Solution des exercices : Droites des milieux - 4e

Classe: 
Quatrième
 

Exercice 1

Soit ABC un triangle isocèle en A tel que :
AB=5cmetBC=4cm
I  et  K sont les milieux respectifs de [AB]  et  [AC].
 
1) Faisons une figure complète.

 

 
2) a) Montrons que (IK)  et  (BC) sont parallèles.
 
I  et  K étant les milieux respectifs de [AB]  et  [AC] alors, la droite (IK) passant par I  et  K est appelée droite des milieux.
 
Ainsi, d'après le théorème de la droite des milieux, la droite (IK) est parallèle au troisième côté du triangle ABC.
 
D'où, (IK)  et  (BC) sont parallèles.
 
b) Calculons IK en précisant le théorème utilisé.
 
Dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de la longueur du troisième côté.
 
Ainsi, IK=BC2=42=2cm
 
3) La parallèle à (AB) passant par K coupe (BC) en L.
 
Montrons que L est le milieu de [BC].
 
On a : la droite qui est parallèle à (AB) et qui passe par K milieu de [AC], coupe (BC) en L.
 
Or, d'après la réciproque du théorème de la droite des milieux, on sait que, si une droite est parallèle à un côté et si elle passe par le milieu d'un deuxième côté alors elle passe par le milieu du troisième côté.
 
Par conséquent, L est milieu de [BC]

Exercice 2

Soit ABC un triangle, I milieu du segment [AB], J milieu du segment [AC], K milieu du segment [AI] et L milieu du segment [AJ].
 
1) Faisons une figure.

 

 
2) Démontrons que : 4KL=BC.
 
Dans le triangle ABC, on a : I milieu du segment [AB]  et  J milieu du segment [AC].
 
Or, dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de la longueur du troisième côté. Donc,
IJ=BC2(égalité 1)
Par ailleurs, en considérant le petit triangle AIJ, on a : K milieu du segment [AI]  et  L milieu du segment [AJ].
 
Comme dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de la longueur du troisième côté alors,
KL=IJ2(égalité 2)
Or, dans l'égalité 1, on avait IJ=BC2 donc, en remplaçant dans l'égalité 2, on obtient :
KL=BC22=BC2×12
Ce qui donne : KL=BC4
 
D'où, 4KL=BC

Exercice 3

On suppose que AB=7cm, AC=8cm  et  BC=12cm et on désigne par I, J  et  K les milieux respectifs des côtés [BC], [AC]  et  [AB]. On désigne par L  et  M les milieux respectifs de [KJ]  et  [KI].
 
1) Faisons une figure complète.

 

 
2) Prouvons que la droite (LM) est parallèle à la droite (AB).
 
Dans le triangle IJK, on a : L milieu de [KJ]  et  M milieu de [KI].
 
Ainsi, d'après le théorème de la droite des milieux, la droite (LM), passant par les milieux respectifs de deux côtés, est parallèle au troisième côté du triangle IJK.
 
Par suite, (LM) est parallèle à (IJ).
 
De plus, en considérant le triangle ABC, on remarque que la droite (IJ) passe par J  et  I ; les milieux respectifs des côtés [AC]  et  [BC] du triangle.
 
Donc, en appliquant le théorème de la droite des milieux, on aura (IJ) parallèle au troisième côté du triangle ABC.
 
D'où, (IJ) est parallèle à (AB).
 
Par ailleurs, on sait que si deux droites sont parallèles alors, toute droite parallèle à l'une est parallèle à l'autre.
 
Or, (IJ) parallèle à (AB) et (LM) parallèle à (IJ).
 
Par conséquent, (LM) est parallèle à (AB).
 
3) Calculons le périmètre du triangle KLM.
 
Soit PKLM le périmètre du triangle KLM.
 
On a : PKLM=KL+MK+ML
 
Comme L es milieu de [KJ]  et  M milieu de [KI] alors,
 
KL=KJ2  et  MK=KI2
 
Par suite, PKLM=KJ2+KI2+ML
 
Par ailleurs, on sait que dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de la longueur du troisième côté. Donc,
 
   Pour le triangle ABC, on aura :
 
KJ=BC2=122=6cm
 
KI=AC2=82=4cm
 
IJ=AB2=72=3.5cm
 
   Pour le triangle IJK, on aura : 
 
ML=IJ2=3.52=1.75
 
Ainsi, le périmètre PKLM du triangle KLM sera donné par :
 
PKLM=KJ2+KI2+ML=62+42+1.75=3+2+1.75=6.75
 
D'où, PKLM=6.75cm
 
Remarque : PKLM=12PIJK=14PABC

Exercice 4

Traçons un cercle (C) de centre O et de diamètre [AB]  et  (C) un cercle de diamètre [OA]. Soit Q un point du cercle (C). La droite (AQ) coupe (C) en P.
 
 
1) Démontrons que P est le milieu de [AQ].
 
En effet, on a :
 
ABQ est un triangle inscrit dans le cercle (C) et dont le côté [AB] est un diamètre de ce cercle. Alors, ABQ est un triangle rectangle en Q.
 
Donc, (BQ) est perpendiculaire à (AQ).
 
De la même manière, APO est un triangle inscrit dans le cercle (C) et dont le côté [OA] est un diamètre de ce cercle. Alors, APO est un triangle rectangle en P.
 
Par suite,  (OP) est perpendiculaire à (AQ) en P.
 
Donc,  les droites (BQ)  et  (OP) sont perpendiculaires à la même droite (AQ).
 
Or, on sait que si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors, ces deux droites sont parallèles.
 
D'où,  (BQ) est parallèle à (OP).
 
Par suite, (OP) parallèle à (BQ) et passant par le milieu O du côté [AB], coupe [AQ] en P. 
 
Or, d'après la réciproque du théorème de la droite des milieux, on sait que : dans un triangle si, une droite est parallèle à un côté et si elle passe par le milieu d'un deuxième côté alors, elle passe par le milieu du troisième côté.
 
Par conséquent, P est milieu de [AQ]
 
2) Soit E milieu de [BQ], démontrons que : 2PE=AB.
 
En effet, d'après une conséquence du théorème de la droite des milieux, on sait que : dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de la longueur du troisième côté.
 
Ainsi, dans le triangle ABQ, comme P est milieu de [AQ]  et  E celui de [BQ] alors, on obtient :
PE=AB2
Par conséquent, 2PE=AB

Exercice 5

Soit ABC un triangle tel que :
AB=6cm; BC=5cm  et  mesB=50
1) Marquons les points B  et  C milieux respectifs des segments [AC]  et  [AB].
 
2) Soit M un point du segment [BC]  et  (AM) coupe (BC) en N.
 
3) Démontrons que les droites (BC)  et  (BC) sont parallèles puis calculons la distance BC.
 
Dans le triangle ABC, on a : B milieu du segment [AC]  et  C celui de [AB].
 
Or, d'après le théorème de la droite des milieux, on sait que : dans un triangle, la droite qui passe par les milieux des deux côtés est parallèle au troisième côté.
 
Donc, la droite (BC) passant par B  et  C est parallèle au troisième côté [BC] du triangle ABC.
 
Par conséquent, les droites (BC)  et  (BC) sont parallèles
 
Calcul de la distance BC.
 
En effet, d'après une conséquence du théorème de la droite des milieux, on sait que : dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de la longueur du troisième côté.
 
Ainsi, dans le triangle ABC, comme B est milieu de [AC]  et  C celui de [AB] alors, on obtient :
BC=BC2
Par suite, en remplaçant BC par sa valeur, on trouve :
BC=52=2.5
D'où, BC=2.5cm
 
4) Démontrons que N est le milieu de [AM]
 
Considérons le triangle AMB.
 
Alors, d'après la question 3) on a : (BC) parallèle à (BC) ; c'est à dire (BC) est parallèle à (AM)
 
De plus, la droite (BC) passant par C milieu de [AB], coupe (AM) au point N.
 
Or, d'après la réciproque du théorème de la droite des milieux, on sait que : dans un triangle si, une droite est parallèle à un côté et si, elle passe par le milieu d'un deuxième côté alors, elle passe par le milieu du troisième côté.
 
Par conséquent, N est milieu de [AM]
 
Remarque : on pouvait aussi considérer le triangle AMC et appliquer la même démarche pour démontrer que N est le milieu de [AM].
 
 

Exercice 6

Soit un triangle ABC, le point I est le milieu du segment [AB] et le point J est celui du segment [AC].
 
Le point C est le symétrique de C par rapport à I et le point B celui de B par rapport à J.
 
1) Faisons une figure complète et codons-la.
 
 
2) a) Démontrons que : (IJ)(AB)  et  IJ=12AB.
 
En effet, comme B est le symétrique de B par rapport à J alors, le point J est milieu du segment [BB].
 
Donc, en considérant le triangle ABB, nous constatons que la droite (IJ) passe par les points I  et  J ; milieux respectifs des segments [AB]  et  [BB].
 
Or, d'après le théorème de la droite des milieux, on sait que : dans un triangle, la droite qui passe par les milieux des deux côtés est parallèle au troisième côté.
 
D'où, (IJ) est parallèle à (AB)
 
Par ailleurs, d'après une conséquence du théorème de la droite des milieux, on sait que : dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de la longueur du troisième côté.
 
Donc, en appliquant cette propriété au triangle ABB, on obtient :
IJ=12AB
b) Démontrons que : (IJ)(AC)  et  IJ=12AC.
 
En effet, on a : C symétrique de C par rapport à I donc, I est le milieu du segment [CC].
 
Alors, dans le triangle ACC, nous remarquons que la droite (IJ) passe par les points I  et  J ; milieux respectifs des segments [CC]  et  [AC].
 
Or, d'après le théorème de la droite des milieux, on sait que : dans un triangle, la droite qui passe par les milieux des deux côtés est parallèle au troisième côté.
 
Ainsi, (IJ) est parallèle à (AC)
 
De plus, d'après une conséquence du théorème de la droite des milieux, on sait que : dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de la longueur du troisième côté.
 
Donc, en appliquant cette propriété au triangle ACC, on obtient :
IJ=12AC
3) Démontrons que A est le milieu de [BC].
 
D'après la question 2) on a : (IJ)(AB)  et  (IJ)(AC)
 
Or, si deux droites sont parallèles, toute droite parallèle à l'une est aussi parallèle à l'autre.
 
Donc, (AB) est parallèle à (AC)
 
Par suite, les point C, A  et  B sont alignés.
 
Par ailleurs, on a :
IJ=12ABIJ=12AC}  12AB=12AC
Par suite,
 
12AB=12ACAB2=AC22×AB=2×ACAB=2AC2AB=AC
 
Donc,
AB=AC
Ainsi, C, A  et  B sont trois points alignés tels que AB=AC
 
Par conséquent, A est le milieu de [BC].

Exercice 7

 
Dans la figure ci-dessus, ABCD  et  ABEF sont deux parallélogrammes de centres I  et  J.
 
1) Montrer que les droites (CE)  et  (DF) sont parallèles (indication : on pourra utiliser (IJ).
 
En effet, comme ABCD est un parallélogramme de centre I alors, ses diagonales [AC]  et  [DB] ont même milieu I.
 
Aussi, comme ABEF est un parallélogramme de centre J alors, ses diagonales [AE]  et  [BF] ont même milieu J.
 
Donc, en considérant le triangle DBF, nous remarquons que la droite (IJ) passe par les points I  et  J ; milieux respectifs des segments [DB]  et  [BF].
 
Ainsi, d'après le théorème de la droite des milieux, (IJ) est parallèle à (DF).
 
De la même manière, en considérant le triangle ACE, nous constatons que la droite (IJ) passe par les points I  et  J ; milieux respectifs des segments [AC]  et  [AE].
 
Donc, d'après le théorème de la droite des milieux, (IJ) est parallèle à (CE).
 
Ainsi, on a :
(IJ)(DE)  et  (CE)(IJ)
Or, on sait que : si deux droites sont parallèles, toute droite parallèle à l'une est aussi parallèle à l'autre.
 
Par conséquent, (CE)  et  (DF) sont parallèles.
 
2) En déduisons la nature du quadrilatère DFEC.
 
En effet, on a : 
 
ABCD parallélogramme alors, (AB)  et  (FE) sont parallèles.
 
ABEF parallélogramme donc, (AB)  et  (DC) sont parallèles.
 
Or, si deux droites sont parallèles, toute droite parallèle à l'une est aussi parallèle à l'autre.
 
Donc, (FE)  et  (DC) sont parallèles.
 
Par ailleurs, d'après le résultat 1), on a : (CE)(DF)
 
Par suite, le quadrilatère DFEC a ses côtés parallèles 2  à  2.
 
Par conséquent, DFEC est un parallélogramme.

Exercice 8

ABC est un triangle, I milieu de [BC], J celui de [AB].
 
Démontrons que (IJ)  et  (AC) sont parallèles en énonçant la propriété utilisée.
 
En effet, d'après le théorème de la droite des milieux, on sait que : dans un triangle, la droite qui passe par les milieux des deux côtés est parallèle au troisième côté.
 
Donc, la droite (IJ) passant par I  et  J est parallèle au troisième côté [AC] du triangle ABC.
 
Par conséquent, les droites (IJ)  et  (AC) sont parallèles
 
 

Exercice 9

ABC est un triangle, I le symétrique de A par rapport à B  et  J milieu de [AC].
 
Démontrons que les droites (BJ)  et  (IC) sont parallèles en énonçant la propriété utilisée.
 
Comme I est le symétrique de A par rapport à B alors, le point B est le milieu du segment [AI].
 
Donc, en considérant le triangle ACI, on remarque que la droite (BJ) passe par les points B  et  J ; milieux respectifs des segments [AI]  et  [AC].
 
Or, d'après le théorème de la droite des milieux, on sait que : dans un triangle, la droite qui passe par les milieux des deux côtés est parallèle au troisième côté.
 
Par conséquent, les droites (BJ)  et  (IC) sont parallèles
 
 

Exercice 10

ABC est un triangle, I milieu de [BC], J un point de [AB] tel que (IJ) parallèle à (CA).
 
Démontrons que J est le milieu de [AB] en énonçant le théorème utilisé.
 
En effet, d'après la réciproque du théorème de la droite des milieux, on sait que : dans un triangle si, une droite est parallèle à un côté et si, elle passe par le milieu d'un deuxième côté alors, elle passe par le milieu du troisième côté.
 
Or, la droite (IJ) passant par I milieu de [BC] et parallèle à (CA), coupe (AB) au point J.
 
Donc, J est le milieu de [AB]
 
 

Exercice 11

MNP est un triangle rectangle en M, S milieu de [MP], la perpendiculaire à (MP) en S coupe [NP] en R.
 
Démontrons que R est le milieu de [NP]
 
En effet, MNP étant un triangle rectangle en M alors, (MN) est perpendiculaire à (MP).
 
De plus, (SR) est perpendiculaire à (MP).
 
Or, on sait que si, deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors, ces deux droites sont parallèles.
 
Donc, les droites (SR)  et  (MN) sont parallèles.
 
Par ailleurs, d'après la réciproque du théorème de la droite des milieux, on sait que : dans un triangle si, une droite est parallèle à un côté et si, elle passe par le milieu d'un deuxième côté alors, elle passe par le milieu du troisième côté.
 
Donc, la parallèle à (MN) passant par S milieu de [MP] coupe [NP] en son milieu.
 
D'où, R est le milieu de [NP]
 
 

Exercice 12

OPQ est un triangle, I le pied de la hauteur issue de P.
 
J est le milieu de [OP].
 
La perpendiculaire à (OQ) passant par J coupe [OQ] en K.
 
Démontrons que K est le milieu de [OI].
 
En effet, I étant le pied de la hauteur issue de P alors, (IP) est perpendiculaire à (OQ).
 
De plus, (JK) est perpendiculaire à (OQ).
 
Or, on sait que si, deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors, ces deux droites sont parallèles.
 
Donc, les droites (JK)  et  (IP) sont parallèles.
 
Alors, en considérant le triangle OPI, on constate que la droite (JK) passant par le milieu de [OP] et parallèle à (IP), coupe [OI] en K.
 
Ainsi, d'après la réciproque du théorème de la droite des milieux, K est le milieu de [OI].
 
 

Exercice 13

ABC est un triangle, I milieu de [AB].
 
La parallèle à (IC) passant par B coupe (AC) en J.
 
Montrons que C est le milieu de [AJ]
 
En effet, d'après la réciproque du théorème de la droite des milieux, on sait que : dans un triangle si, une droite est parallèle à un côté et si, elle passe par le milieu d'un deuxième côté alors, elle passe par le milieu du troisième côté.
 
Considérons le triangle ABJ.
 
Alors, on a : I milieu de [AB] et la droite (IC) passant par I et parallèle à (BJ) coupe [AJ] en C.
 
Par conséquent, C est le milieu de [AJ]
 
 

Exercice 14

1) ABC est un triangle tel que AB=34, BC=53  et  AC=29.
 
E est milieu de [AB]  et  F celui de [BC].
 
Alors :
 
b) EF=14.5
 
En effet, d'après une conséquence du théorème de la droite des milieux, on sait que : dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de la longueur du troisième côté.
 
Donc, EF=AC2=292=14.5
 
D'où, EF=14.5
 
2) BAC est un triangle tel que AB=6, AC=7, BC=8.
 
O, P  et  L sont les milieux respectifs des segments [BA], [BC]  et  [AC].
 
Le périmètre du triangle POL est égal à :
 
d) 10.5
 
En effet, on sait que dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de la longueur du troisième côté.
 
Ainsi, chaque côté du triangle POL a pour longueur la moitié de la longueur du côté parallèle du triangle BAC.
 
Par conséquent,
périmètre du triangle POL=périmètre du triangle BAC2
Or,
 
périmètre du triangle BAC=AB+AC+BC=6+7+8=21cm
 
Donc, périmètre du triangle POL=212=10.5
 
D'où, le périmètre du triangle POL est égal à 10.5cm

Exercice 15

Traçons un cercle de centre I.
 
Soit A un point sur ce cercle et B est un point extérieur à ce cercle tels que (AB) soit tangente au cercle. 
 
Soit C le symétrique de B par rapport à I et soit D le symétrique de B par rapport à A.
 
1) Faisons une figure et traçons les droites (DC)  et  (AI).
 
 
2) Démontrons que les droites (DC)  et  (AI) sont parallèles.
 
Considérons le triangle BCD.
 
Comme C est symétrique de B par rapport à I alors, le point I est le milieu de [BC].
 
De même, comme D est le symétrique de B par rapport à A alors, A est milieu de [BD].
 
Ainsi, la droite (AI) passe par les milieux respectifs des côtés [BD]  et  [BC] du triangle BCD.
 
Donc, d'après le théorème de la droite des milieux, (AI) est parallèle à (DC).
 
3) Démontrons que AI=12DC.
 
En effet, d'après une conséquence du théorème de la droite des milieux, on sait que : dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de la longueur du troisième côté.
 
Donc, en appliquant cette propriété au triangle BCD, on obtient :
AI=12DC

Exercice 16

ABC est un triangle tel que BC=3.5cm; AB=3cm  et  AC=4cm.
 
Soit M le point symétrique de A par rapport à B  et  N celui de A par rapport à C.
 
1) Démontrons que (MN) est parallèle à (BC).
 
Considérons le triangle AMN.
 
On a : M symétrique de A par rapport à B donc, le point B est le milieu de [AM].
 
De même, N est le symétrique de A par rapport à C donc, C est milieu de [AN].
 
Par suite, la droite (BC) passe donc par B  et  C ; milieux respectifs des côtés [AM]  et  [AN] du triangle AMN.
 
Ainsi, en appliquant le théorème de la droite des milieux, on obtient :
(BC)(MN)
2) Calculons MN.
 
En effet, d'après une conséquence du théorème de la droite des milieux, on sait que : dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de la longueur du troisième côté.
 
Donc, en appliquant cette propriété au triangle AMN, on obtient :
BC=MN2
Par conséquent, MN=2BC=2×3.5=7
 
D'où, MN=7cm
 
3) La parallèle à (AM) passant par C coupe [MN] en O.
 
a) Montrons que O est le milieu de [MN].
 
En effet, d'après la réciproque du théorème de la droite des milieux, on sait que : dans un triangle si, une droite est parallèle à un côté et si, elle passe par le milieu d'un deuxième côté alors, elle passe par le milieu du troisième côté.
 
Or, dans le triangle AMN, on a : C milieu de [AN] et la droite (OC) passant par C et parallèle à (AM), coupe [MN] en O.
 
Par conséquent, O est le milieu de [MN]
 
b) Calculons OC.
 
Comme dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de la longueur du troisième côté alors, on a :
OC=AM2
Mais, on sait que AM=2AB car, le point B est milieu du segment [AM].
 
Donc, en remplaçant AM par 2AB, on obtient :
 
OC=AM2=2AB2=AB=3
 
D'où, OC=3cm
 
 

Exercice 17

ABC est un triangle ; M milieu de [AB]  et  N milieu de [AC].
 
1) Démontrons que les droites (MN)  et  (BC) sont parallèles.
 
En effet, en considérant le triangle ABC, nous constatons que la droite (MN) (BC) passe par M  et  N ; milieux respectifs des côtés [AB]  et  [AC].
 
Or, d'après le théorème de la droite des milieux, on sait que : dans un triangle, la droite qui passe par les milieux des deux côtés est parallèle au troisième côté.
 
Par conséquent, les droites (MN)  et  (BC) sont parallèles.
 
2) Construisons A, symétrique de A par rapport à O, milieu du segment [BC].
 
3) La droite (ON) est parallèle à la droite (AB)
 
Justification :
 
Comme N est milieu de [AC]  et  O celui de [BC] alors, en appliquant le théorème de la droite des milieux sur le triangle ABC, on a : (ON) parallèle à (AB).
 
4) Soit P est le milieu de [BA].
 
Alors, les droites (OP)  et  (AB) sont parallèles.
 
En effet, A est le symétrique de A par rapport à O donc, le point O est milieu de [AA].
 
Ainsi, dans le triangle ABA, nous remarquons que la droite (OP) passe par O  et  P ; milieux respectifs des côtés [AA]  et  [BA].
 
Donc, en appliquant le théorème de la droite des milieux sur le triangle ABA, on obtient : (OP) parallèle à (AB).
 
5) La parallèle à (AC) passant par O coupe (CA) en Q.
 
Montrons que Q est le milieu de [CA] et que les points M, O  et  Q sont alignés.
 
Considérons le triangle ACA.
 
Alors, on a : O milieu de [AA] et la droite (OQ) passant par O et parallèle à la droite (AC), coupe [CA] en Q.
 
Or, d'après la réciproque du théorème de la droite des milieux, on sait que : dans un triangle si, une droite est parallèle à un côté et si, elle passe par le milieu d'un deuxième côté alors, elle passe par le milieu du troisième côté.
 
Par conséquent, Q est le milieu de [CA]
 
Montrons les points M, O  et  Q sont alignés.
 
On sait que (OQ) est parallèle à (AC).
 
De plus, en appliquant le théorème de la droite des milieux sur le triangle ABC, on a : (OM) parallèle à (AC).
 
Or, on sait que si deux droites sont parallèles, toute droite parallèle à l'une est aussi parallèle à l'autre.
 
Donc, (OM) est parallèle à (OQ)
 
Par conséquent, les point M, O  et  Q sont alignés.
 
 

Exercice 18

ABCD est un trapèze tel que (AB) parallèle à (DC).
 
Soit M le milieu de [AD] et P celui de [BD]
 
1) Démontrons que (MP) est parallèle à (AB).
 
Dans le triangle ABD, nous constatons que la droite (MP) passe par M  et  P ; milieux respectifs des côtés [AD]  et  [BD].
 
Or, d'après le théorème de la droite des milieux, on sait que : dans un triangle, la droite qui passe par les milieux des deux côtés est parallèle au troisième côté.
 
Donc, en appliquant le théorème de la droite des milieux sur le triangle ABD, on obtient : (MP) parallèle à (AB).
 
2) La droite (MP) coupe la droite (BC) en N. 
 
Prouvons que N est le milieu de [BC].
 
Considérons le triangle BCD.
 
On sait que (MP) est parallèle à (AB).
 
Or, (AB) est parallèle à (DC) donc, (MP) est parallèle à (DC).
 
Alors, on a : P milieu de [BD] et la droite (MP) passant par P et parallèle à la droite (DC), coupe [BC] en Q.
 
Or, d'après la réciproque du théorème de la droite des milieux, on sait que : dans un triangle si, une droite est parallèle à un côté et si, elle passe par le milieu d'un deuxième côté alors, elle passe par le milieu du troisième côté.
 
Par conséquent, N est le milieu de [BC]
 
3) Prouvons que MN=AB+DC2.
 
En effet, d'après une conséquence du théorème de la droite des milieux, on sait que : dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de la longueur du troisième côté.
 
Donc,
 
en appliquant cette propriété sur le triangle ABD, on obtient :
MP=AB2
en appliquant cette propriété sur le triangle BCD, on obtient :
PN=DC2
Par ailleurs, MN=MP+PN car, P[MN]
 
Donc, en remplaçant MP  et  PN par leur expression, on obtient :
 
MN=MP+PN=AB2+DC2=AB+DC2
 
D'où, MN=AB+DC2
 
 

Exercice 19

Soit deux droites (D1)  et  (D2) sécantes en un point I.
 
Soit M un point appartenant à (D1) et soit N le symétrique de I par rapport à M.
 
Soit (D3) une droite passant par M qui coupe (D2) en P.
 
Soit (D4) la parallèle à (D3) passant par N qui coupe (D2) en R.
 
1) Faisons une figure et traçons la droite (NP) puis la parallèle à la droite (NP) passant par R : cette parallèle coupe (D1) en T.
 
 
2) En considérant le triangle INR, démontrons que P est le milieu de [IR].
 
Considérons le triangle INR.
 
On a : (D4) parallèle à (D3) ; ce qui signifie que (NR) est parallèle à (MP).
 
De plus, comme N est le symétrique de I par rapport à M alors, le point M est milieu de [IN].
 
Ainsi, on a : M milieu de [IN] et la droite (MP) passant par M et parallèle à la droite (NR), coupe [IR] en P.
 
Donc, d'après la réciproque du théorème de la droite des milieux, P est milieu de [IR].
 
3) Déduisons-en que N est le milieu de [IT].
 
En considérant le triangle IRT, nous constatons que la droite (NP) passant par P et parallèle à la droite (RT) coupe [IT] en N.
 
Comme P est milieu de [IR] alors, d'après la réciproque du théorème de la droite des milieux, N est milieu de [IT].

Exercice 20

Soit ABC un triangle, on appelle I le milieu de [BC], J le milieu de [AB]  et  K le milieu de [AI].
 
Soit L le point d'intersection de (JK)  et  (AC).
 
1) Faisons une figure complète.
 
 
2) Démontrons que (JK)(BC).
 
Considérons le triangle ABI.
 
On a : la droite (JK) passe par les points J  et  K ; milieux respectifs des côtés [AB]  et  [AI].
 
Or, d'après le théorème de la droite des milieux, on sait que : dans un triangle, la droite qui passe par les milieux des deux côtés est parallèle au troisième côté.
 
Donc, en appliquant le théorème de la droite des milieux sur le triangle ABI, on obtient : (JK) parallèle à (BI).
 
Par conséquent, (JK)(BC) car, B, I  et  C sont alignés.
 
3) Démontrons que L est le milieu de (AC).
 
Considérons le triangle ABC.
 
Alors, on a : J milieu de [AB] et la droite (JK) passant par J et parallèle à la droite (BC), coupe [AC] en L.
 
Or, d'après la réciproque du théorème de la droite des milieux, on sait que : dans un triangle si, une droite est parallèle à un côté et si, elle passe par le milieu d'un deuxième côté alors, elle passe par le milieu du troisième côté.
 
Donc, d'après la réciproque du théorème de la droite des milieux, L est milieu de [AC].
 
4) On appelle M le milieu de [IC].
 
Montrons que JK=KL=IM.
 
En effet, d'après une conséquence du théorème de la droite des milieux, on sait que : dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de la longueur du troisième côté.
 
Alors, en considérant le triangle AIC, on a : K milieu de [AI]  et  L celui de [AC].
 
Par conséquent,
KL=IC2
Par ailleurs, comme M est le milieu de [IC] alors,
IM=IC2
De la même manière, en considérant le triangle ABI, on a : J milieu de [AB]  et  K celui de [AI] alors, JK=BI2
 
Or, I est le milieu de [BC] donc, BI=IC.
 
Par suite, en remplaçant BI par IC, on obtient :
JK=BC2=IC2
Ainsi, on a :
{KL=IC2IM=IC2JK=IC2
Par conséquent, JK=KL=IM

Exercice 21

Dans la figure ci-dessous, ABC est un triangle tel que D  et  E appartiennent à (AB), G  et  F appartiennent à (BC), K point d'intersection des droites (GD)  et  (AF).
 
 
1) Montrons que (EF)  et  (GD) sont parallèles.
 
En considérant le triangle BDG, on remarque que F est milieu de [GB]  et  E celui de [BD].
 
Donc, la droite (EF) passe par les points E  et  F ; milieux respectifs des côtés [BD]  et  [GB] de ce triangle.
 
Or, d'après le théorème de la droite des milieux, on sait que : dans un triangle, la droite qui passe par les milieux des deux côtés est parallèle au troisième côté.
 
Par conséquent, les droites (EF)  et  (GD) sont parallèles.
 
2) Montrons que K est le milieu de [AF].
 
En considérant le triangle AEF, on constate que D est milieu de [AE].
 
Alors, la droite (GD) passant par D et parallèle à la droite (EF), coupe [AF] en K.
 
Or, d'après la réciproque du théorème de la droite des milieux, on sait que : dans un triangle si, une droite est parallèle à un côté et si, elle passe par le milieu d'un deuxième côté alors, elle passe par le milieu du troisième côté.
 
Donc, d'après la réciproque du théorème de la droite des milieux, K est le milieu de [AF].
 
3) Comparons DK  et  DG.
 
En effet, 
 
En effet, d'après une conséquence du théorème de la droite des milieux, on sait que : dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de la longueur du troisième côté.
 
Alors, en considérant le triangle AEF, on a : K milieu de [AF]  et  D celui de [AE].
 
Par conséquent, DK=EF2
 
Ce qui donne : EF=2DK
 
De la même manière, en considérant le triangle BDG, on a : E milieu de [BD]  et  F celui de [GB].
 
D'où, EF=DG2
 
Ainsi, dans cette dernière égalité, en remplaçant EF par 2DK, on obtient :
 
EF=DG22DK=DG22×2DK=DG4DK=DG
 
D'où, DG=4DK
 
4) Montrons que (DG)  et  (AC) sont parallèles.
 
En considérant le triangle ACF, on a : G milieu de [CF]  et  K celui de [AF].
 
Donc, d'après le théorème de la droite des milieux, les droites (GK)  et  (AC) sont parallèles.
 
Ce qui signifie que (DG)  et  (AC) sont parallèles.

Exercice 22

EFG est un triangle rectangle en F.
 
Les points H, I  et  J sont les milieux respectifs des côtés [FG], [GE]  et  [EF].
 
Démontrons que le quadrilatère FHIJ est un rectangle.
 
En effet, dans le triangle EFG on a : I milieu de [GE]  et  J milieu de [EF].
 
Donc, d'après le théorème de la droite des milieux, la droite (IJ) est parallèle à la droite (FG).
 
D'où, (IJ) parallèle à (FH)
 
De la même manière, on a : I milieu de [GE]  et  H milieu de [FG].
 
Alors, d'après le théorème de la droite des milieux, la droite (IH) est parallèle à la droite (EF).
 
Par suite, (IH) parallèle à (JF)
 
Ainsi, on a :
{(IJ)(FH)(IH)(JF)
Donc, le quadrilatère FHIJ a ses côtés parallèles 2 à 2.
 
Alors, c'est un parallélogramme.
 
Par ailleurs, on sait que : si, un parallélogramme a un angle droit alors, c'est un rectangle
 
Or, le triangle EFG étant rectangle en F alors, l'angle ˆF est un angle droit.
 
Par conséquent, FHIJ est un rectangle.
 
 

Exercice 23

(C)  et  (C) sont deux cercles de centre O dont les rayons sont respectivement 2.5cm  et  5cm.
 
Une demi-droite [Ox) coupe (C) au point A  et  (C) au point B.
 
Une autre demi-droite [Oy) non opposée à [Ox) coupe (C) au point E  et  (C) au point F.
 
1) Démontrons que BF=2AE.
 
En effet, comme le rayon du cercle (C) est le double de celui du cercle (C) alors, on a :
 
OF=2OE ; ce qui signifie que E est le milieu de [OF]
 
OB=2OA ; ce qui veut dire que A est le milieu de [OB]
 
Or, d'après une conséquence du théorème de la droite des milieux, on sait que : dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés a pour longueur la moitié de la longueur du troisième côté.
 
Donc, en appliquant cette propriété au triangle OBF, on obtient :
AE=BF2
Ce qui donne alors :
BF=2AE
2) ABFE est un trapèze
 
Justification :
 
En effet, dans le triangle OBF, nous constatons que la droite (AE) passe par A  et  E ; milieux respectifs des côtés [OB]  et  [OF].
 
Donc, en appliquant le théorème de la droite des milieux sur le triangle OBF, on obtient : (AE) parallèle à (BF).
 
De plus, d'après la question 1), on a : BF=2AE donc, les segments [BF]  et  [AE] n'ont pas la même longueur.
 
Ainsi, ABFE est un quadrilatère dont deux côtés sont parallèles et de longueurs différentes.
 
Par conséquent, ABFE est un trapèze.
 

 
 
 
Auteur: 
Diny Faye

Commentaires

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