Exercices : géométrie dans l'espace 3e
Classe:
Troisième
Exercice 1
Une pyramide régulière à base carrée a pour hauteur 21cm21cm ; son volume est de 847cm3.
a) Calcule le coté du carré de sa base.
b) Détermine la longueur [AC].
c) Calcule la longueur des arêtes de la pyramide.
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig57.png)
Exercice 2
Soit SABCD une pyramide régulière à base carrée de hauteur [SH].Faire la figure. On donne aire de base 50cm2 et une arête [SA] 13cm.
1) Calculer la valeur exacte de AB, puis démontrer que AC=10cm.
2) Calcule [SH] et le volume de SABCD.
Exercice 3
Une boîte de chocolats a la forme d'une pyramide tronquée (figure ci-dessous). Le rectangle ABCD de centre H et le rectangle A′B′C′D′ de centre H′ sont des plans parallèles. On donne : AB=6cm; BC=18cm; HH′=8cm; SH=24cm.
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig58.png)
1) Calcule le volume V1 de la pyramide SABCD de hauteur SH.
2) Quel est le coefficient k de la réduction qui permet de passer de la pyramide SABCD à la pyramide SA′B′C′D′ de hauteur SH′?
3) Déduis en le volume V2 de la pyramide SA′B′C′D′ puis le volume V3 de la boîte de chocolats ?
Exercice 4
SABCD est une pyramide régulière dont la base est un carré de 240cm de coté.
1) On coupe cette pyramide par un plan parallèle à sa base. Le tronc de pyramide obtenu (la partie différente de la réduction) est un récipient de 30cm de profondeur et dont l'ouverture est un carré de 80cm de coté.
a) Montre que la hauteur de la pyramide initiale SABCD est de 45cm et que celle de la pyramide réduite est 15cm.
b) Calcule le volume de ce récipient.
2) Les faces latérales de ce récipient sont des trapèzes de mêmes dimensions.
a) Montre que la hauteur de ces trapèzes est 10√73cm.
b) calcule l'aire latérale de ce récipient.
Exercice 5
SABCD est une pyramide régulière dont la base est le carré ABCD de côté 5cm et de centre I. La hauteur [SI] de la pyramide a pour longueur SI=3cm.
1) Calculer le volume de la pyramide.
2) Soit M le milieu de l'arête [BC].
Démontrer que la longueur IM=2.5cm.
3) On admet que le triangle SIM est rectangle en I.
a) Calculer tan MSI
b) En déduire la mesure de l'angle ^MSI à un degré prés
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig59.png)
Exercice 6
SABCD est une pyramide de hauteur [OS]. Son volume est de 240cm3 et sa hauteur [OS] mesure 15cm
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig60.png)
1) A partir de la formule donnant le volume de la pyramide, calculer l'aire de la base (ABCD).
2) O′ est le point du segment [SO] tel que O′S=12OS.
Le plan passant par O′ et parallèle à la base (ABCD) coupe les droites (SA) en A′ (SB) en B′, (SC) en C′ et (SD) en D′.
Calculer le volume de la pyramide (SA′B′C′D′).
3) On donne OA=5cm. calculer au degré près la mesure de l'angle ^OSA.
Exercice 7
Figure ci-dessous représente le patron de la partie latérale d'un cône de révolution.
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig61.png)
1) Montrer que le rayon de sa base est 4cm et que sa hauteur h mesure 2√5cm
2) Calculer son volume.
3) On coupe ce cône par un plan parallèle à sa base à 23 de la hauteur à partir de la base. Calculer le volume du tronc.
Exercice 8
Le chapeau d'un berger a la forme d'un cône de révolution de sommet S (voir figure ci-dessous) : IH=10cm, SH=10cm. H est le centre du disque de base.
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig62.png)
1) Calculer le volume de ce cône.
2) Le berger recouvre son chapeau extérieurement d'un papier de décoration vendu par feuille carrée de 10cm de coté et à 1000 F la feuille. Calculer la dépense minimale.
Exercice 9
On se propose de calculer le volume d'un seau qui a la forme d'un tronc de cône de révolution.
On donne OS=2√13 et OA=2a. a étant un nombre réel positif, et O′ milieu de [OS].
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig63.png)
1) Calcule O′A′ en fonction de a.
2) On prend a=√3 pour la suite et pour unité le décimètre.
a) Calcule le volume du cône initial.
b) Calcule le volume du cône réduit et en déduire celui du seau.
Exercice 10
C est un cône de sommet S et de base un disque D de rayon 5cm. Le volume de ce cône est de 80cm3. Le disque D′ de rayon 3cm est une section du cône C par un plan parallèle à la base. C′ est le cône de sommet S et de base le disque D′. On se propose de calculer le volume de C′.
a) D′ est une réduction de D ; à l'aide des rayons de D et de D′, calcule l'échelle de cette réduction.
b) Quelle formule permet de calculer le volume de C′ à partir du volume de C ? Calcule le volume de C′.
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig64_0.png)
Exercice 11
Soit SABCD une pyramide régulière à base carrée. Sa hauteur mesure 6cm ; le coté de sa base mesure 4cm.
O est le centre de la base.
1) Dessine la pyramide en perspective cavalière.
2) Calculer la longueur de ses arêtes latérales.
3) Dessine le patron de cette pyramide (échelle 1/2)
4) Calculer l'aire latérale et l'aire totale.
5) Calculer le volume de cette pyramide.
Exercice 12
ABCD est un tétraèdre tel que : la base ABC est rectangle en A et de hauteur [AD]. On suppose que AB=6cm; AC=8cm et AD=8cm.
1) Dessine ce tétraèdre en perspective cavalière.
2) Montrer que BCD est un triangle isocèle en B.
3) Calculer le volume de ce tétraèdre.
4) Calculer l'aire totale de ce tétraèdre.
Exercice 13
L'unité de longueur est le cm. ACBE est un losange tel que : CE=12 et AB=6.
1) Représente ACBE en dimensions réelles.
2) S est un point n'appartenant pas au plan contenant ce losange tel que : SABC soit un tétraèdre de hauteur [SB] avec SB=8.
a) Calculer SA et SC (on remarquera que (SB)⊥(BA) et (SB)⊥(BC)).
b) Calculer l'aire de ACBE en déduire l'aire de ABC.
c) Calculer le volume du tétraèdre SABC.
Exercice 14
La figure ci-dessous EFGHIJLK est un parallélépipédique rectangle tel que : EF=8cm; EH=6cm et HK=4cm.
1) Calculer le volume du parallélépipède et l'aire totale.
2) Calculer EG.
3) Calculer l'aire du triangle EGH.
4) Calculer le volume de la pyramide de base EGH de sommet K.
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig65_0.png)
Exercice 15
La figure ci-dessous est une partie d'un patron de la pyramide régulière SABC.
1) Terminer ce patron.
2) Calculer l'apothème de cette pyramide.
3) Calculer l'aire latérale et l'aire totale.
4) Calculer la hauteur et le volume.
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig66_0.png)
Exercice 16
SAB est un cône de révolution de sommet S de centre O et du diamètre de base le segment [AB] tel que : AB=4cm et SO=8cm.
1) Dessine ce cône en perspective cavalière.
2) Calculer la génératrice [SA].
3) Calculer le volume et l'aire totale du cône.
4) Calculer l'angle d'ouverture du développement de ce cône.
5) Représenter le patron de ce cône.
Exercice 17
Une balise est formée d'une demi boule surmontée d'un cône de révolution comme l'indique la figure ci-dessous. On donne AB=10cm et BC=12cm.
1) Calculer la distance AO.
2) Calculer le volume V de la balise.
3) Calculer l'aire latérale Alat de la balise.
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig64_1.png)
Exercice 18
Une pyramide de sommet S et de base le trapèze ABCD a pour hauteur SA=8cm. On donne AB=6cm; DC=4cm et AD=3cm. Le trapèze est rectangle de bases [AB] et [DC].
1) Calculer l'aire de ce trapèze.
2) Faire une figure de la pyramide.
3) Préciser la nature du triangle SAB. Calculer SB.
4) Calculer le sinus de l'angle ^ABS.
5) Un plan P sectionne la pyramide (ABCDS) parallèlement à sa base (ABCD) à 1/3 de sa hauteur [SA] à partir de A et coupe respectivement les arêtes [SA]; [SB]; [SC] et [SD] en I, J, K et L. Compléter la figure et préciser la nature de la section (IJKL).
6) Monter que IJAB=23 et en déduire IJ.
7) Calculer le volume de la pyramide (IJKLS) et celui du tronc (IJKLABCD).
Exercice 19
Un entrepreneur des travaux publics doit aménager le long des allées d'une avenue des bancs en béton. Il hésite entre deux modèles :
Le modèle 1 a la forme d'un tronc de cône de révolution dont les bases parallèles ont respectivement 20cm et 10cm de rayons.
Le modèle 2 a la forme d'un tronc de pyramide dont les bases parallèles sont des carrées de cotés respectifs 40cm et 20cm.
Les deux modèles ont une hauteur de 50cm.
1) Représenter chaque modèle.
2) Sachant que le modèle le moins volumineux est le plus économique pour l'entrepreneur ; aidez le à faire le bon choix.
Exercice 20
Un réservoir est constitué d'un cylindre de rayon de base r et de hauteur h et d'un cône de révolution de même rayon de base et de hauteur h′=3h2. (Voir la figure ci-dessous)
1) Montrer que le volume de cylindre est le double de celui du cône.
2) Dans la suite on donne r=4cm.
a) Calculer la hauteur h′ du cône pour que le volume du réservoir soit de 528cm3.
b) Pour créer une ouverture du réservoir on coupe le cône à mi-hauteur parallèlement au plan de sa base. On obtient un réservoir ayant la forme indiquée par la figure ci-dessous : Calculer le volume restant du réservoir.
On donne π≅227
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig62_1.png)
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig63_0.png)
Exercice 21
On considère une pyramide de sommet E et de base un carré ABCD et de hauteur [EA].
On donne EA=AB=5cm.
1) Calculer la longueur AC et en déduire la longueur CE.
2) Démontrer que le triangle EBC est rectangle en B.
3) On coupe cette pyramide par un plan P1 parallèle à sa base à 13 à partir de la base. Calculer le volume du tronc de pyramide obtenu.
4) Soit C1 le cercle circonscrit à la base ABCD de la pyramide EABCD. Déterminer son centre et son rayon.
5) On considère le cône de révolution de base C1, de sommet F et de hauteur [FO] telle que FO=5cm. Calculer l'aire latérale de ce cône.
6) On coupe ce cône par un plan P2 parallèle à sa base à 25 à partir du sommet. Calculer le volume du tronc de cône obtenu.
Exercice 22
Répondre par vraie ou fausse en justifiant la réponse
1) Un cône de révolution dont la hauteur mesure 10cm et dont le rayon de base mesure 6cm a un volume de 360πcm3.
2) Si on double l'arête d'un cube son volume est multiplié par 2.
Exercice 23
Recopie puis réponds par vrai ou faux :
1) Un tétraèdre est une pyramide qui a quatre faces.
2) La hauteur d'une pyramide est la droite qui relie son sommet au centre de sa base.
3) Une génératrice d'un cône de révolution est un segment qui relie le sommet du cône à un point du cercle de base.
4) Si une pyramide a sept faces, alors sa base est un hexagone.
5) La hauteur d'une pyramide passe toujours par le centre de la base.
6) Le patron d'un cône de révolution est constitué de 2 disques pleins.
7) Dans un cône de révolution, la longueur d'une génératrice est le périmètre du disque de base.
Exercice 24
Reproduis la figure puis relie chaque phrase de la colonne A à un nom de figure de la colonne B.
Colonne AColonne BLa section d'une pyramide à base carréehexagonepar un plan parallèle à la base est unLa section d'un tétraèdre régulier par uncarréplan parallèle à la base est unLa section d'une pyramide à basetrianglehexagonale par un plan parallèle à laéquilatéralbase est un
Exercice 25
1) ABCD est une pyramide dont la base est un triangle rectangle et isocèle en C tel que :
AB=2.5cm et BC=3cm.
(Voir figure ci-dessous)
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig6.jpg)
Construis le patron de cette pyramide.
2) Construis le patron d'un cône de révolution de rayon de base 3cm et de génératrice 5cm.
Exercice 26
EFGHLIJK est un parallélépipède rectangle tel que :
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig7.jpg)
EF=4cm, EH=4cm et HK=8cm.
1) Calcule le volume du parallélépipède.
2) Calcule EG.
3) Calcule l'aire du triangle EGH.
4) Calcule le volume de la pyramide de base EGH et de sommet L.
5) Calcule l'aire totale de cette pyramide.
Exercice 27
La figure ci-dessous représente un tronc de cône dont les bases ont pour aires 12cm2 et 100cm2.
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig8.jpg)
La distance OO′ des centres de bases est égale à 6cm.
1) Calcule la hauteur puis le volume du cône.
2) Calcule le volume du tronc de cône.
Exercice 28
Le solide A′B′C′D′ABCD est une caisse qui a la forme du tronc d'une pyramide régulière SABCD à base carrée qui peut contenir 2024cm3 de mil.
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig9.jpg)
On donne :
SA′=10cm, SO=28cm, AC=20cm et AB=15cm.
1) Que représente [SA] pour la pyramide ?
2) Calcule sa longueur.
3) Calcule le volume de la pyramide SABCD.
Exercice 29
Cette médaille ci-dessous est tirée d'un patron d'une pyramide à base hexagonale.
On y voit 6 faces qui sont des triangles équilatéraux superposables.
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig10.jpg)
La hauteur de chaque triangle est de 4√3cm.
Calcule :
1) l'arête de base de la pyramide ;
2) l'aire de base de la pyramide ;
3) sachant que la hauteur SO de la pyramide vaut 6cm, calcule le volume et l'aire latérale de la pyramide.
Exercice 30
Fatou mange de la glace ayant la forme d'un cône de révolution.
Au bout d'un moment, la hauteur de sa glace diminue de moitié.
Les figures ci-dessous schématisent la situation.
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig11.jpg)
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig12.jpg)
On donne :
SA=15cm et OA=2cm.
On admet que les droites (OA) et (O′A′) sont parallèles.
1) Dessine le triangle SAO à l'échelle 12 et calcule O′A′.
2) Calcule le volume de la glace que Fatou a mangé.
Quelle fraction du volume initial lui reste-t-il à manger ?
Exercice 31
On considère le tronc de cône ci-dessous associé à un cône de révolution de sommet S et de rayon OB=6cm.
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig13.jpg)
1) Sachant que OO′=4cm ; OB=6cm et O′A=3cm,
montre que :
AB=5cm.
2) Montre que la hauteur SO de ce cône est égale à 8cm.
3) La génératrice SB de ce cône est égale à 10cm ;
calcule l'aire latérale AL du cône.
4) Ce cône de révolution est obtenu d'un secteur circulaire d'angle α.
Calcule en degré la mesure de l'angle α du développement de ce cône.
5) Calcule le volume Vc du cône initial.
Exercice 32
Le dessin ci-dessous représente un réservoir formé d'un tronc de cône de hauteur 6dm et de rayon de base (petite base) 4dm ; d'un cylindre de hauteur 8.5dm et de rayon 7dm.
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig14.jpg)
Calcule :
a) Le volume V1 du tronc de cône ;
b) Le volume V2 du cylindre et le volume total Vt du réservoir.
Exercice de Synthèse
I. Le schéma ci-dessous représente le patron d'un cône de révolution de sommet S, de rayon de base r.
La génératrice [SA] a pour longueur 36cm.
1) Justifie que la circonférence de sa base mesure 54πcm.
2) Montre que son rayon de base r vaut 27cm.
3) Justifie que la hauteur de ce cône est égale à 9√7cm
4) Calcule l'aire totale de ce cône.
On prendra π=3.14
5) On sectionne ce cône et le rayon du cône réduit est égal à 15cm.
Déterminer le coefficient de réduction ainsi que le volume du cône réduit
![](https://sunudaara.com/sites/default/files/fig455_1.png)
II. Soit un cône de révolution de sommet S et dont la base est un disque de centre O et de rayon OA égal à 3cm
1) Sachant que l'angle OSA=30∘ ; calculer la génératrice SA de ce cône et montre que SO=3√3
2) Montre que le volume de ce cône de révolution est 9π√3cm3
3) On coupe ce cône par un plan parallèle à sa base de telle sorte que la base du cône réduit qui en résulte ait une aire de 94πcm2.
Calculer le coefficient de réduction k et en déduire le volume V′ du cône réduit.
III. SABCD est une pyramide à base carrée ABCD de centre H.
On donne :
AB=20cm, SA=40cm, SH est la hauteur et A′ est le milieu de [SA].
On coupe la pyramide par un plan parallèle à sa base passant par A′.
1) Calcule AC, AH et SH
2) Soit K milieu de [AB], calculer SK
3) Calcule l'aire de base
4) Calcule le volume de la pyramide SABCD.
Déduis-en le volume V′ de la pyramide réduite
VI. Dans cet exercice, les longueurs sont exprimées en cm
La relation entre la longueur c du côté d'un carre et la longueur d de sa diagonale est donnée par la formule d=c√2.
On donne c=√8
1) a) Montrer que la longueur de sa diagonale est un nombre entier.
b) Montrer que l'aire en cm2 de ce carré est un nombre entier
2) La longueur de la diagonale d'un autre carré est √40
Calculer la longueur de son côté et exprimer cette longueur sous la forme a√5 où a est un nombre entier naturel
V. Le volume d'un parallélépipède est égal :
a) (L+l)×h
b) (L−l)+h
c) L×l×h
$▸Correction des exercices $
Ordre:
13
Commentaires
Anonyme (non vérifié)
sam, 05/25/2019 - 10:23
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Merci pour tout
Ndeye sokhna (non vérifié)
sam, 04/11/2020 - 22:53
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La correction de l’exercice
Anonyme (non vérifié)
lun, 05/31/2021 - 02:59
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La correction de l'exercice
Anonyme (non vérifié)
jeu, 04/29/2021 - 22:23
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Correction exercice 12 svp
Anonyme (non vérifié)
mer, 05/19/2021 - 22:51
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Correction de l'exercice 6
Anonyme (non vérifié)
lun, 05/31/2021 - 03:00
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Exo 32 correction
Dieynaba thiare (non vérifié)
lun, 04/29/2024 - 23:27
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Tétraèdre
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