Solution des exercices : Multiples et diviseurs - 5e

Classe: 
Cinquième
 

Exercice 1

1) Parmi les quotients ci-dessous, déterminons ceux qui sont exacts.
 
On dit que le quotient est exact, si le reste de la division euclidienne d'un nombre entier a par un nombre entier b est égal à zéro.
 
a) 213÷9
 
Soit :
  21318 3327   6 923
On constate que le reste de la division euclidienne est égal à 6 donc, est différent de zéro. Par suite, le quotient n'est pas exact.
 
b) 22÷7
 
En posant l'opération, on obtient :
  2221 1 73
Comme le reste de la division n'est pas égal à zéro alors, ce quotient n'est pas exact.
 
c) 1029÷147
 
Soit :
  10291029 0 1477
On constate que le reste de la division est égal à zéro.
 
Par conséquent, ce quotient est exact.
 
d) 212÷18
 
En effectuant l'opération, on trouve :
  21218 3218   4 1811
On remarque que le reste est différent de zéro. Par suite, ce quotient n'est pas exact.
 
2) a) 125 est un multiple de 25
 
Justification
 
Par définition, a est multiple de b s'il existe q un nombre relatif non nul tel que : a=b×q
 
On constate que : 125=25×5
 
Donc, 125 est bien un multiple de 25
 
b) 14  n'est pas un diviseur de 147 
 
Justification
 
On dit que a est un diviseur de b s'il existe q un nombre relatif non nul tel que : q=b÷a
 
On a :
  14714 0700   7 1410
Comme le reste de la division euclidienne est différent de zéro alors, le quotient n'est pas exact.
 
Par conséquent, 14  n'est pas un diviseur de 147 

Exercice 2

1) Écrivons l'ensemble A des 10 premiers multiples de 15.
 
Pour déterminer les 10 premiers multiples de 15, on procède comme suit :
 
0×15=0 est le 1e multiple de 15
 
1×15=15 est le 2e multiple de 15
 
2×15=30 est le 3e multiple de 15
 
3×15=45 est le 4e multiple de 15
 
4×15=60 est le 5e multiple de 15
 
5×15=75 est le 6e multiple de 15
 
6×15=90 est le 7e multiple de 15
 
7×15=105 est le 8e multiple de 15
 
8×15=120 est le 9e multiple de 15
 
9×15=135 est le 10e multiple de 15
 
Par suite,
A={0; 15; 30; 45; 60; 75; 90; 105; 120; 135}
Remarque : 15 est le premier multiple non nul de 15.
 
2) Écrivons l'ensemble B des 10 premiers multiples de 20.
 
Comme dans la question 1), on a :
 
0×20=0 est le 1e multiple de 20
 
1×20=20 est le 2e multiple de 20
 
2×20=40 est le 3e multiple de 20
 
3×20=60 est le 4e multiple de 20
 
4×20=80 est le 5e multiple de 20
 
5×20=100 est le 6e multiple de 20
 
6×20=120 est le 7e multiple de 20
 
7×20=140 est le 8e multiple de 20
 
8×20=160 est le 9e multiple de 20
 
9×20=180 est le 10e multiple de 20
 
Ainsi,
B={0; 20; 40; 60; 80; 100; 120; 140; 160; 180}
Remarque : 20 est le premier multiple différent de zéro de 20.
 
3) Déterminons les multiples communs de 15 et de 20.
 
On remarque que les ensembles A  et  B ont en commun 0; 60  et  120
 
D'où, les multiples communs de 15 et de 20 sont :
AB={0; 60; 120}
4) 60 est le plus petit multiple commun différent de zéro de 15  et  20.
 
En effet, 60  et  120 sont les multiples communs de 15 et de 20 différents de zéro et que 60 est le plus petit.

Exercice 3

Pour déterminer les premiers multiples, on procède de la même manière que dans l'exercice 2.
 
1) Écrivons l'ensemble A des 14 premiers multiples de 10.
A={0; 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90; 100; 110; 120; 130}
2) Écrivons l'ensemble B des 14 premiers multiples de 20.
B={0; 20; 40; 60; 80; 100; 120; 140; 160; 180; 200; 220; 240; 260}
3) Écrivons l'ensemble C des 14 premiers multiples de 16.
C={0; 16; 32; 48; 64; 80; 96; 112; 128; 144; 160; 176; 192; 208}
4) Les multiples communs de 10; 20  et  16 sont les éléments appartenant à la fois à A, B  et  C.
 
On obtient alors :
ABC={0; 80}
5) 80 est le plus petit multiple commun différent de zéro de 10; 20  et  16.

Exercice 4

1) Écrivons l'ensemble D des diviseurs de 30.
D={1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}
2) Écrivons l'ensemble E des diviseurs de 12.
E={1; 2; 3; 4; 6; 12}
3) Déterminons les diviseurs communs de 30 et de 12.
 
Les diviseurs communs de 30 et de 12 sont les éléments appartenant à la fois à D et à E.
 
On obtient alors :
DE={1; 2; 3; 6}
4) Le plus grand diviseur commun différent de zéro de 30  et  12 est le plus grand élément de l'ensemble DE.
 
C'est donc le nombre 6.

Exercice 5

1) Écrivons l'ensemble M des diviseurs de 45.
M={1; 3; 5; 9; 15; 45}
2) Écrivons l'ensemble N des diviseurs de 63.
N={1; 3; 7; 9; 21; 63}
3) Écrivons l'ensemble P des diviseurs de 27.
P={1; 3; 9; 27}
4) Quelles sont les diviseurs communs de 45; 63 et de 27.
 
Les diviseurs communs de 45; 63 et de 27 sont les éléments appartenant à la fois à M; N et à P.
 
On obtient alors :
MNP={1; 3; 9}
5) Quel est le plus grand diviseur commun différent de zéro de 45; 63  et  12.
 
Le plus grand diviseur commun différent de zéro de 45; 63  et  12 est le plus grand élément de l'ensemble MNP.
 
Ce qui correspond  au nombre 9.

Exercice 6

1) Écrivons l'ensemble A des diviseurs de 19.
A={1; 19}
2) Écrivons l'ensemble B des diviseurs de 31.
B={1; 31}
3) On remarque que les ensembles A  et  B n'ont qu'un seul élément en commun : c'est le chiffre 1.
 
Donc, 1 est le seul diviseur commun de 19 et de 31.

Exercice 7

1) Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui même.
 
2) Écrivons l'ensemble M des nombres premiers supérieurs à 20 et inférieur à 50.
23293137414347
3) Le nombre entier naturel qui est à la fois pairs et premier est l'entier naturel 2.

Exercice 8 : " Nombres premiers"

Aucun des nombres suivants n'est premier.
129  143  146  231  289  221  301  427  899
Justifions la réponse.
 
En effet, on a :
 
129 est un nombre divisible par 3 donc, il n'est pas premier.
 
143=11×13 alors, 143 a quatre diviseurs 1, 11, 13  et  143 donc, 143 n'est pas premier.
 
146 est un nombre pair supérieur à 2 donc, il n'est pas premier.
 
231 est un nombre divisible par 3 donc, il n'est pas premier.
 
289=17×17 alors, 289 a trois diviseurs 1, 17  et  289 donc, 289 n'est pas premier
 
221=13×17 alors, 221 a quatre diviseurs 1, 13, 17  et  221 donc, 221 n'est pas premier
 
301=7×43 alors, 301 a quatre diviseurs 1, 7, 43  et  301 donc, 301 n'est pas premier
 
427=7×61 alors, 427 a quatre diviseurs 1, 7, 61  et  427 donc, 427 n'est pas premier
 
899=29×31 alors, 899 a quatre diviseurs 1, 29, 31  et  899 donc, 899 n'est pas premier

Exercice 9

Nous allons décomposer les nombres entiers naturels suivants en produit de facteurs premiers, puis les mettre les sous la forme de puissances simples.
180  126  380  504  1029  1250
On a : $1802902453153551\quaddonc,180=2^{2}\times 3^{2}\times 5$
 
Soit : $1262633213771\quadalors,126=2\times 3^{2}\times 7$
 
On a : $3802190295519191\quadparsuite,380=2^{2}\times 5\times 19$
 
Soit : $504225221262633213771\quadainsi,504=2^{3}\times 3^{2}\times 7$
 
On a : $102933437497771\quaddonc,1029=3\times 7^{3}$
 
Soit : $1250262551255255551\quadalors,1250=2\times 5^{4}$

Exercice 10

1) Calculons : 
 
a) PPCM(180; 210)
 
On commence par décomposer les nombres 180  et  210 en produits de facteurs premiers.
 
Alors, $1802902453153551\qquad21021055213771$
 
Donc, 180=22×32×5  et  210=2×3×5×7
 
Par suite,
 
$PPCM(180; 210)=22×32×5×7=1260$
 
Ainsi, PPCM(180; 210)=1260
 
b) PPCM(104; 240)    
 
En décomposant les nombres 104  et  240 en produits de facteurs premiers, on obtient :
 
$104252226213131\qquad24021202602302153551$
 
Donc, 104=23×13  et  240=24×3×5
 
Ainsi,
 
$PPCM(104; 240)=24×3×5×13=3120$
 
D'où, PPCM(104; 240)=3120
 
2) Calculons : 
 
a) PGCD(225; 360) 
 
On commence par décomposer les nombres 225  et  360 en produits de facteurs premiers.
 
Alors, $225545593331\qquad36021802902453153551$
 
Donc, 225=52×32  et  360=23×32×5
 
Par suite,
 
$PGCD(225; 360)=32×5=45$
 
D'où, PGCD(225; 360)=45
 
b) PGCD(172; 184)    
 
En décomposant les nombres 172  et  184 en produits de facteurs premiers, on obtient :
 
$172286243431\qquad184292246223231$
 
Donc, 172=22×43  et  184=23×23
 
Ainsi,
 
$PGCD(172; 184)=22=4$
 
D'où, PGCD(172; 184)=4

Exercice 11

On donne : 
 
1er cas : a=360; b=23×33
 
2ème cas : a=504; b=22×34
 
Dans chacun des cas ci-dessus, calculons :
 
PPCM(a; b)  et  PGCD(a; b)  
 
1er cas :
 
Soit a=360=23×32×5  et  b=23×33 alors, on a :
 
$PPCM(a; b)=23×33×5=1080$
 
D'où, PPCM(a; b)=1080
 
$PGCD(a; b)=23×32=72$
 
Donc, PGCD(a; b)=72
 
2ème cas :
 
Soit a=504=23×32×7  et  b=22×34 alors, on a :
 
$PPCM(a; b)=23×34×7=4536$
 
Ainsi, PPCM(a; b)=4536
 
$PGCD(a; b)=22×32=36$
 
Par suite, PGCD(a; b)=36

Exercice 12 : "Problème de la vie courante"

Deux groupes d'amis se réunissent au même endroit. Ils se sont rencontrés simultanément, la première fois, le premier janvier. 
 
Sachant que le premier groupe se réunit tous les deux jours et le second tous les cinq jours, Déterminons la date de leur deuxième rencontre simultanée. 
 
En effet, comme le 1er groupe se réunit tous les 2 jours et le second tous les 5 jours alors, le nombre de jours qui détermine leur deuxième rencontre simultanée sera le premier multiple non nul de 2 et de 5.
 
C'est donc le PPCM(2; 5)
 
On a : PPCM(2; 5)=2×5=10
 
Ainsi, comme ils se sont rencontrés simultanément, la première fois, le 1er janvier alors, la date de leur deuxième rencontre simultanée sera égale à :
 
$date 1er rencontre+nombre de jours déterminant leur 2e rencontre=1+10=11$
 
D'où, les deux groupes vont se rencontrer simultanément, le 11 Janvier, pour la deuxième fois. 

Exercice 13 : "Problème de la vie courante"

Un philatéliste possède 1631 timbres sénégalais et 932 étrangers. Il souhaite vendre toute sa collection en réalisant des lots identiques c'est-à-dire comportant le même nombre de timbres et la même répartition de timbres sénégalais et étranger.
 
1) Calculons PGCD(1631; 932)  et  PPCM(1631; 932)
 
En décomposant les nombres 1631  et  932 en produits de facteurs premiers, on obtient :
 
$163172332331\qquad932246622332331$
 
Donc, 1631=7×233  et  932=22×233
 
Ainsi, PGCD(1631; 932)=233
 
Aussi, on a :
 
$PPCM(1631; 932)=22×233×7=4×233×7=6524$
 
D'où, PPCM(1631; 932)=6524
 
2) Calculons le nombre maximum de lots qu'il pourra réaliser.
 
On sait que ce philatéliste veut réaliser des lots identiques, comportant le même nombre de timbres et la même répartition de timbres sénégalais et étranger.
 
Alors, le nombre maximum de lots qu'il pourra réaliser représente le plus grand diviseur commun de 1631  et  932.
 
Or, d'après le résultat de 1), on a : PGCD(1631; 932)=233 
 
Donc, le nombre maximum de lots qu'il pourra réaliser est égal à 233.
 
3) Déterminons dans ce cas le nombre de timbres sénégalais et étrangers par lot.
 
Pour cela, on divise respectivement le nombre de timbres sénégalais et étrangers par le nombre de lots.
 
On a alors :
 
$Nombre de timbres sénégalais par lot=nombre de timbres sénégalaisnombre de lots=1631233=7$
 
Donc, on aura 7 timbres sénégalais dans chaque lot.
 
$Nombre de timbres étrangers par lot=nombre de timbres étrangersnombre de lots=932233=4$
 
Ainsi, il y aura 4 timbres étrangers par lot.
 
Par conséquent, dans chaque lot, il y aura 7 timbres sénégalais et 4 timbres étrangers.

Exercice 14

1) Recopions et complétons les phrases suivantes par l'expression qui convient :
 
a) Soient p, q  et  t des entiers naturels.
 
Si p=q×t alors p est un multiple de q  et  t; q  et  t sont des diviseurs de p.
 
b) Tout nombre entier naturel est multiple de un.
 
c) 1 est diviseur de tout nombre entier naturel
 
d) 0 est multiple de tout nombre entier naturel.
 
2) Donnons la définition d'un nombre premier.
 
Un nombre premier est un nombre entier naturel qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui même.
 
3) Les cinq premiers nombres premiers sont :
2; 3; 5; 7; 11
4) Un nombre entier naturel a est multiple d'un entier naturel b si, et seulement si, il existe un nombre entier naturel q tel que :
a=b×q
5) Un nombre entier naturel b est diviseur d'un entier naturel c si, et seulement si, il existe un nombre entier naturel a tel que :
a=c÷b

Exercice 15

a) L'égalité 51=9×5+6 caractérise la division euclidienne de 51 par 9 mais ne caractérise pas la division euclidienne de 51 par 5
 
Justifions notre réponse.
 
En effet, dans l'égalité 51=9×5+6, le reste 6 est inférieur 9.
 
Donc, l'égalité 51=9×5+6 caractérise bien la division euclidienne de 51 par 9.
 
Par contre, le reste 6 est plus grand que 5.
 
Par conséquent, l'égalité 51=9×5+6 ne caractérise pas la division euclidienne de 51 par 5.
 
b) L'égalité 35=4×7+7 ne traduit ni la division euclidienne de 35 par 4, ni la division euclidienne de 35 par 7
 
Justifions notre réponse.
 
On sait que dans une division euclidienne le reste est toujours inférieur au diviseur.
 
Or, dans la relation 35=4×7+7, le reste 7 est supérieur au diviseur 4.
 
Donc, l'égalité 35=4×7+7 ne traduit pas la division euclidienne de 35 par 4.
 
Par ailleurs, le reste 7 est égal au diviseur 7.
 
D'où, l'égalité 35=4×7+7 ne traduit pas la division euclidienne de 35 par 7.
 
c) Donnons si possible le quotient exact de 135 par 9; 142 par 8; 165 par 11; 247 par 19.
 
En effet, on dit que le quotient est exact, si le reste de la division euclidienne d'un nombre entier a par un nombre entier b est égal à zéro.
 
Soit 135÷9
 
En posant et en effectuant l'opération, on obtient :
  135 9 45 45  0 915
On constate que le reste de la division euclidienne est égal à 0 donc, le quotient 15 est exact.
 
Soit 142÷8
 
En posant et en effectuant l'opération, on obtient :
  142 8 62 56  6 817
On remarque que le reste de la division euclidienne 6 est différent de 0.
 
Par conséquent, ce quotient n'est pas exact.
 
Soit 165÷11
 
En posant et en effectuant l'opération, on obtient :
  16511 55 55  0 1115
On constate que le reste de la division euclidienne est égal 0.
 
Par conséquent, 15 est un quotient exact.
 
Soit 247÷19
 
En posant et en effectuant l'opération, on obtient :
  24719 57 57  0 1913
On remarque que le reste de la division euclidienne est égal 0.
 
Donc, 13 est un quotient exact.

Exercice 16

Parmi les égalités ci-dessous, recopions celles qui représentent une division euclidienne ? Justifie.
 
a) 54=27×2+0
 
Dans l'égalité 54=27×2+0, on remarque que le reste est égal à 0 donc, on a un quotient exact.
 
Par conséquent, l'égalité 54=27×2+0 représente une division euclidienne de 54 par 27 et aussi de 54 par 2.
 
b) 16=2×7+2
 
Dans l'égalité 16=2×7+2, on constate que le reste est inférieur au diviseur 7 mais est égal au diviseur 2.
 
Par conséquent, l'égalité  16=2×7+2 représente une division euclidienne de 16 par 7.
 
c) 16=3×5+1
 
Dans l'égalité 16=3×5+1, le reste 1 est inférieur à 3 et à 5.
 
Par conséquent, l'égalité 16=3×5+1 représente une division euclidienne de 16 par 3 et aussi de 16 par 5.
 
f) 22=2×10+2
 
Dans l'égalité 22=2×10+2, le reste  est inférieur au diviseur 10 mais est égal au diviseur 2.
 
Donc, l'égalité 22=2×10+2 représente une division euclidienne de 22 par 10.
 
h) 30=3×9+3
 
Dans l'égalité 30=3×9+3, le reste  est inférieur au diviseur 9 mais est égal au diviseur 3.
 
Par conséquent, l'égalité 30=3×9+3 représente une division euclidienne de 30 par 9.

Exercice 17

Examinons les égalités suivantes :
280=13×18+46; 250=13×18+16; 240=13×18+6
Lorsqu'une de ces égalités correspond à une division euclidienne, précisons le diviseur, le dividende, le quotient et le reste de cette division.
 
l'égalité 250=13×18+16 correspond à une division euclidienne de 250 par 18.
 
Ainsi :
 
diviseur=18
 
dividende=250
 
quotient=13
 
reste=16
 
l'égalité 240=13×18+6 correspond à une division euclidienne de 240 par 13 ou encore de 240 par 18
 
Ainsi,
 
Pour la division euclidienne de 240 par 13, on a :
 
diviseur=13
 
dividende=240
 
quotient=18
 
reste=6
 
Pour la division euclidienne de 240 par 18, on a :
 
diviseur=18
 
dividende=240
 
quotient=13
 
reste=6

Exercice 18

1) Considérons les nombres suivants : 39, 91, 213, 117  et  36
 
On a :
 
  la division euclidienne de 39 par 13 donne : 39=13×3+0
 
Comme le reste est égal à 0 alors, c'est un quotient exact.
 
D'où, 39 est divisible par 13
 
  la division euclidienne de 91 par 13 donne : 91=13×7+0
 
On remarque que le reste est égal à 0 donc, le quotient est exact.
 
Par conséquent, 91 est divisible par 13
 
  la division euclidienne de 213 par 13 donne : 213=13×16+5
 
Le reste étant différent de 0 donc, le quotient n'est pas exact.
 
D'où, 213 n'est pas divisible par 13
 
  la division euclidienne de 117 par 13 donne : 117=13×9+0
 
Comme le reste est égal à 0 alors, le quotient est exact.
 
Par conséquent, 117 est divisible par 13
 
  la division euclidienne de 36 par 13 donne : 36=13×2+10
 
Comme le reste est différent de 0 alors, le quotient n'est pas exact.
 
D'où, 36 n'est pas divisible par 13
 
2) Trouvons les diviseurs communs aux nombres suivants : 12  et  16;15  et  24;12, 15  et  24;30  et  45;20, 30  et  50.
 
Pour cela, on donne la liste des diviseurs de chaque nombre puis on identifie les diviseurs communs à ces nombres.
 
Les diviseurs de 12 sont :
1; 2; 3; 4; 6; 12
Les diviseurs de 16 sont :
1; 2; 4; 8; 16
Donc, les diviseurs communs aux nombres 12  et  16 sont :
1; 2; 4
Les diviseurs de 15 sont :
1; 3; 5; 15
Les diviseurs de 24 sont :
1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24
Ainsi, les diviseurs communs aux nombres 15  et  24 sont :
1; 3
Par suite, les diviseurs communs aux nombres 12 , 15  et  24 sont :
1; 3
Les diviseurs de 30 sont :
1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30
Les diviseurs de 45 sont :
1; 3; 5; 9; 15; 45
Donc, les diviseurs communs aux nombres 30  et  45 sont :
1; 3; 5; 15
Les diviseurs de 20 sont :
1; 2; 4; 5; 10; 20
Les diviseurs de 50 sont :
1; 2; 5; 10; 25; 50
Par suite, les diviseurs communs aux nombres 20 , 30  et  50 sont :
1; 2; 5; 10

Exercice 19

a) Donnons deux multiples communs à 2; 5  et  8.
 
40  et  80 sont deux multiples communs à 2; 5  et  8.
 
b) Donnons les deux premiers multiples communs à 2; 3  et  5.
 
Le premier multiple différent de 0 commun à 2; 3  et  5 est donné par :
PPMC(2; 3; 5)=2×3×5=30
Donc, le deuxième multiple différent de 0 commun à 2; 3  et  5 est donné par :
30×2=60
Par suite, les deux premiers multiples communs à 2; 3  et  5 sont : 30  et  60
 
c) Donnons trois diviseurs communs à 24; 36  et  54.
 
On a : 1; 2  et  3 sont trois diviseurs communs à 24; 36  et  54.
 
d) 140 est multiple de 10
 
Justification :
 
En effet, tout nombre entier dont le dernier chiffre est égal à 0 est multiple de 10.
 
Donc, 140 est bien multiple de 10.
 
e) 123 est multiple de 3
 
Justification :
 
Un nombre entier est multiple de 3 si la somme de ses chiffres est multiple de 3.
 
Or, 1+2+3=6  et  6 est multiple de 3 donc, 123 est multiple de 3.
 
f) Donnons tous les multiples inférieurs à 101 de chacun des entiers suivants : 2; 3; 5  et  7.
 
  multiples de 2 inférieurs à 101
024681012141618202224262830323436384042444648505254565860626466687072747678808284869092949698100
  multiples de 3 inférieurs à 101
0369121518212427303336394245485154576063666972757881848790939699
  multiples de 5 inférieurs à 101
05101520253035404550556065707580859095100
  multiples 7 inférieurs à 101
0714212835424956637077849198
g) Donnons les diviseurs de chacun des entiers suivants : 18; 24; 60  et  63.
 
  diviseurs de 18
1236918
  diviseurs de 24
1234681224
  diviseurs de 60
123456101215203060
  diviseurs de 63
13792163
h) Donnons les multiples de 7 compris entre 25  et  133.
 
Ce sont les nombres entiers multiples de 7 et qui sont plus grands que 25 et plus petits que 133.
28354249566335424956637077849198105112119126
i) Donnons les multiples de 11 inférieurs à 112.
0112233445566778899110
j) Les multiples communs à 2  et  3 inférieurs à 67 sont donnés par :
0612182430364248546066
k) Les multiples communs à 5  et  7 inférieurs à 97 sont :
03570
l) Donnons trois multiples consécutifs de 5 inférieurs à 65 et supérieurs à 25.
 
35; 40  et  45 sont trois multiples consécutifs de 5 inférieurs à 65 et supérieurs à 25.
 
On peut aussi choisir :
 
30; 35; 40
 
40; 45; 50
 
50; 55; 60
 
45; 50; 55

Exercice 20

1) Trouvons les diviseurs des nombres suivants : 19; 21; 33; 47; 40.
 
Les diviseurs de 19 sont :
1; 19
Les diviseurs de 21 sont :
1; 3; 7; 21
Les diviseurs de 33 sont :
1; 3; 11; 33
Les diviseurs de 47 sont :
1; 47
Les diviseurs de 40 sont :
1; 2; 4; 10; 20; 40
2) Les nombres 19  et  47 sont premiers.
 
On constate que 19  et  47 ont exactement deux diviseurs : 1 et eux-mêmes.
 
Par conséquent, ce sont des nombres premiers.
 
3) En utilisant la méthode du crible d'Eratosthène donnons dans l'ordre croissant les entiers naturels premiers compris entre 100  et  200.
 
La méthode du crible d'Eratosthène consiste à éliminer tous les multiples des nombres premiers connus.
 
Or, les nombres premiers connus inférieurs à 100 sont :
2357111317192329313741434753596167717379838997
On élimine ensuite leurs multiples compris entre 100  et  200.
 
On obtient alors, dans l'ordre croissant, les entiers naturels premiers compris entre 100  et  200.
101103107109113127131137139149151157163167173179181191193197199

Exercice 21

1) Rappelons la règle pour justifier qu'un nombre est premier.
 
Pour justifier qu'un nombre entier naturel est premier, il suffit de vérifier qu'il a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
 
2) Les entiers naturels 131  et  109 sont premiers.
 
Par contre, les entiers naturels 91; 201; 203;  et  301 ne sont pas premiers.
 
Justifions notre réponse.
 
En effet,
 
131 a exactement deux diviseurs : 1  et  131 donc, 131 est un nombre premier.
 
109 a exactement deux diviseurs : 1  et  109. Par conséquent, 109 est un nombre premier.
 
91=7×13 alors, 91 a quatre diviseurs 1, 7, 13  et  91 donc, 91 n'est pas un nombre premier
 
201=67×3 alors, 201 a quatre diviseurs 1, 3, 67  et  201 donc, 201 n'est pas un nombre premier
 
203=7×29 alors, 203 a quatre diviseurs 1, 7, 29  et  203 donc, 203 n'est pas un nombre premier
 
301=7×43 alors, 301 a quatre diviseurs 1, 7, 43  et  301 donc, 301 n'est pas un nombre premier

Exercice 22

1) Décomposons les nombres suivants en produits de facteurs premiers :
 
6; 9; 12; 14; 17; 19; 42; 50; 60; 63; 70; 76; 84; 91
 
On a : $62331\quaddonc,6=2\times 3$
 
Soit : $93331\quadalors,9=3^{2}$
 
On a : $12262331\quadparsuite,12=2^{2}\times 3$
 
Soit : $142771\quadainsi,14=2\times 7$
 
On a : $17171\quaddonc,17=17\times 1$
 
Soit : $19191\quad\text{alors, }19=19\times 1$
 
Soit : $422213771\quadonobtientalors:42=2\times 3\times 7$
 
On a : $502255551\quadparsuite,,50=2\times 5^{2}$
 
Soit : $602302153551\quadcequidonne:60=2^{2}\times 3\times 5$
 
On a : $633213771\quadd'où, 63=3^{2}\times 7$
 
Soit : $702355771\quadainsi, 70=2\times 5\times 7$
 
Soit : $76238219191\quadce qui donne : 76=2^{2}\times 19$
 
On a : $842422213771\quadpar suite, 84=2^{2}\times 3\times 7$
 
Soit : $91713131\quadainsi, 91=7\times 13$
 
2) Écrivons chacun des produits suivants sous forme d'un produit de facteurs premiers.
 
Soit : A=14\times 18
 
On commence d'abord par décomposer 14\ et \ 18 en produits de facteurs premiers.
 
Ce qui donne : $142771\qquad18293331$
 
Par suite, 14=2\times 7\ et \ 18=2\times 3^{2}
 
Ensuite, dans l'écriture de A, on remplace 14\ et \ 18 par leurs produits de facteurs premiers :
 
A=14\times 18=2\times 7\times 2\times 3^{2}
 
Enfin, on utilise l'associativité de la multiplication pour regrouper les termes semblables.
 
$2×7×2×32=2×2×32×7=22×32×7$
 
D'où : \boxed{A=2^{2}\times 3^{2}\times 7}
 
Soit : B=21\times 22\times 23
 
On sait que 23 est un nombre premier donc, pour écrire B sous forme d'un produit de facteurs premiers il suffit de décomposer 21\ et \ 22 en produits de facteurs premiers.
 
Ainsi, $213771\qquad22211111$
 
Donc, 21=3\times 7\ et \ 22=2\times 11
 
En remplaçant dans l'écriture de B, on obtient :
 
B=21\times 22\times 23=3\times 7\times 2\times 11\times 23
 
D'où, \boxed{B=3\times 7\times 2\times 11\times 23}
 
Soit : C=10\times 11\times 12\times 13
 
On sait que 11\ et \ 13 sont des nombres premiers donc, on va d'abord décomposer 10\ et \ 12 en produits de facteurs premiers.
 
Soit alors : $102551\qquad12262331$
 
Par suite, 10=2\times 5\ et \ 12=2^{2}\times 3
 
Ensuite, dans l'écriture de C, on remplace 10\ et \ 12 par leurs produits de facteurs premiers :
 
C=10\times 11\times 12\times 13=2\times 5\times 11\times 2^{2}\times 3\times 13
 
Enfin, on utilise l'associativité de la multiplication pour regrouper les termes semblables.
 
$2×5×11×22×3×13=2×22×3×5×11×13=23×3×5×11×13$
 
D'où : \boxed{C=2^{3}\times 3\times 5\times 11\times 13}
 
Soit : D=81\times 121\times 169
 
On commence par décomposer les nombres 81\;,\ 121\ et \ 169 en produits de facteurs premiers.
 
Alors, $81327393331\qquad1211111111\qquad1691313131$
 
Donc, 81=3^{4}\;;\ \ 121=11^{2}\ et \ 169=13^{2}
 
Par suite, D=81\times 121\times 169=3^{4}\times 11^{2}\times 13^{2}
 
D'où : \boxed{D=3^{4}\times 11^{2}\times 13^{2}}

Exercice 23

1) Déterminons :
 
-\ le PPCM de 14\ et \ 15
 
On constate que 14\ et \ 15 sont deux entiers naturels consécutifs.
 
Donc,
 
$PPCM(14; 15)=14×15=210$
 
D'où, \boxed{PPCM(14\;;\ 15)=210}
 
-\ le PPCM de 24\ et \ 48
 
On constate que 48 est un multiple de 24.
 
Par conséquent, \boxed{PPCM(24\;;\ 48)=48}
 
-\ le PPCM de 36\ et \ 84
 
En décomposant les nombres 36\ et \ 84 en produits de facteurs premiers, on obtient :
 
$36218293331\qquad842422213771$
 
Alors, 36=2^{2}\times 3^{2}\ et \ 84=2^{2}\times 3\times 7
 
Donc, 
 
$PPCM(36; 84)=22×32×7=4×9×7=252$
 
D'où, \boxed{PPCM(36\;;\ 84)=252}
 
2) Dans chaque cas suivant, déterminons le PPCM de A\ et \ B\ :
 
a) A=2^{7}\times 3^{2}\times 5\times 7\ et \ B=2^{5}\times 3\times 5^{2}
 
Alors, on a :
 
$PPCM(A; B)=27×32×52×7=128×9×25×7=201600$
 
Ainsi, \boxed{PPCM(A\;;\ B)=201\,600}
 
b) A=2^{3}\times 3\times 5^{2}\times 7\ et \ B=2\times 3^{2}\times 5\times 11
 
On a alors :
 
$PPCM(A; B)=23×32×52×7×11=8×9×25×7×11=138600$
 
D'où, \boxed{PPCM(A\;;\ B)=138\,600}
 
c) A=100\ et \ B=180
 
On décompose d'abord les nombres 100\ et \ 180 en produits de facteurs premiers.
 
On a alors :
 
$1002502255551\qquad1802902453153551$
 
Donc, A=2^{2}\times 5^{2}\ et \ B=2^{2}\times 3^{2}\times 5
 
Ainsi, 
 
$PPCM(A; B)=22×32×52=4×9×25=900$
 
D'où, \boxed{PPCM(A\;;\ B)=900}

Exercice 24

1) Déterminons :
 
-\ le PGDC de 56\ et \ 60
 
En décomposant les nombres 56\ et \ 60 en produits de facteurs premiers, on obtient :
 
$562282142771\qquad602302153551$
 
Alors, 56=2^{3}\times 7\ et \ 60=2^{2}\times 3\times 5
 
Donc, 
 
$PGDC(56; 60)=22=4$
 
D'où, \boxed{PGDC(56\;;\ 60)=4}
 
-\ le PGDC de 12\ et \ 18
 
On décompose les nombres 12\ et \ 18 en produits de facteurs premiers.
 
On obtient alors :
 
$12262331\qquad18293331$
 
Donc, 12=2^{2}\times 3\ et \ 18=2\times 3^{2}
 
Ainsi, 
 
$PGDC(12; 18)=2×3=6$
 
D'où, \boxed{PGDC(12\;;\ 18)=6}
 
-\ le PGDC de 200\ et \ 280
 
En décomposant les nombres 200\ et \ 280 en produits de facteurs premiers, on obtient :
 
$20021002502255551\qquad28021402702355771$
 
Alors, 200=2^{3}\times 5^{2}\ et \ 280=2^{3}\times 5\times 7
 
Donc, 
 
$PGDC(200; 280)=23×5=8×5=40$
 
D'où, \boxed{PGDC(200\;;\ 280)=40}
 
2) Déterminons le PGDC de A\ et \ B dans chaque cas suivants :
 
a) A=2^{4}\times 7\times 11\ et \ B=2^{3}\times 7^{2}\times 11^{3}\times 5
 
On a alors :
 
$PGDC(A; B)=23×7×11=8×7×11=616$
 
D'où, \boxed{PGDC(A\;;\ B)=616}
 
b) A=2^{7}\times 5^{8}\times 13\ et \ B=5^{4}\times 23
 
On a alors :
 
$PGDC(A; B)=54=625$
 
D'où, \boxed{PGDC(A\;;\ B)=625}
 
c) A=5\times 7\ et \ B=11\times 13
 
On a alors : \boxed{PGDC(A\;;\ B)=1}

Exercice 25

a) Trouvons deux nombres entiers dont le PGDC est égal à 8.
 
Soit A\ et \ B deux nombres entiers tels que : PGDC(A\;;\ B)=8
 
Donc, en multipliant 8 respectivement par deux nombres premiers distincts, on obtient A\ et \ B.
 
Ainsi, on a : A=8\times 2=16\ et \ B=8\times 3=24
PGDC(16; 24)=8
b) Trouvons trois nombres entiers dont le PGDC est égal à 11.
 
Soit A\;;\ B\ et \ C trois nombres entiers tels que : PGDC(A\;;\ B\;;\ C)=11.
 
Alors, en multipliant 11 respectivement par trois nombres premiers distincts, on obtient A\;;\ B\ et \ C.
 
Donc, on a : A=11\times 2=22\;;\ B=11\times 3=33\ et \ C=11\times 5=55
PGDC(22; 33; 55)=11
c) Trouvons deux nombres entiers dont le PPMC est égal à 100.
 
Soit A\ et \ B deux nombres entiers tels que : PPMC(A\;;\ B)=100
 
Alors, en divisant respectivement par deux nombres entiers distincts, on obtient A\ et \ B.
 
Ainsi, on a : A=100\div 2=50\ et \ B=100\div 5=20
PPMC(50; 20)=100
d) Trouvons trois nombres entiers naturels dont le PPMC est 48.
 
Soit A\;;\ B\ et \ C trois nombres entiers tels que : PPMC(A\;;\ B\;;\ C)=48.
 
Alors, en divisant 48 respectivement par trois nombres entiers distincts, on obtient A\;;\ B\ et \ C.
 
Donc, on a : A=48\div 2=24\;;\ B=48\div 3=16\ et \ C=48\div 6=8
PPMC(24; 16; 8)=48

Exercice 26

1) Trouvons PPMC(18\;;\ 42)\ et \ PPMC(9\;;\ 21).
 
En décomposant les nombres 18\ et \ 42 en produits de facteurs premiers, on obtient : 18=2\times 3^{2}\ et \ 42=2\times 3\times 7
 
Donc,
 
$PPMC(18; 42)=2×32×7=2×9×7=126$
 
D'où, \boxed{PPMC(18\;;\ 42)=126}
 
En décomposant les nombres 9\ et \ 21 en produits de facteurs premiers, on obtient : 9=3^{2}\ et \ 21=3\times 7
 
Donc,
 
$PPMC(9; 21)=32×7=9×7=63$
 
D'où, \boxed{PPMC(9\;;\ 21)=63}
 
2) Trouvons PPMC(18\;;\ 42\;;\ 21).
 
On a : 18=2\times 3^{2}\;;\ 42=2\times 3\times 7\ et \ 21=3\times 7
 
Alors,
 
$PPMC(18; 42; 21)=2×32×7=2×9×7=126$
 
D'où, \boxed{PPMC(18\;;\ 42\;;\ 21)=126}
 
3) Trouvons PGCD(9\;;\ 30\;;\ 45).
 
En décomposant les nombres 9\;;\ 30\ et \ 45 en produits de facteurs premiers, on obtient : 9=3^{2}\;;\ 30=2\times 3\times 5 et \ 45=3^{2}\times 5
 
Ainsi, \boxed{PGCD(9\;;\ 30\;;\ 45)=3}

 

 
Auteur: 
Diny Faye

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Le reste des corrections exercices 7 ...

Le reste des corrections

C'est bien

C'est bien

Je veux la correction de l'exercice 25

c est trop bien

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