Bac Maths C et E, Benin 2019

 

Contexte : Aménagement du lieu de réception des invités à un mariage

A l'occasion du mariage de sa sœur, Sovi élève en classe de terminale, s'est rapproché de Bio un membre du comité d'organisation de la réception des invités. Il traduit en langage codé les informations reçues de Bio comme suit : « le comité a prévu l’utilisation de n figure géométriques (nN) pour l'embellissement du cadre physique. Le nombre de sièges pour les invités s'écrit ¯nnn dans le système de numérotation de base 7 (sept) et PGCD(n3+5n2+n+5 ; 3)=3 ». L'une de ces figure est un tétraèdre régulier ABCD de l'espace orienté E et une deuxième figure est l'image de ce tétraèdre par une transformation de E. Sovi veut déterminer le nombre de sièges, évaluer l'aire de l'un des solides à matérialiser et construire quelques-unes des figures géométriques considérées.

Tache : 

Tu es invité(e) à apporter des réponses adéquates aux préoccupations de Sovi en résolvant les trois problèmes suivants.

Problème 1 :

1. a) Justifie que les entiers naturels (n2+1) et 3 sont premiers entre eux. Tu pourras utiliser la congruences de n modulo 3.
 
b) Justifie que PGCD(n3+5n2+n+5)=PGCD(n+5 ; 3).
 
c) Déterminer l'ensemble des valeurs de n pour lesquelles
 
PGCD(n3+5n2+n+5)=3
 
2. a) Justifie que le comité d'organisation a prévu 4 figures géométriques.
 
b) Écris dans le système décimal le nombre de sièges réservés aux invités.

Problème 2 :

Le tétraèdre ABCD a pour aire en unité d'aire S=[π4064sin3xcos(2x)dx] 
 
La transformation dont il s'agit est h2h1h1 est l'homothétie de centre A et de rapport 3 et h2 l'homothétie de centre C et de rapport (2) l'objet matérialisant l'image par cette transformation du solide sera recouvert peint synthétique.
 
3. Détermine la nature et les éléments caractéristiques de l'application h2h1.
 
4. a) Justifie qu'on a, pour tout nombre réel x, sin3xcos(2x)=2cos4xsinx+3cos2xsinxsinx
 
b) Calcule l'intégrale π40sin3xcos(2x)dx
 
c) Calcule l'aire de la surface de l'image par h2h1 du tétraèdre ABCD

Problème 3 :

Le plan P étant muni d'un repère orthonormé directe (O, e1, e2), une autre figure est une position de la courbe représentative (Γ1) de la fonction f du vers [0 ; +[ définit par :
f(x)=x2x+lnx
 
La quatrième figure géométrique est une portion de l'ensemble (Γ2) des point N du plan tel que OMN est un triangle rectangle en O et isocèle, M est un point de (Γ1) et l'angle orienté (^OM, ON) de sens direct.
 
5. a) Étude de dérivabilité de f à droite en 1.
 
b) Achève l'étude des variations de f sur ]1 ;+[
 
c) Justifie que f est une bijection.
 
6. a) Calcule limx+(x2xx).
 
b) Étudie la branche infinie de (Γ1).
 
7. a) Justifie que pour tout x élément de ]1 ; +[ l'équation f(x)=1 est équivalente à l'équation x2x=2x2x2(x1).
 
b) Résoudre dans R l'équation x2x=2x2x2(x1).
 
c) Déduis-en que l'équation f(x)=x admet dans ]1 ; +[ une solution unique α et que 1<α<2.
 
a) Étudie la position relative de (Γ1) et de la droite (Δ) d'équation y=x.
 
b) Trace la courbe (Γ1).
 
9. a) Justifie que (Γ2) est l'image de (Γ1) par une rotation r que tu caractériseras.
 
b) Justifie que (Γ2) est l'ensemble des points de coordonnés (x, y) telle que y2y+lny+x=0.
 
c) Démontre que (Γ2) est l'image de la courbe de la bijection réciproque f1 de f par une symétrie orthogonale dont tu préciseras l'axe. 
 
d) Construis (Γ2).
 

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