Q alors, S={1618}S={1618}
h) Soit à résoudre l'équation suivante : 3x−2(x2−1)=−2x2−23x−2(x2−1)=−2x2−2
Alors, on a :
3x−2(x2−1)=−2x2−2⇔3x−2×(x2)−2×(−1)=−2x2−2⇔3x−2x2+2=−2x2−2⇔3x−2x2+2x2=−2−2⇔3x=−4⇔x=−433x−2(x2−1)=−2x2−2⇔3x−2×(x2)−2×(−1)=−2x2−2⇔3x−2x2+2=−2x2−2⇔3x−2x2+2x2=−2−2⇔3x=−4⇔x=−43
Comme −43−43 est un élément de Q Q alors, S={−43}S={−43}
3) Résolvons dans QQ chacune des équations suivantes.
a) Soit à résoudre l'équation suivante : −87x+2=1−87x+2=1
Alors, on a :
−87x+2=1⇔−87x=1−2⇔−87x=−1⇔x=−1−87⇔x=(−1)×(−78)⇔x=78−87x+2=1⇔−87x=1−2⇔−87x=−1⇔x=−1−87⇔x=(−1)×(−78)⇔x=78
Comme 7878 est un élément de Q Q alors, S={78}S={78}
b) Soit à résoudre l'équation suivante : 87x−8=1−x87x−8=1−x
On a :
87x−8=1−x⇔87x+x=1+8⇔87x+77x=9⇔157x=9⇔x=9157⇔x=9×715⇔x=631587x−8=1−x⇔87x+x=1+8⇔87x+77x=9⇔157x=9⇔x=9157⇔x=9×715⇔x=6315
63156315 étant un élément de Q Q alors, S={6315}S={6315}
c) Soit à résoudre l'équation suivante : 34x−2x=−3+x34x−2x=−3+x
Alors, on a :
34x−2x=−3+x⇔34x−2x−x=−3⇔34x−84x−14x=−3⇔−64x=−3⇔x=−3−64⇔x=(−3)×(−46)⇔x=126⇔x=234x−2x=−3+x⇔34x−2x−x=−3⇔34x−84x−14x=−3⇔−64x=−3⇔x=−3−64⇔x=(−3)×(−46)⇔x=126⇔x=2
Comme 2∈Q 2∈Q alors, S={2}S={2}
d) Soit à résoudre l'équation suivante : 23(5x−1)=34(x−3)23(5x−1)=34(x−3)
En développant puis en regroupant les termes en xx dans le membre de gauche et les autres termes dans le membre de droite, on obtient :
23(5x−1)=34(x−3)⇔23×(5x)−23×1=34×x−34×3⇔103x−23=34x−94⇔103x−34x=−94+23⇔4012x−912x=−2712+812⇔3112x=−1912⇔x=−19123112⇔x=−1912×1231⇔x=−193123(5x−1)=34(x−3)⇔23×(5x)−23×1=34×x−34×3⇔103x−23=34x−94⇔103x−34x=−94+23⇔4012x−912x=−2712+812⇔3112x=−1912⇔x=−19123112⇔x=−1912×1231⇔x=−1931
Comme −1931∈Q −1931∈Q alors, S={−1931}S={−1931}
Exercice 7 "Équation produit"
1) Résolvons dans QQ chacune des équations suivantes.
Rappel : un produit de facteurs est nul si au moins l'un des facteurs est nul. Ainsi :
(ax+b)(cx+d)=0 ⇔ ax+b=0 ou cx+d=0(ax+b)(cx+d)=0 ⇔ ax+b=0 ou cx+d=0
a) Soit à résoudre l'équation suivante : (x−4)(x+5)=0(x−4)(x+5)=0
Alors, on a :
(x−4)(x+5)=0⇔x−4=0 ou x+5=0⇔x=4 ou x=−5(x−4)(x+5)=0⇔x−4=0 ou x+5=0⇔x=4 ou x=−5
Comme 4 4 et −5 −5 sont des éléments de Q Q alors, S={4; −5}S={4; −5}
b) Soit à résoudre l'équation suivante : (x+53)(x−34)=0(x+53)(x−34)=0
On a :
(x+53)(x−34)=0⇔x+53=0 ou x−34=0⇔x=−53 ou x=34(x+53)(x−34)=0⇔x+53=0 ou x−34=0⇔x=−53 ou x=34
Comme −53 −53 et 34 34 sont des éléments de Q Q alors, S={−53; 34}S={−53; 34}
c) Soit à résoudre l'équation suivante : (2x−1)(3x+4)=0(2x−1)(3x+4)=0
Alors, on a :
(2x−1)(3x+4)=0⇔2x−1=0 ou 3x+4=0⇔2x=1 ou 3x=−4⇔x=12 ou x=−43(2x−1)(3x+4)=0⇔2x−1=0 ou 3x+4=0⇔2x=1 ou 3x=−4⇔x=12 ou x=−43
Comme 12 12 et −43 −43 sont des éléments de Q Q alors, S={12; −43}S={12; −43}
d) Soit à résoudre l'équation suivante : (3x−34)(2x−13)=0(3x−34)(2x−13)=0
On a :
(3x−34)(2x−13)=0⇔3x−34=0 ou 2x−13=0⇔3x=34 ou 2x=13⇔x=343 ou x=132⇔x=34×13 ou x=13×12⇔x=14 ou x=16(3x−34)(2x−13)=0⇔3x−34=0 ou 2x−13=0⇔3x=34 ou 2x=13⇔x=343 ou x=132⇔x=34×13 ou x=13×12⇔x=14 ou x=16
Comme 14 14 et 16 16 sont des éléments de Q Q alors, S={14; 16}S={14; 16}
2) Résolvons dans QQ chacune des équations suivantes.
On utilise la forme factorisée des identités remarquables.
a) Soit à résoudre l'équation suivante : x2−6x+9=0x2−6x+9=0
En factorisant l'expression x2−6x+9x2−6x+9, on obtient :
x2−6x+9=(x−3)2=(x−3)(x−3)x2−6x+9=(x−3)2=(x−3)(x−3)
Par suite,
x2−6x+9=0⇔(x−3)(x−3)=0⇔x−3=0 ou x−3=0⇔x=3 ou x=3x2−6x+9=0⇔(x−3)(x−3)=0⇔x−3=0 ou x−3=0⇔x=3 ou x=3
Or, 3∈Q 3∈Q donc, S={3}S={3}
b) Soit à résoudre l'équation suivante : 49x2−1=049x2−1=0
En factorisant l'expression 49x2−149x2−1, on obtient :
49x2−1=(7x−1)(7x+1)49x2−1=(7x−1)(7x+1)
Ainsi,
49x2−1=0⇔(7x−1)(7x+1)=0⇔7x−1=0 ou 7x+1=0⇔7x=1 ou 7x=−1⇔x=17 ou x=−1749x2−1=0⇔(7x−1)(7x+1)=0⇔7x−1=0 ou 7x+1=0⇔7x=1 ou 7x=−1⇔x=17 ou x=−17
Comme 17 17 et −17 −17 appartiennent à Q Q alors, S={17; −17}S={17; −17}
c) Soit à résoudre l'équation suivante : 4x2+12x+9=04x2+12x+9=0
En factorisant l'expression 4x2+12x+94x2+12x+9, on obtient :
4x2+12x+9=(2x+3)2=(2x+3)(2x+3)4x2+12x+9=(2x+3)2=(2x+3)(2x+3)
Donc,
4x2+12x+9=0⇔(2x+3)(2x+3)=0⇔2x+3=0 ou 2x+3=0⇔2x=−3 ou 2x=−3⇔x=−32 ou x=−324x2+12x+9=0⇔(2x+3)(2x+3)=0⇔2x+3=0 ou 2x+3=0⇔2x=−3 ou 2x=−3⇔x=−32 ou x=−32
Comme −32∈Q −32∈Q alors, S={−32}S={−32}
d) Soit à résoudre l'équation suivante : 36x2−1=036x2−1=0
En factorisant l'expression 36x2−136x2−1, on obtient :
36x2−1=(6x−1)(6x+1)36x2−1=(6x−1)(6x+1)
Par suite,
36x2−1=0⇔(6x−1)(6x+1)=0⇔6x−1=0 ou 6x+1=0⇔6x=1 ou 6x=−1⇔x=16 ou x=−1636x2−1=0⇔(6x−1)(6x+1)=0⇔6x−1=0 ou 6x+1=0⇔6x=1 ou 6x=−1⇔x=16 ou x=−16
Comme 16 16 et −16 −16 sont des éléments de Q Q alors, S={16; −16}S={16; −16}
e) Soit à résoudre l'équation suivante : x2−1=0x2−1=0
En factorisant l'expression x2−1x2−1, on obtient :
x2−1=(x−1)(x+1)x2−1=(x−1)(x+1)
Ainsi,
x2−1=0⇔(x−1)(x+1)=0⇔x−1=0 ou x+1=0⇔x=1 ou x=−1x2−1=0⇔(x−1)(x+1)=0⇔x−1=0 ou x+1=0⇔x=1 ou x=−1
Comme 1 1 et −1 −1 sont des éléments de Q Q alors, S={1; −1}S={1; −1}
f) Soit à résoudre l'équation suivante : 4x2−49=04x2−49=0
En factorisant l'expression 4x2−494x2−49, on obtient :
4x2−49=(2x−7)(2x+7)4x2−49=(2x−7)(2x+7)
Ainsi,
4x2−49=0⇔(2x−7)(2x+7)=0⇔2x−7=0 ou 2x+7=0⇔2x=7 ou 2x=−7⇔x=72 ou x=−724x2−49=0⇔(2x−7)(2x+7)=0⇔2x−7=0 ou 2x+7=0⇔2x=7 ou 2x=−7⇔x=72 ou x=−72
Comme 72 72 et −72 −72 appartiennent à Q Q alors, S={72; −72}S={72; −72}
3) Résolvons dans QQ chacune des équations suivantes.
a) Soit à résoudre l'équation suivante : (2x−1)(4x−3)−(2x−1)(6x−1)=0(2x−1)(4x−3)−(2x−1)(6x−1)=0
On factorise d'abord l'expression (2x−1)(4x−3)−(2x−1)(6x−1)(2x−1)(4x−3)−(2x−1)(6x−1)
Ainsi, en mettant en évidence le facteur (2x−1)(2x−1), on obtient :
(2x−1)(4x−3)−(2x−1)(6x−1)=(2x−1)[(4x−3)−(6x−1)]=(2x−1)(4x−3−6x+1)=(2x−1)(−2x−2)(2x−1)(4x−3)−(2x−1)(6x−1)=(2x−1)[(4x−3)−(6x−1)]=(2x−1)(4x−3−6x+1)=(2x−1)(−2x−2)
Donc,
(2x−1)(4x−3)−(2x−1)(6x−1)=(2x−1)(−2x−2)(2x−1)(4x−3)−(2x−1)(6x−1)=(2x−1)(−2x−2)
Par suite, en utilisant cette forme factorisée, on obtient :
(2x−1)(4x−3)−(2x−1)(6x−1)=0⇔(2x−1)(−2x−2)=0⇔2x−1=0 ou −2x−2=0⇔2x=1 ou −2x=2⇔x=12 ou x=2−2⇔x=12 ou x=−1(2x−1)(4x−3)−(2x−1)(6x−1)=0⇔(2x−1)(−2x−2)=0⇔2x−1=0 ou −2x−2=0⇔2x=1 ou −2x=2⇔x=12 ou x=2−2⇔x=12 ou x=−1
Comme 12 12 et −1 −1 appartiennent à Q Q alors, S={12; −1}S={12; −1}
b) Soit à résoudre l'équation suivante : 4x2−1+(2x−1)(4x−5)=04x2−1+(2x−1)(4x−5)=0
En factorisant l'expression 4x2−1+(2x−1)(4x−5)4x2−1+(2x−1)(4x−5), on obtient :
4x2−1+(2x−1)(4x−5)=(2x−1)(2x+1)+(2x−1)(4x−5)=(2x−1)[(2x+1)+(4x−5)]=(2x−1)(2x+1+4x−5)=(2x−1)(6x−4)4x2−1+(2x−1)(4x−5)=(2x−1)(2x+1)+(2x−1)(4x−5)=(2x−1)[(2x+1)+(4x−5)]=(2x−1)(2x+1+4x−5)=(2x−1)(6x−4)
Ainsi,
4x2−1+(2x−1)(4x−5)=(2x−1)(6x−4)4x2−1+(2x−1)(4x−5)=(2x−1)(6x−4)
Par suite, en utilisant cette forme factorisée, on obtient :
4x2−1+(2x−1)(4x−5)=0⇔(2x−1)(6x−4)=0⇔2x−1=0 ou 6x−4=0⇔2x=1 ou 6x=4⇔x=12 ou x=46⇔x=12 ou x=234x2−1+(2x−1)(4x−5)=0⇔(2x−1)(6x−4)=0⇔2x−1=0 ou 6x−4=0⇔2x=1 ou 6x=4⇔x=12 ou x=46⇔x=12 ou x=23
Comme 12 12 et 23 23 appartiennent à Q Q alors, S={12; 23}S={12; 23}
c) Soit à résoudre l'équation suivante : (3x−1)2−(x−3)2=0(3x−1)2−(x−3)2=0
En factorisant l'expression (3x−1)2−(x−3)2(3x−1)2−(x−3)2, on obtient :
(3x−1)2−(x−3)2=[(3x−1)−(x−3)][(3x−1)+(x−3)]=(3x−1−x+3)(3x−1+x−3)=(2x+2)(4x−4)(3x−1)2−(x−3)2=[(3x−1)−(x−3)][(3x−1)+(x−3)]=(3x−1−x+3)(3x−1+x−3)=(2x+2)(4x−4)
Donc,
(3x−1)2−(x−3)2=(2x+2)(4x−4)(3x−1)2−(x−3)2=(2x+2)(4x−4)
Par suite, en utilisant cette forme factorisée, on obtient :
(3x−1)2−(x−3)2=0⇔(2x+2)(4x−4)=0⇔2x+2=0 ou 4x−4=0⇔2x=−2 ou 4x=4⇔x=−22 ou x=44⇔x=−1 ou x=1(3x−1)2−(x−3)2=0⇔(2x+2)(4x−4)=0⇔2x+2=0 ou 4x−4=0⇔2x=−2 ou 4x=4⇔x=−22 ou x=44⇔x=−1 ou x=1
Comme −1 −1 et 1 1 appartiennent à Q Q alors, S={−1; 1}S={−1; 1}
Exercice 8 "Équation de la forme ax+bk=cx+dk′ax+bk=cx+dk′"
Résolvons dans QQ chacune des équations suivantes
En effet, résoudre les équations de la forme ax+bk=cx+dk′ax+bk=cx+dk′ revient à faire : produit des extrêmes k′×(ax+b)k′×(ax+b) de cette égalité de quotients égal au produit de moyens k×(cx+d)k×(cx+d)
Ainsi, pour résoudre une équation de la forme ax+bk=cx+dk′ax+bk=cx+dk′, il suffit de résoudre l'équation k′×(ax+b)=k×(cx+d) :k′×(ax+b)=k×(cx+d) :
ax+bk=cx+dk′ ⇔ k′×(ax+b)=k×(cx+d)ax+bk=cx+dk′ ⇔ k′×(ax+b)=k×(cx+d)
a) Soit à résoudre l'équation suivante : x+12=2x−13x+12=2x−13
Alors, on a :
x+12=2x−13⇔3(x+1)=2(2x−1)⇔3×x+3×1=2×(2x)−2×1⇔3x+3=4x−2⇔3x−4x=−2−3⇔−x=−5⇔x=−5−1⇔x=5x+12=2x−13⇔3(x+1)=2(2x−1)⇔3×x+3×1=2×(2x)−2×1⇔3x+3=4x−2⇔3x−4x=−2−3⇔−x=−5⇔x=−5−1⇔x=5
Comme 5∈Q 5∈Q alors, S={5}S={5}
b) Soit à résoudre l'équation suivante : x−13=7x−25x−13=7x−25
x−13=7x−25⇔5(x−1)=3(7x−2)⇔5×x−5×1=3×(7x)−3×2⇔5x−5=21x−6⇔5x−21x=−6+5⇔−16x=−1⇔x=−1−16⇔x=116x−13=7x−25⇔5(x−1)=3(7x−2)⇔5×x−5×1=3×(7x)−3×2⇔5x−5=21x−6⇔5x−21x=−6+5⇔−16x=−1⇔x=−1−16⇔x=116
Comme 116∈Q 116∈Q alors, S={116}S={116}
c) Soit à résoudre l'équation suivante : 4x−53+7x−22=04x−53+7x−22=0
On peut commencer par changer de membre l'un des quotient en changeant son signe.
On obtient alors :
4x−53+7x−22=0 ⇔ 4x−53=−7x−224x−53+7x−22=0 ⇔ 4x−53=−7x−22
Donc, résoudre l'équation 4x−53+7x−22=04x−53+7x−22=0 revient à résoudre l'équation suivante : 4x−53=−7x−224x−53=−7x−22
Ainsi, on a :
4x−53+7x−22=0⇔4x−53=−7x−22⇔2(4x−5)=3[−(7x−2)]⇔2(4x−5)=3(−7x+2)⇔2×(4x)−2×5=3×(−7x)+3×2⇔8x−10=−21x+6⇔8x+21x=6+10⇔29x=16⇔x=16294x−53+7x−22=0⇔4x−53=−7x−22⇔2(4x−5)=3[−(7x−2)]⇔2(4x−5)=3(−7x+2)⇔2×(4x)−2×5=3×(−7x)+3×2⇔8x−10=−21x+6⇔8x+21x=6+10⇔29x=16⇔x=1629
Or, 1629∈Q 1629∈Q donc, S={1629}S={1629}
d) Soit à résoudre l'équation suivante : 6x−14=−5x−136x−14=−5x−13
On a :
6x−14=−5x−13⇔3(6x−1)=4[−(5x−1)]⇔3(6x−1)=4(−5x+1)⇔3×(6x)−3×1=4×(−5x)+4×1⇔18x−3=−20x+4⇔18x+20x=4+3⇔38x=7⇔x=7386x−14=−5x−13⇔3(6x−1)=4[−(5x−1)]⇔3(6x−1)=4(−5x+1)⇔3×(6x)−3×1=4×(−5x)+4×1⇔18x−3=−20x+4⇔18x+20x=4+3⇔38x=7⇔x=738
Comme 738∈Q 738∈Q donc, S={738}S={738}
Exercice 9
Ndeuss a 1515 ans ; sa petite sœur Coumba a 66 ans.
Déterminons le nombre d'années pour lequel l'âge de Neuss sera le double de sa sœur Coumba.
Soit xx le nombre d'années pour lequel l'âge de Neuss sera le double de sa sœur Coumba.
Alors, pour ce nombre xx d'années :
Ndeuss aura 15+x15+x ans
Coumba aura 6+x6+x ans
L'hypothèse suivante ; l'âge de Neuss sera le double de sa sœur Coumba peut se traduire sous forme d'équation par :
15+x=2(6+x)15+x=2(6+x)
En résolvant cette équation, on obtient :
15+x=2(6+x)⇔15+x=2×6+2×x⇔15+x=12+2x⇔x−2x=12−15⇔−x=−3⇔x=−3−1⇔x=315+x=2(6+x)⇔15+x=2×6+2×x⇔15+x=12+2x⇔x−2x=12−15⇔−x=−3⇔x=−3−1⇔x=3
Donc, dans 33 ans l'âge de Neuss sera le double de sa sœur Coumba.
Vérification
On a :
15+3=1815+3=18 donc, dans 33 ans, Neuss aura 1818 ans.
6+3=96+3=9 donc, dans 33 ans, sa sœur Coumba aura 99 ans.
Or, 18=2×918=2×9 donc, l'âge de Neuss est bien le double de celui de sa sœur Coumba.
Exercice 10
Adama, Assane et Abdou se partagent 7979 billes, Assane en a 22 fois plus que Adama et Abdou en a 77 de plus que Adama.
Déterminons la part de Adama, Assane et de Abdou.
Soit xx le nombre de billes dont dispose Adama.
On sait que Assane a 22 fois plus que Adama.
Donc, la part de Assane est égale à : 2x2x
Aussi, Abdou a 77 billes de plus que Adama.
Donc, la part de Abdou est égale à : x+7x+7
Par ailleurs, on sait que somme des parts est égale à 7979 billes.
Ce qui peut se traduire par l'équation suivante :
x+2x+(x+7)=79x+2x+(x+7)=79
En résolvant cette équation, on trouve la valeur de xx qui représente la part de Adama.
Ainsi, on a :
x+2x+(x+7)=79⇔x+2x+x+7=79⇔4x=79−7⇔4x=72⇔x=724⇔x=18x+2x+(x+7)=79⇔x+2x+x+7=79⇔4x=79−7⇔4x=72⇔x=724⇔x=18
Par suite, Adama dispose de 1818 billes
On a :
2×18=362×18=36 donc, Assane dispose de 3636 billes
18+7=2518+7=25 alors, Abdou dispose de 2525 billes
Vérification :
On a : 18+36+25=7918+36+25=79
Ainsi, la somme des parts est bien égale à 7979 billes.
Exercice 11
Traduisons chacune des phrases suivantes par une équation.
1) La somme d'un nombre et de 77 est égale à 5.5.
Soit xx ce nombre, alors on a :
x+7=5x+7=5
2) La différence d'un nombre et de 88 est égale à −3.−3.
Soit xx ce nombre, alors cette phrase se traduit par :
x−8=−3x−8=−3
3) Le produit d'un nombre et de 1010 est égal à 11.11.
Soit xx ce nombre, alors cette phrase se traduit par :
x×10=11x×10=11
4) Le quotient d'un nombre et de 44 est égal à 5.5.
Soit xx ce nombre, alors cette phrase se traduit par :
x4=5x4=5
Exercice 12
1) Imaginons une équation du premier degré à une inconnue ayant pour solution x=3.x=3.
En faisant passer le nombre 33 de la droite vers la gauche en changeant son signe, on obtient :
x−3=0x−3=0
2) Imaginons une équation du premier degré à une inconnue ayant pour solution t=−2.t=−2.
En faisant passer le nombre −2−2 de la droite vers la gauche en changeant son signe, on trouve :
t+2=0t+2=0
Exercice 13
Khoudia dépense le quart de son salaire pour son logement et les deux cinquièmes pour la nourriture.
Il lui reste 227500F227500F pour les autres dépenses.
Calculons son salaire mensuel.
Soit xx le salaire de Khoudia.
Alors :
la dépense pour le logement est égale à : 14x14x
la dépense pour le nourriture est égale à : 25x25x
les autres dépenses sont égales à : 227500F227500F
Or, on sait que la somme de toutes ces dépenses est égale au salaire x.x.
Ce qui se traduit par :
14x+25x+227500=x14x+25x+227500=x
On va résoudre cette équation pour trouver la valeur de xx qui détermine le salaire de Khoudia.
On a :
14x+25x+227500=x⇔14x+25x−x=−227500⇔520x+820x−2020x=−227500⇔−720x=−227500⇔x=−227500−720⇔x=−227500×(−207)⇔x=45500007⇔x=65000014x+25x+227500=x⇔14x+25x−x=−227500⇔520x+820x−2020x=−227500⇔−720x=−227500⇔x=−227500−720⇔x=−227500×(−207)⇔x=45500007⇔x=650000
Donc, Khoudia a un salaire de : 650000F650000F
Par suite,
pour le logement, on a : 6500004=1625006500004=162500 donc, Khoudia dépense 162500F162500F pour son logement.
pour la nourriture, on a : 2×6500005=2600002×6500005=260000 alors, Khoudia dépense 260000F260000F pour la nourriture.
Vérification :
On a : 162500F+260000F+227500F=650000F162500F+260000F+227500F=650000F
Ce qui prouve que la somme de toutes ses dépenses est égale à son salaire.
Exercice 14 Problème
On donne f(x)=4x2−1−(1−2x)(3x+4).f(x)=4x2−1−(1−2x)(3x+4).
1) a) Nous allons développer, réduire et ordonner f(x).f(x).
On a :
f(x)=4x2−1−(1−2x)(3x+4)=4x2−1+(−1+2x)(3x+4)=4x2−1−1×(3x)−1×4+(2x)×(3x)+(2x)×4=4x2−1−3x−4+6x2+8x=4x2+6x2−3x+8x−1−4=10x2+5x−5f(x)=4x2−1−(1−2x)(3x+4)=4x2−1+(−1+2x)(3x+4)=4x2−1−1×(3x)−1×4+(2x)×(3x)+(2x)×4=4x2−1−3x−4+6x2+8x=4x2+6x2−3x+8x−1−4=10x2+5x−5
D'où, f(x)=10x2+5x−5f(x)=10x2+5x−5
b) Calculons f(0).f(0).
Considérons la forme développée de f(x)f(x) et remplaçons xx par 0.0.
Soit : f(x)=10x2+5x−5f(x)=10x2+5x−5
Alors,
f(0)=10×(0)2+5×0−5=−5f(0)=10×(0)2+5×0−5=−5
Ainsi, f(0)=−5f(0)=−5
2) a) Factorisons f(x).f(x).
Soit : f(x)=4x2−1−(1−2x)(3x+4)f(x)=4x2−1−(1−2x)(3x+4)
Dans l'expression de f(x)f(x) on peut identifier deux parties 4x2−1 4x2−1 et −(1−2x)(3x+4). −(1−2x)(3x+4).
Or, en utilisant la propriété des identités remarquables a2−b2=(a−b)(a+b)a2−b2=(a−b)(a+b), on peut écrire :
4x2−1=(2x−1)(2x+1)4x2−1=(2x−1)(2x+1)
De plus, en appliquant la règle sur le signe (−)(−) devant une parenthèse, on obtient :
−(1−2x)(3x+4)=(−1+2x)(3x+4)=(2x−1)(3x+4)−(1−2x)(3x+4)=(−1+2x)(3x+4)=(2x−1)(3x+4)
Finalement, en remplaçant les expressions de 4x2−1 4x2−1 et −(1−2x)(3x+4) −(1−2x)(3x+4) dans celle de f(x)f(x), on obtient :
f(x)=(2x−1)(2x+1)+(2x−1)(3x+4)f(x)=(2x−1)(2x+1)+(2x−1)(3x+4)
En mettant en évidence le facteur commun (2x−1)(2x−1), on obtient :
f(x)=(2x−1)(2x+1)+(2x−1)(3x+4)=(2x−1)[(2x+1)+(3x+4)]=(2x−1)(2x+1+3x+4)=(2x−1)(5x+5)f(x)=(2x−1)(2x+1)+(2x−1)(3x+4)=(2x−1)[(2x+1)+(3x+4)]=(2x−1)(2x+1+3x+4)=(2x−1)(5x+5)
D'où, f(x)=(2x−1)(5x+5)f(x)=(2x−1)(5x+5)
b) Résolvons dans QQ l'équation f(x)=0f(x)=0
Comme le second membre de cette équation est égal à 00 alors, nous allons utiliser la forme factorisée de f(x)f(x) pour résoudre l'équation f(x)=0.f(x)=0.
On a :
f(x)=0⇔(2x−1)(5x+5)=0⇔2x−1=0 ou 5x+5=0⇔2x=1 ou 5x=−5⇔x=12 ou x=−55⇔x=12 ou x=−1f(x)=0⇔(2x−1)(5x+5)=0⇔2x−1=0 ou 5x+5=0⇔2x=1 ou 5x=−5⇔x=12 ou x=−55⇔x=12 ou x=−1
Comme −1 et 12 appartiennent à Q alors,
S={−1; 12}
Exercice 15 Problème
On considère les expressions suivantes :
f(x)=(5x−2)2−(2x+3)2;g(x)=(3x−5)(2x−1)+9x2−30x+25.
1) Nous allons développer, réduire et ordonner f(x) et g(x).
On a :
f(x)=(5x−2)2−(2x+3)2=(5x)2−2×2×(5x)+22−[(2x)2+2×3×(2x)+32]=25x2−20x+4−(4x2+12x+9)=25x2−20x+4−4x2−12x−9=25x2−4x2−20x−12x+4−9=21x2−32x−5
D'où, f(x)=21x2−32x−5
On a :
g(x)=(3x−5)(2x−1)+9x2−30x+25=(3x)×(2x)+(3x)×(−1)−5×(2x)−5×(−1)+9x2−30x+25=6x2−3x−10x+5+9x2−30x+25=6x2+9x2−3x−10x−30x+5+25=15x2−43x+30
Ainsi, g(x)=15x2−43x+30
2) Factorisons f(x) et g(x) en déduisons le facteur commun de f(x) et g(x).
Soit f(x)=(5x−2)2−(2x+3)2 alors, f(x) est de la forme a2−b2.
Donc, en appliquant la propriété des identités remarquables, on obtient :
f(x)=(5x−2)2−(2x+3)2=[(5x−2)−(2x+3)][(5x−2)+(2x+3)]=(5x−2−2x−3)(5x−2+2x+3)=(5x−2x−2−3)(5x+2x−2+3)=(3x−5)(7x+1)
Par suite, f(x)=(3x−5)(7x+1)
Soit g(x)=(3x−5)(2x−1)+9x2−30x+25
Alors, on factorise d'abord la partie 9x2−30x+25 en utilisant la propriété des identités remarquables.
Ce qui donne :
9x2−30x+25=(3x−5)2
En remplaçant dans l'expression de g(x), on obtient :
g(x)=(3x−5)(2x−1)+(3x−5)2
On reconnait alors un facteur commun ; (3x−5)
Par suite,
g(x)=(3x−5)(2x−1)+(3x−5)2=(3x−5)[(2x−1)+(3x−5)]=(3x−5)(2x−1+3x−5)=(3x−5)(2x+3x−1−5)=(3x−5)(5x−6)
D'où, g(x)=(3x−5)(5x−6)
On a : f(x)=(3x−5)(7x+1) et g(x)=(3x−5)(5x−6)
Donc, le facteur commun de f(x) et g(x) est :
(3x−5)
3) Résolvons dans Q les équations suivantes : f(x)=0 et g(x)=0.
Comme le second membre de ces équations est égal à 0 alors, nous allons considérer les formes factorisées de f(x) et de g(x) pour résoudre les équations f(x)=0 et g(x)=0.
Soit f(x)=(3x−5)(7x+1) alors, on a :
f(x)=0⇔(3x−5)(7x+1)⇔3x−5=0 ou 7x+1=0⇔3x=5 ou 7x=−1⇔x=53 ou x=−17
Comme −17 et 53 appartiennent à Q alors,
S={−17; 53}
Soit g(x)=(3x−5)(5x−6) alors, on a :
g(x)=0⇔(3x−5)(5x−6)⇔3x−5=0 ou 5x−6=0⇔3x=5 ou 5x=6⇔x=53 ou x=65
Comme 53 et 65 appartiennent à Q alors,
S={53; 65}
4) Résolvons dans Q les équations suivantes : f(x)=21x2 et g(x)=15x2.
Comme le second membre de ces équations est différent de 0 alors, nous allons utiliser les formes développées de f(x) et de g(x) pour résoudre les équations f(x)=21x2 et g(x)=15x2.
Soit f(x)=21x2−32x−5 alors, on a :
f(x)=21x2⇔21x2−32x−5=21x2⇔21x2−32x−21x2=5⇔21x2−21x2−32x=5⇔−32x=5⇔x=5−32
Or, 5−32∈Q donc,
S={5−32}
Soit g(x)=15x2−43x+30 alors, on a :
g(x)=15x2⇔15x2−43x+30=15x2⇔15x2−43x−15x2=−30⇔15x2−15x2−43x=−30⇔−43x=−30⇔x=−30−43⇔x=3043
Comme 3043∈Q alors,
S={3043}
Exercice 16 Problème et Identités remarquables
On considère les expressions suivantes.
A(x)=(2x−1)2+2(2x−1)(7x−1)+(7x−1)2.
B(x)=(x−1)2−2(x−1)(3x−1)+(3x−1)2.
C(x)=x2+2x(8x−1)+(8x−1)2.
1) Développons, réduisons et ordonnons les expressions suivantes : A(x); B(x) et C(x).
On a :
A(x)=(2x−1)2+2(2x−1)(7x−1)+(7x−1)2=4x2−4x+1+2(14x2−2x−7x+1)+49x2−14x+1=4x2−4x+1+28x2−4x−14x+2+49x2−14x+1=4x2+28x2+49x2−4x−4x−14x−14x+1+2+1=81x2−36x+4
D'où, A(x)=81x2−36x+4
On a :
B(x)=(x−1)2−2(x−1)(3x−1)+(3x−1)2=x2−2x+1−2(3x2−x−3x+1)+9x2−6x+1=x2−2x+1−6x2+2x+6x−2+9x2−6x+1=x2−6x2+9x2−2x+2x+6x−6x+1−2+1=4x2
Donc, B(x)=4x2
On a :
C(x)=x2+2x(8x−1)+(8x−1)2=x2+16x2−2x+64x2−16x+1=x2+16x2+64x2−2x−16x+1=81x2−18x+1
Ainsi, C(x)=81x2−18x+1
2) Factorisons les expressions : A(x); B(x) et C(x).
Soit A(x)=(2x−1)2+2(2x−1)(7x−1)+(7x−1)2 alors, on constate que A(x) est de la forme a2+2ab+b2 avec : a=(2x−1) et b=(7x−1)
Donc, en utilisant la forme factorisée des identités remarquables a2+2ab+b2=(a+b)2, on obtient :
A(x)=(2x−1)2+2(2x−1)(7x−1)+(7x−1)2=[(2x−1)+(7x−1)]2=(2x−1+7x−1)2=(2x+7x−1−1)2=(9x−2)2
D'où, A(x)=(9x−2)2
Soit B(x)=(x−1)2−2(x−1)(3x−1)+(3x−1)2.
Alors, on remarque que B(x) est de la forme a2−2ab+b2 avec : a=(x−1) et b=(3x−1).
Donc, en utilisant la forme factorisée des identités remarquables a2−2ab+b2=(a−b)2, on obtient :
B(x)=(x−1)2−2(x−1)(3x−1)+(3x−1)2=[(x−1)−(3x−1)]2=(x−1−3x+1)2=(x−3x−1+1)2=(−2x)2
Ainsi, B(x)=(−2x)2
Soit C(x)=x2+2x(8x−1)+(8x−1)2.
Alors, on remarque que C(x) est de la forme a2+2ab+b2 avec : a=x et b=(8x−1).
Donc, en utilisant la forme factorisée des identités remarquables a2+2ab+b2=(a+b)2, on obtient :
C(x)=x2+2x(8x−1)+(8x−1)2=[(x+(8x−1)]2=(x+8x−1)2=(9x−1)2
D'où, C(x)=(9x−1)2
3) Résolvons dans Q les équations suivantes : A(x)=0; B(x)=0 et C(x)=81x2.
Comme le second membre des équations A(x)=0 et B(x)=0 est égal à 0 alors, nous allons considérer les formes factorisées de A(x) et de B(x) pour résoudre les équations A(x)=0 et B(x)=0.
Soit A(x)=(9x−2)2 alors, on a :
A(x)=0⇔(9x−2)2=0⇔9x−2=0⇔9x=2⇔x=29
Comme 29∈Q alors,
S={29}
Soit B(x)=(−2x)2 alors, on a :
B(x)=0⇔(−2x)2=0⇔−2x=0⇔x=0−2⇔x=0
Comme 0 est un élément de Q alors,
S={0}
C(x)=81x2.
Pour résoudre l'équation C(x)=81x2, nous pouvons utiliser la forme développée de C(x) car le second membre de cette équation est différent de 0.
Soit C(x)=81x2−18x+1 alors, on a :
C(x)=81x2⇔81x2−18x+1=81x2⇔81x2−18x−81x2=−1⇔81x2−81x2−18x=−1⇔−18x=−1⇔x=−1−18⇔x=118
Comme 118∈Q alors,
S={118}
Exercice 17 Problème
Le rectangle ci-dessous a pour longueur AC=7cm et pour largeur CD=4cm. B∈[AC] tel que BC=x; F∈[AE] tel que FE=x.

1) Calculons l'aire du rectangle ACDE.
Soit AACDE l'aire du rectangle ACDE alors, on a :
AACDE=AC×CD=7×4=28
Donc, AACDE=28cm2
2) Calculons les aires des triangles BCD et DEF en fonction de x.
Soit ABCD l'aire du triangle BCD alors, on a :
Comme le triangle BCD est rectangle en C, alors on a :
ABCD=CD×BC2=4×x2=2x
Par suite, ABCD=2xcm2
Soit ADEF l'aire du triangle DEF.
Comme le triangle DEF est rectangle en E, alors on a :
ADEF=ED×FE2
Or, ED=AC car ACDE est un rectangle.
Donc, en remplaçant ED par AC, on obtient :
ADEF=ED×FE2=AC×FE2=7×x2=72x=3.5x
D'où, ADEF=3.5xcm2
3) Montrons que l'aire du triangle ABF est de : 0.5x2−5.5x+14
Soit AABF l'aire du triangle ABF.
Le triangle ABF étant rectangle en A, alors on a :
AABF=AB×AF2
Or, B∈[AC] donc, AB+BC=AC
Par suite, AB=AC−BC=7−x
Aussi, comme F∈[AE] alors, AF+FE=AE
Ainsi, AF=AE−FE
Or, ACDE rectangle donc, AE=CD
Par suite, AF=AE−FE=CD−FE=4−x
En remplaçant AB par 7−x et AF par 4−x dans l'expression de AABF, on obtient :
AABF=AB×AF2=(7−x)(4−x)2=7×4−7×x−x×4−x×(−x)2=28−7x−4x+x22=28−11x+x22=282−112x+12x2=14−5.5x+0.5x2=0.5x2−5.5x+14
D'où, AABF=0.5x2−5.5x+14
4) En déduisons que l'aire de FBD est égale à −0.5x2+14
On sait que la somme des aires des triangles BCD; DEF; ABF et FBD est égale à l'aire du rectangle ACDE.
Ce qui peut encore s'écrire :
ABCD+ADEF+AABF+AFBD=AACDE
Par suite,
AFBD=AACDE−ABCD−ADEF−AABF=28−2x−3.5x−(0.5x2−5.5x+14)=28−2x−3.5x−0.5x2+5.5x−14=−0.5x2−2x−3.5x+5.5x+28−14=−0.5x2+14
D'où, AFBD=−0.5x2+14
5) Déterminons pour quelle valeur de x l'aire du triangle FBD représente les 37 de l'aire du rectangle ACDE.
On a : AFBD=−0.5x2+14 et AACDE=28
Alors, l'aire du triangle FBD représente les 37 de l'aire du rectangle ACDE peut se traduire par :
−0.5x2+14=37×28=12
En résolvant cette équation, on trouve cette valeur de x.
Ainsi,
AFBD=37AACDE⇔−0.5x2+14=12⇔−0.5x2+14=12−14⇔−0.5x2=−2⇔x2=−2−0.5⇔x2=4⇔x2−4=0⇔(x−2)(x+2)=0⇔x−2=0 ou x+2=0⇔x=2 ou x=−2
On constate qu'on a deux valeurs de x :2 et −2
Mais x représente la distance BC et FE et une distance n'est jamais négative donc, nous allons considérer la valeur positive.
D'où, la valeur pour laquelle AFBD=37AACDE est : 2
Exercice 19
Résolvons dans Q les équations ci-dessous.
Soit 5n−32=n+16
Alors, on a :
5n−32=n+16⇔5n−n=16+32⇔4n=16+96⇔4n=106⇔n=1064⇔n=106×14⇔n=1024
Comme 1024∈Q alors,
S={1024}
Soit 3m7+2=5−m14 alors, on a :
3m7+2=5−m14⇔3m7+m14=5−2⇔6m14+m14=3⇔7m14=3⇔7m14=31⇔1×(7m)=3×14⇔7m=42⇔m=427⇔m=6
Comme 6 est un élément de Q alors,
S={6}
Soit −53+7x+1=x2−1 alors, on a :
−53+7x+1=x2−1⇔7x−x2=−1−1+53⇔14x2−x2=−2+53⇔13x2=−63+53⇔13x2=−13⇔3×(13x)=−1×2⇔39x=−2⇔x=−239
Comme −239 appartient à Q alors,
S={−239}
Soit 25(25x+5)=−12(1−95x) alors, on a :
25(25x+5)=−12(1−95x)⇔25×(25x)+25×5=−12×1−12×(−95x)⇔425x+105=−12+910x⇔425x−910x=−12−105⇔850x−4550x=−510−2010⇔−3750x=−2510⇔x=−2510−3750⇔x=−2510×(−5037)⇔x=1250370
Comme 1250370∈Q alors,
S={1250370}
Exercice 20
Résolvons dans Q les équations ci-dessous
Soit n2−13(12−n)=76n+23 alors, on a :
n2−13(12−n)=76n+23⇔n2−13×12−13×(−n)=76n+23⇔12n−16+13n=76n+23⇔12n+13n−76n=23+16⇔36n+26n−76n=46+16⇔−26n=56⇔n=56−26⇔n=56×(−62)⇔n=−5×66×2⇔n=−52
Comme −52∈Q alors,
S={−52}
Soit 2t−14=t2 alors, on a :
2t−14=t2⇔2t−t2=14⇔4t2−t2=14⇔3t2=14⇔4×(3t)=2×1⇔12t=2⇔t=212
Comme 212∈Q alors,
S={212}
Soit à résoudre l'équation m3=m−10.
On a :
m3=m−10⇔m3−m=−10⇔m3−3m3=−10⇔−2m3=−10⇔−2m3=−101⇔1×(−2m)=3×(−10)⇔−2m=−30⇔m=−30−2⇔m=15
Comme 15∈Q alors,
S={15}
Soit 3x=x3+8 alors, on a :
3x=x3+8⇔3x−x3=8⇔9x3−x3=8⇔8x3=8⇔8x3=81⇔1×(8x)=3×8⇔8x=24⇔x=248⇔x=3
Comme 3∈Q alors,
S={3}
Exercice 21
Ngor et Diégane ont ensemble 48 billes, soit x le nombre de billes de Ngor
1) Exprimons en fonction de x, le nombre de billes de Diégane.
Soit x le nombre de billes de Ngor.
On sait que la somme des nombres de billes de Diégane et de Ngor est égale à 48.
Ce qui se traduit par l'équation suivante :
nombre de billes de Diégane+x=48
On va résoudre cette équation pour trouver le nombre de billes de Diégane.
Il suffit alors de faire passer x de la gauche vers la droite en changeant son signe.
nombre de billes de Diégane+x=48 ⇔ nombre de billes de Diégane=48−x
Donc, le nombre de billes de Diégane est égal à (48−x)
2) Déterminons x sachant que Ngor a 2 fois plus de billes que Diégane.
On a :
le nombre de billes de Ngor est égal à : x
le nombre de billes de Diégane est égal à : 48−x
Comme Ngor a 2 fois plus de billes que Diégane alors, cela se traduit par l'équation suivante :
x=2(48−x)
En résolvant cette équation, on obtient :
x=2(48−x)⇔x=2×48−2×x⇔x=96−2x⇔x+2x=96⇔3x=96⇔x=963⇔x=32
Par suite, Ngor a 32 billes et Diégane en a 16.
Vérification :
On a : 32+16=48
Ce qui montre que la somme des billes de Ngor et de Diégane est bien égale à 48.
Exercice 22
Un père a 24 ans de plus que son fils, calculons l'âge de chacun quand ils auront ensemble 100 ans.
Soit x l'âge du fils alors.
Comme le père a 24 ans de plus que son fils alors, l'âge du père sera égal à : (24+x).
Le père et son fils auront ensemble 100 ans. Ce qui peut se traduire sous forme d'équation par :
(24+x)+x=100
En résolvant cette équation, on obtient :
(24+x)+x=100⇔24+x+x=100⇔2x=100−24⇔2x=76⇔x=762⇔x=38
Donc, l'âge du fils est de : 38 ans.
On a : 24+38=62 donc, le père a 62 ans.
Vérification :
On a : 62+38=100
Donc, la somme de leur âge est bien égale à 100 ans.
Exercice 23
Les dimensions d'un rectangle sont 3 et 4m
Déterminons le nombre qu'il faut ajouter à la longueur et à la largeur pour que le périmètre double.
Le périmètre du rectangle est :
P=2×(3+4)=2×7=21
Donc, P=21cm
Soit x le nombre à ajouter à la longueur et à la largeur alors :
la longueur devient : (4+x)
la largeur devient : (3+x)
Ainsi, le nouveau périmètre est donné par :
2[(4+x)+(3+x)]
Ce périmètre double si, et seulement si,
2[(4+x)+(3+x)]=2×21=42
Donc, en résolvant l'équation 2[(4+x)+(3+x)]=42 on trouve la valeur de x.
On a :
2[(4+x)+(3+x)]=42⇔2(4+x+3+x)=42⇔2×4+2×x+2×3+2×x=42⇔8+2x+6+2x=42⇔4x=42−8−6⇔4x=28⇔x=284⇔x=7
Ainsi, il faut ajouter 7cm à la longueur et à la largeur pour que le périmètre double.
Par suite :
la longueur sera donnée par : 4+7=11cm
la largeur sera donnée par : 3+7=10cm
Vérification :
On a : 2×(11+10)=2×21=42
Ce qui prouve que le périmètre a doublé.
Exercice 24
Une mère a 15 ans de plus que sa fille, dans 10 ans l'âge de la mère sera le double de l'âge de la fille ;
Déterminons l'âge de la mère et celui de la fille.
Soit x l'âge de la fille.
Comme la mère a 15 ans de plus que sa fille alors, l'âge de la mère est : (x+15)
Ainsi, dans 10 ans
la fille aura : (x+10) ans
la mère aura : [(x+15)+10] ans
Comme dans 10 ans l'âge de la mère sera le double de l'âge de la fille alors, on peut le traduire par l'équation suivante :
[(x+15)+10]=2(x+10)
En résolvant cette équation, on obtient :
[(x+15)+10]=2(x+10)⇔(x+15+10)=2×x+2×10⇔x+25=2x+20⇔x−2x=20−25⇔−x=−5⇔x=−5−1⇔x=5
Donc, la fille a 5 ans.
On a : 5+15=20 donc, la mère a 20 ans
Dans 10 ans la mère aura 30 ans et sa fille aura 15 ans.
Vérification :
On a : 30=2×15
Ce qui confirme que l'âge de la mère est bien le double de celui de sa fille.
Exercice 25
Nafi a eu 13 et 15 aux 2 premiers contrôles de Maths.
Déterminons la note qu'elle doit obtenir au 3ème contrôle pour que sa moyenne soit 16
Soit x la note obtenue au 3ème contrôle.
Donc, pour calculer la moyenne de Nafi, on fait :
13+15+x3
Pour que cette moyenne soit égale à 16, on pose l'équation suivante :
13+15+x3=16
En résolvant cette équation, on obtient :
13+15+x3=16⇔28+x3=161⇔1×(28+x)=3×16⇔28+x=48⇔x=48−28⇔x=20
Donc, Nafi doit obtenir 20 au 3ème contrôle pour que sa moyenne soit 16.
Vérification :
On a : 13+15+203=483=16
Ce qui montre bien que sa moyenne est 16 lorsque sa note au 3ème contrôle est 20.
Exercice 26
Un terrain rectangulaire a un périmètre de 4.5km ; la longueur mesure 350m de plus que la largeur, déterminons les dimensions du terrain.
Soit x la dimension de la largeur.
Comme la longueur mesure 350m de plus que la largeur alors, la dimension de la longueur est : (x+350)
Donc, le périmètre est donné par :
2[(x+350)+x]
Or, on sait que ce terrain a un périmètre de P=4.5km. En convertissant en mètre, on obtient : P=4.5km=4500m
Ainsi, on l'équation suivante :
2[(x+350)+x]=4500
On va résoudre cette équation pour trouver la valeur de x qui représente la dimension de la largeur.
On a :
2[(x+350)+x]=4500⇔2(x+350+x)=4500⇔2(2x+350)=4500⇔2×2x+2×350+x=4500⇔4x+700=500⇔4x=4500−700⇔4x=3800⇔x=38004⇔x=950
Alors, la largeur mesure 950m
On a : 950+350=1300 donc, la longueur mesure 1300m
Vérification :
On a :
Périmètre=2(1300+950)=2×2250=4500m=4.5km
Donc, les dimensions vérifient bien le périmètre de ce terrain.
Exercice 27
Nogaye dépense les trois cinquième de son argent pour acheter un livre.
Elle donne ensuite le quart du reste à sa sœur Ami. Elle se retrouve après avec seulement 12000 francs.
Déterminons la somme d'argent que Nogaye disposait.
Soit x la somme totale que dispose Nogaye.
Comme elle dépense les trois cinquième de son argent pour acheter un livre alors, la dépense pour ce livre est : 35x
Ainsi, la somme qui lui reste est : (x−35x)
Nogaye donne ensuite le quart de ce reste à sa sœur Ami. Donc, la somme donnée à Ami est : 14(x−35x)
Enfin, la somme qui lui reste est : 12000F
Par ailleurs, on sait que la somme dépensée pour le livre, la somme donnée à Ami et la somme restante constituent la somme totale d'argent x que Nogaye disposait.
Ainsi, on peut écrire :
35x+14(x−35x)+12000=x
En résolvant cette équation, on obtient :
35x+14(x−35x)+12000=x⇔35x+14x−14×35x+12000=x⇔35x+14x−320x−x=−12000⇔1220x+520x−320x−2020x=−12000⇔−620x=−12000⇔x=−12000−620⇔x=−12000×(−206)⇔x=12000×206⇔x=2400006⇔x=40000
Donc, Nogaye disposait de 40000F
On a :
35×40000=3×400005=1200005=24000
Ainsi, Nogaye a dépensé 24000F pour acheter un livre.
Aussi,
14(40000−35×40000)=14(40000−3×400005)=14(40000−1200005)=14(40000−24000)=14×16000=160004=4000
Donc, Nogaye a donné 4000F à sa sœur Ami
Vérification :
On a : 24000+4000+12000=40000
Exercice 28
1) Déterminons le nombre de places réservées aux passagers
Soit x le nombre de places réservées aux passagers.
− A l'embarquement à Dakar, les 34 des sièges sont occupées.
Donc, le nombre de places occupés à l'embarquement à Dakar est de :
34x
− A l'escale de Bamako, 45 passagers descendent et 27 montent.
Ce qui veut dire que le nombre de places occupées au départ de Bamako est de :
34x−45+27(1)
On sait par ailleurs, que l'avion est plein aux 23.
Donc, le nombre de places occupées au départ de Bamako peut encore s'exprimer par :
23x(2)
Par suite, l'égalité des relations (1) et (2) donne :
34x−45+27=23x
En résolvant cette dernière équation, on trouvera le nombre x, de places réservées aux passagers.
On a :
34x−45+27=23x⇔34x−23x=45−27⇔912x−812x=18⇔x12=18⇔x=18×12⇔x=216
D'où, x=216
Ainsi, cet avion compte 216 places réservées aux passagers.
2) Déterminons le nombre de passagers débarquant à Abidjan.
Soit A le nombre de passagers débarquant à Abidjan et B le nombre de passagers au départ de Bamako.
− Comme au départ de Bamako l'avion était plein aux 23 alors, on a :
B=23x=23×216=144
− A l'escale de Ouaga, la moitié de ces 144 passagers descend et 25 montent.
Cela se traduit par :
144−1442+25=144−72+25=97
Donc, au départ de Ouaga, l'avion compte 97 passagers à destination d'Abidjan.
Ainsi, le nombre de passagers débarquant à Abidjan est :
A=97
Auteur:
Diny Faye
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
mar, 02/25/2020 - 00:15
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Correction de l'exercice 28
Anonyme (non vérifié)
lun, 11/30/2020 - 22:17
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Correction exercice 24
Anonyme (non vérifié)
sam, 05/23/2020 - 16:04
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Je pense vraiment que les
Anonyme (non vérifié)
dim, 02/28/2021 - 23:03
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Mien mais Les corrections sur
Anonyme (non vérifié)
sam, 06/26/2021 - 21:04
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Please la correction des
Mor Cisse (non vérifié)
sam, 03/13/2021 - 21:09
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Exercice intéressants mais y
Maimouna kane (non vérifié)
ven, 04/09/2021 - 18:12
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C'est bien mais les
Lena Ndour (non vérifié)
jeu, 05/27/2021 - 05:25
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Mais l'exercice 6
DJEVI (non vérifié)
sam, 06/03/2023 - 18:01
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COMMENTAIRE SUR EXERCICE NUM2RO 21
DJEVI (non vérifié)
sam, 06/03/2023 - 18:01
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COMMENTAIRE SUR EXERCICE NUM2RO 21
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