Bac Maths C et E, Benin 2019

 

A l'occasion du mariage de sa sœur, Sovi élève en classe de terminale, s'est rapproché de Bio un membre du comité d'organisation de la réception des invités. Il traduit en langage codé les informations reçues de Bio comme suit : « le comité a prévu l’utilisation de $n$ figure géométriques $(n\in\mathbb{N})$ pour l'embellissement du cadre physique. Le nombre de sièges pour les invités s'écrit $\overline{nnn}$ dans le système de numérotation de base $7$ (sept) et $PGCD(n^{3}+5n^{2}+n+5\ ;\ 3)=3$ ». L'une de ces figure est un tétraèdre régulier $ABCD$ de l'espace orienté $\mathcal{E}$ et une deuxième figure est l'image de ce tétraèdre par une transformation de $\mathcal{E}.$ Sovi veut déterminer le nombre de sièges, évaluer l'aire de l'un des solides à matérialiser et construire quelques-unes des figures géométriques considérées.

Tu es invité(e) à apporter des réponses adéquates aux préoccupations de Sovi en résolvant les trois problèmes suivants.

1. a) Justifie que les entiers naturels $(n^{2}+1)$ et $3$ sont premiers entre eux. Tu pourras utiliser la congruences de $n$ modulo $3.$

 

b) Justifie que $PGCD(n^{3}+5n^{2}+n+5)=PGCD(n+5\ ;\  3).$

 

c) Déterminer l'ensemble des valeurs de $n$ pour lesquelles

 

$PGCD(n^{3}+5n^{2}+n+5)=3$

 

2. a) Justifie que le comité d'organisation a prévu $4$ figures géométriques.

 

b) Écris dans le système décimal le nombre de sièges réservés aux invités.

Le tétraèdre $ABCD$ a pour aire en unité d'aire $$S=\left[\int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}64\sin^{3}x\cos(2x)\mathrm{d}x\right]$$ 

 

La transformation dont il s'agit est $h_{2}\circ h_{1}$ où $h_{1}$ est l'homothétie de centre $A$ et de rapport $3$ et $h_{2}$ l'homothétie de centre $C$ et de rapport $(-2)$ l'objet matérialisant l'image par cette transformation du solide sera recouvert peint synthétique.

 

3. Détermine la nature et les éléments caractéristiques de l'application $h_{2}\circ h_{1}.$

 

4. a) Justifie qu'on a, pour tout nombre réel $x$, $$\sin^{3}x\cos(2x)=-2\cos^{4}x\sin x+3\cos^{2}x\sin x-\sin x$$

 

b) Calcule l'intégrale $$\int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}}\sin^{3}x\cos(2x)\mathrm{d}x$$

 

c) Calcule l'aire de la surface de l'image par $h_{2}\circ h_{1}$ du tétraèdre $ABCD$

Le plan $\mathcal{P}$ étant muni d'un repère orthonormé directe $(O\;,\ \overrightarrow{\mathrm{e_{1}}}\;,\ \overrightarrow{\mathrm{e_{2}}})$, une autre figure est une position de la courbe représentative $(\Gamma_{1})$ de la fonction $f$ du vers $[0\ ;\ +\infty[$ définit par :

$$f(x)=\sqrt{x^{2}-x}+\ln x$$

 

La quatrième figure géométrique est une portion de l'ensemble $(\Gamma_{2})$ des point $N$ du plan tel que $OMN$ est un triangle rectangle en $O$ et isocèle, $M$ est un point de $(\Gamma_{1})$ et l'angle orienté $(⃗\widehat{\overrightarrow{OM}\;,\ \overrightarrow{ON}})$ de sens direct.

 

5. a) Étude de dérivabilité de $f$ à droite en $1.$

 

b) Achève l'étude des variations de $f$ sur $]1\ ; +\infty[$

 

c) Justifie que $f$ est une bijection.

 

6. a) Calcule $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}(\sqrt{x^{2}-x-x}).$

 

b) Étudie la branche infinie de $(\Gamma_{1}).$

 

7. a) Justifie que pour tout $x$ élément de $]1\ ;\ +\infty[$ l'équation $f'(x)=1$ est équivalente à l'équation $\sqrt{x^{2}-x}=\dfrac{2x^{2}-x}{2(x-1)}.$

 

b) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\sqrt{x^{2}-x}=\dfrac{2x^{2}-x}{2(x-1)}.$

 

c) Déduis-en que l'équation $f(x)=x$ admet dans $]1\ ;\ +\infty[$ une solution unique $\alpha$ et que $1<\alpha<2.$

 

a) Étudie la position relative de $(\Gamma_{1})$ et de la droite $(\Delta)$ d'équation $y=x.$

 

b) Trace la courbe $(\Gamma_{1}).$

 

9. a) Justifie que $(\Gamma_{2})$ est l'image de $(\Gamma_{1})$ par une rotation $r$ que tu caractériseras.

 

b) Justifie que $(\Gamma_{2})$ est l'ensemble des points de coordonnés $(x\;,\ y)$ telle que $\sqrt{y^{2}-y}+\ln y+x=0.$

 

c) Démontre que $(\Gamma_{2})$ est l'image de la courbe de la bijection réciproque $f^{-1}$ de $f$ par une symétrie orthogonale dont tu préciseras l'axe. 

 

d) Construis $(\Gamma_{2}).$