Bac Maths D, Congo 2012

Exercice 1  

On considère la série statistique à double variable X et Y définie par le tableau ci-dessous :
X201a4Y108b012

1) Déterminer les réels a et b pour que le point moyen G du nuage statistique, ait pour coordonnées (1 ; 2).

2) Dans la suite, on prendra a=2 et b=4.

a. Représenter graphiquement les points du nuage de cette série statistique

b. Déterminer l'équation de la droite de régression de X en Y.

c. Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre X et Y, puis interpréter le résultat.

Exercice 2 

1) Résoudre dans l'ensemble C des nombres complexes, l'équation : (E) : Z2+838i=0

a. En utilisant la forme trigonométrique.

b. En utilisant la forme algébrique.

On pourra admettre que 8+43=(2+6)2

2) Placer les images des solutions Z1 et Z2 de (E) sur un cercle trigonométrique.
 
3) Déduire de ce qui précède, la valeur exacte de cos(5π12)  et  sin(5π12).   

Problème 

Partie A 

1) Résoudre l'équation différentielle : y+2y+y=0

2) Déterminer la solution particulière u, sachant que u(0)=1  et  u(0)=0.

Partie B  

Soit f, la fonction numérique de la variable réelle x définie par :
{f(x)=(x+1)exsi x0f(x)=12x+xlnxsi x>0

On désigne par (C) la courbe représentative de f dans le repère orthonormé (O ; i ; j) du plan d'unité graphique : 2cm.
 
3) Préciser l'ensemble de définition de f.
 
4) Étudier la continuité et la dérivabilité de f en x=0.
 
5) Étudier les variations de f.
 
On dressera un tableau de variation de f.
 
6) Pour x0, déterminer les coordonnées du point d'intersection de la courbe (C) avec l'axe des abscisses et écrire une équation cartésienne de la tangente (T) à (C) en ce point.
 
7) Démontrer que l'équation f(x)=0 admet une solution unique  α]6 ; 7[.
 
On ne demande pas de calculer α.
 
8) a. Étudier les branches infinies à (C).

b. Tracer la courbe (C) de f et la droite (T).

Partie C

Soit h la fonction numérique de la variable réelle x, définie par : xR ; h(x)=f(x)

9) a. Dresser le tableau de variation de h.

b. Tracer la courbe (C) représentative de h dans le même repère que (CC) de f.

c. Calculer en cm2, l'aire A du domaine (D) limité par les courbes (C) ; (C) et les droites d'équations  x=1 ; x=0.
 

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