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Organisation d'un calcul 6e

Classe:

Sixième

I. Règles de priorité des opérations

I.1 Priorité des parenthèses

Règles :

Les opérations entre parenthèses sont prioritaires sur toute autre opération.

Exemples :

$\begin{array}{rcl} A&=&3\times(4.5+7)\\ \\&=&3\times 11.5\\ \\&=&34.5\end{array}$

$\begin{array}{rcl} B&=&45\div(23-14)\\ \\&=&45\div 9\\ \\&=&5\end{array}$

$\begin{array}{rcl} C&=&35-(17+6)\\ \\&=&35-23\\ \\&=&12\end{array}$

$\begin{array}{rcl} D&=&(25\times 4)\div 5\\ \\&=&100\div 5\\ \\&=&20\end{array}$

I.2 Priorité de la multiplication par rapport à l'addition et à la soustraction

Règle :

La multiplication est prioritaire sur l'addition et la soustraction.

Exemples :

$\begin{array}{rcl} A&=&12+5\times 9\\ \\&=&12+45\\ \\&=&57\end{array}$

$\begin{array}{rcl} B&=&56-12\times 3\\ \\&=&56-36\\ \\&=&20\end{array}$

$\begin{array}{rcl} C&=&135\times 3-198\\ \\&=&405-198\\ \\&=&207\end{array}$

$\begin{array}{rcl} D&=&78\times 5+347\\ \\ &=&390+347\\ \\ &=&737\end{array}$

I.3 Priorité de la division par rapport à l'addition et à la soustraction

Règle :

La division est prioritaire sur l'addition et la soustraction.

Exemples :

$\begin{array}{rcl} A&=&45+78\div 2\\ \\&=&45+39\\ \\&=&84\end{array}$

$\begin{array}{rcl} B&=&678-790\div 10\\ \\&=&678-7.9\\ \\&=&670.1\end{array}$

$\begin{array}{rcl} C&=&575\div 25+68\\ \\ &=&23+68\\ \\&=&91\\ \end{array}$

$\begin{array}{rcl} D&=&956\div 4-173.67\\ \\&=&239-173.67\\ \\&=&65.33\end{array}$

II. Suite d'opérations

II.1 Suite de multiplication

Règle :

Dans une suite de multiplication ; on peut partir de la gauche vers la droite ou de la droite vers la gauche.

Exemple :

Calculer : $A=2.7\times 34\times 21.67\times 78\quad B=3468\div 6\div 16$

Solution

En partant de de la gauche vers la droite, on obtient :

$\begin{array}{rcl} A&=&2.7\times 34\times 21.67\times 78\\\\&=&91.8\times 21.67\times 78\\\\&=&1\,989.306\times 78\\\\&=&155\,165.868\end{array}$

En partant de de la droite vers la gauche, on obtient :

$\begin{array}{rcl} A&=&2.7\times 34\times 21.67\times 78\\\\&=&2.7\times 34\times 1\,690.26\\\\&=&2.7\times 54\,468.84\\\\&=&155\,165.868\end{array}$

D'où, $\boxed{A=155\,165.868}$

II.2 Suite de division

Règle :

Dans une suite de division ; on effectue les opérations de la gauche vers la droite.

Exemple :

Calculer : $B=3\,468\div 6\div 16$

Solution

On a :

$\begin{array}{rcl} B&=&3\,468\div 6\div 16\\\\&=&578\div 16\\\\&=&36.125\end{array}$

Donc, $\boxed{B=36.125}$

II.3 Suite d'addition

Règle :

Dans une suite d'addition ; on peut partir de la gauche vers la droite ou de la droite vers la gauche.

Exemple :

Calculer : $C=763+8\,745+233+338$

Solution

En partant de de la gauche vers la droite, on obtient :

$\begin{array}{rcl} C&=&763+8745+233+338\\\\&=&9\,508+233+338\\\\&=&9\,741+338\\\\&=&10\,079\end{array}$

En partant de de la droite vers la gauche, on obtient :

$\begin{array}{rcl} C&=&763+8\,745+233+338\\\\&=&763+8\,745+571\\\\&=&763+9\,316\\\\&=&10\,079\end{array}$

Ainsi, $\boxed{C=10\,079}$

II.4 Suite de soustraction

Règle :

Dans une suite de soustraction; on effectue les opérations de la gauche vers la droite.

Exemple :

Calculer : $D=94\,648-536-122-936$

Solution

On a :

$\begin{array}{rcl} D&=&94\,648-536-122-936\\\\&=&94\,112-122-936\\\\&=&93\,990-936\\\\&=&93\,054\end{array}$

D'où, $\boxed{D=93\,054}$

II.5 Suites d'opérations

Règle :

Dans une suite d'opérations ; on effectue les calculs en respectant les règles de priorité des opérations.

Ainsi, on effectue d'abord les opérations entre parenthèses ensuite, les multiplications et les divisions et enfin, les additions et les soustractions.

Exemples :

Calculer :

$$E=576+36\times(127.67-25)+4\,568\div 64\quad F=92\,354-54\times 4+45\div 9$$

Solution

On a :

$\begin{array}{rcl} E&=&576+36\times(127.67-25)+4\,568\div 64\\\\&=&576+36\times 102.67+4\,568\div 64\\\\&=&576+3\,696.12+71.375\\\\&=&4\,272.12+71.375\\\\&=&4\,343.495\end{array}$

D'où, $\boxed{E=4\,343.495}$

Soit :

$\begin{array}{rcl} F&=&92\,354-54\times 4+45\div 9\\\\&=&92\,354-54\times 4+5\\\\&=&92\,354-216+5\\\\&=&92\,138+5\\\\&=&92\,143\end{array}$

Ainsi, $\boxed{F=92\,143}$

Exercice d'application

Effectuer les opérations suivantes :

1) $3.3+4.5\times 6-13.5$

2) $4\times 7-8.3\div 2$

3) $42-(13+4\times 8.8)$

4) $(45+32)-3\times(19.3-4\times 2.3)\times 2$

Solution

1) On a :

$\begin{array}{rcl} 3.3+4.5\times 6-13.5&=&3.3+27-13.5\\ \\&=&30.3-13.5\\ \\&=&16.8\end{array}$

Ainsi, $\boxed{3.3+4.5\times 6-13.5=16.8}$

2) Soit :

$\begin{array}{rcl} 4\times 7-8.3\div 2&=&28-4.15\\ \\&=&23.85\end{array}$

Donc, $\boxed{4\times 7-8.3\div 2=23.85}$

3) On a :

$\begin{array}{rcl} 42-(13+4\times 8.8)&=&42-(13+35.2)\\ \\&=&42-48.2\\ \\&=&-6.2\end{array}$

D'où, $\boxed{42-(13+4\times 8.8)=-6.2}$

4) Soit :

$\begin{array}{rcl} (45+32)-3\times(19.3-4\times 2.3)\times 2&=&77-3\times(19.3-9.2)\times 2\\ \\&=&77-3\times 10.1\times 2\\ \\&=&77-60.6\\ \\&=&16.4\end{array}$

Alors, $\boxed{(45+32)-3\times(19.3-4\times 2.3)\times 2=16.4}$

III. Utilisation des parenthèses

Dans une suites d'opérations, pour éviter d'obtenir des résultats différents, on utilise des parenthèses et des crochets qui montrent les opérations prioritaires.

Exemple :

Calculer : $A=(84+(35.6-15.6)\times 32)\ $ et $\ B=((35\div 7)\times(354+56)$

Solution

On a :

$\begin{array}{rcl} A&=&84+((35.6-15.6)\times 32)\\\\&=&84+(20\times 32)\\\\&=&84+640\\\\&=&724\end{array}$

Ainsi, $\boxed{A=724}$

Soit :

$\begin{array}{rcl} B&=&((35\div 7)\times(354+56)\\\\&=&5\times 410\\\\&=&2\,050\end{array}$

Alors, $\boxed{B=2\,050}$

Remarque :

Si le calcul contient plusieurs parenthèses alors, on commence toujours par les parenthèses qui sont les plus intérieures. Ce qui permet de réduire petit à petit le nombre de parenthèses.

Exemple :

Calculer : $C=[((15+(12-7)+5)+(3\times 6))\times 2]+[((72\div 2)-(25+3))\div 4]$

Solution

On a :

$\begin{array}{rcl} C&=&[((15+(12-7)+5)+(3\times 6))\times 2]+[((72\div 2)-(25+3))\div 4]\\\\&=&[((15+5+5)+18)\times 2]+[(36-28)\div 4]\\\\&=&[(25+18)\times 2]+[8\div 4]\\\\&=&[43\times 2]+2\\\\&=&86+2\\\\&=&88\end{array}$

Ainsi, $\boxed{C=88}$